Resolución de un problema de mecánica

[David_CCM]

Buenas noches,

Me encontraba resolviendo un problema de mecánica clásica sacado del Tipler. La resolución por un planteamiento exclusivamente energético no resulta difícil, pero al intentar llevar a cabo el problema por otra vía que combina energía, dinámica y energía, el resultado no sale.

---

Inicialmente, la masa m = 1.0 kg y la masa M están ambas en reposo sobre un plano inclinado sin rozamiento. La masa M se apoya en un muelle de constante 11000 N/m. La distancia en el plano entre m y M es de 4.0 m. La masa m se deja libre, choca elásticamente con la masa M y rebota a una distancia de 2.56 m sobre el plano inclinado. La masa M se detiene momentáneamente a 4.0 cm de su posición inicial. Determinar la masa M.

---

Se sitúa el sistema de referencia de tal forma que el eje positivo vertical, y, sea hacia arriba (formando un ángulo de 30º con la vertical), y el horizontal, x, positivo paralelo al plano inclinado hacia abajo (formando un ángulo de 30º con la horizontal).

Pues bien, en primer lugar se me ocurrió la vía de aplicar la conservación del momento lineal, p.

$\vec{p}_{antes} = \vec{p}_{despues}$


$mv_{m}+Mv_{M}=mv_{m}^{'}+Mv_{M}^{'}$

(I) Para calcular la velocidad con la que impacta la masa $m$, se descomponen las fuerzas y se obtiene que la aceleración, $a$ es:

$a = g sin(30^o)$

Por tanto, la velocidad que adquiere el cuerpo de masa $m$ al llegar al lugar de la colisión, es decir, 4 m será:

$v^2 = v_o^2 + 2 a \Delta x \longrightarrow v = \sqrt{2 \cdot (g sin(30^o)) \cdot 4} = \sqrt{8 g sin(30^o)}$

(II) Para calcular la velocidad del cuerpo de masa $m$ tras la colisión elástica se emplean los datos sobre el rebote. Haciendo una descomposición de fuerzas, la aceleración será:

$a = - g sin(30^o)$

Al llevar a los 2.56 m el cuerpo se detendrá, esto es, $v = 0$. Se calcula la velocidad inicial (velocidad tras la colisión) según procede:

$v^2 = v_o^2 + 2 a \Delta x \longrightarrow v_o = \sqrt{ - 2 \cdot (-g sin(30^o)) \cdot 2.56} = \sqrt{5.12 g sin(30^o)}$

El resultado dado es el módulo de la velocidad. En la ecuación de momentum será negativa, ya que va en contra del eje x positivo (hacia abajo, aunque aquí no se muestra el diagrama).


(III) Finalmente, se calcula la velocidad del cuerpo de masa $M$ tras la colisión (antes de la colisión estaba en reposo). Para ello, se aplica la conservación de energía al cuerpo $M$, dado que el problema reúne los requisitos para aplicarla.

$E_{{m}_{\ antes}} = E_{{m}_{\ despues}}$

$E_{{c}_{\ antes}} + E_{{p}_{\ antes}} + E_{{k}_{\ antes}} = E_{{c}_{\ despues}} + E_{{p}_{\ despues}} + E_{{k}_{\ despues}}$

Consideraciones:

• Se sitúa el nivel de energía potencial gravitatoria $E_{p} = 0$ en la posición de compresión máxima del muelle.
• Como el cuerpo M se encontraba en reposo en el instante inicial, $E_{{k}_{\ antes}} = 0$.
• En el instante final, el muelle se encuentra comprimido y la velocidad final de $M$ es nula.

$\frac{1}{2} M v^2 + Mgh = \frac{1}{2} k \Delta x^2$

$v = \sqrt{\frac{k \Delta x^2 - 2Mgh}{M}} = \sqrt{\frac{11000 (4\cdot 10^{-2})^2 - 2Mg (4\cdot 10^{-2} \cdot sin(30^o))}{M}}$

Por tanto, basta con aplicar la ecuación de conservación de momentum planteada al inicio del problema y resolver para $M$:

$mv_{m}+Mv_{M}=mv_{m}^{'}+Mv_{M}^{'} \longrightarrow$


$\longrightarrow 1 \cdot \sqrt{8 g sin(30^o)} + 0 = - 1 \cdot \sqrt{5.12 g sin(30^o)} + M \cdot \sqrt{\frac{11000 (4\cdot 10^{-2})^2 - 2Mg (4\cdot 10^{-2} \cdot sin(30^o))}{M}}$

Resolviendo la ecuación, los valores de $M$ resultan: $M_1 \approx 9.04 \ kg$ y $M_2 \approx 35.81 \ kg$.

Este mismo ejercicio, resuelto únicamente por un planteamiento de conservación de energía da como resultado $M_2 = 8.85 \ kg$. Me he esforzado en buscar el error para ver por qué no da igual, ¿podríais ayudarme a saber cuál es el error de esta resolución?

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Hola el problema se resolvía más facilmente si considerabas que el choque es elástico y que el resorte no se comprime durante el choque sino posteriormente a este, en ese caso se conserva la energía cinetica previo y posterior al choque y claro está, ocurre a la vez la conservación de momento lineal.

Ojo con los signos en realidad es

$$mv_{m}+Mv_{M}=-mv_{m}^{'}+Mv_{M}^{'}$$

de aquí

$$v_{M}^{'}=\dfrac{mv_{m}+M\overbrace{v_{M}}^0+mv_{m}^{'}}{M}=\dfrac{mv_{m}+mv_{m}^{'}}{M}$$

$$\dfrac12 mv_m^2+\dfrac12 Mv_M^2=\dfrac12 mv_m'^2+\dfrac12 Mv_M'^2$$

$$1kg( \sqrt{8 g sin(30^o)})^2+M\cdot0^2= 1kg( \sqrt{5.12 g sin(30^o)})^2+ Mv_M'^2$$

reemplazando lo que vale $v_{M}^{'}$ de la 1'

$$1kg( \sqrt{8 g sin(30^o)})^2= 1kg( \sqrt{5.12 g sin(30^o)})^2+ M\left(\dfrac{mv_{m}+mv_{m}^{'}}{M}\right)^2$$

te queda simplificar y resolver despejando M

$$1kg( \sqrt{8 g sin(30^o)})^2= 1kg( \sqrt{5.12 g sin(30^o)})^2+ M\left(\dfrac{1kg\sqrt{8 g sin(30^o)}+1kg\sqrt{5.12 g sin(30^o)}}{M}\right)^2$$

$$1kg 8 g sin(30^o)= 1kg5.12 g sin(30^o)+ \dfrac{\left(1kg\sqrt{8 g sin(30^o)}+1kg\sqrt{5.12 g sin(30^o)}\right)^2}{M}$$

$$M=\dfrac{\left(1kg\sqrt{8 g sin(30^o)}+1kg\sqrt{5.12 g sin(30^o)}\right)^2}{1kg 8 g sin(30^o)- 1kg5.12 g sin(30^o)}$$

$$M=1kg\dfrac{\left(\sqrt{8 }+\sqrt{5.12 }\right)^2}{8 - 5.12 }=9kg$$

si no me equivocado en algún signo saldrá el valor de la masa correcto

PD el problema redunda datos, y es coherente si g=9.8m/s^2 y k=11025N/m

Saludos

[David_CCM]

¡Muchas gracias por la resolución tan detallada! No había caído en esa vía para hallar el valor de vB'.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Es un ejercicio donde se deben presuponer varias consideraciones:

1) Que inicialmente el muelle no está comprimido, aunque la masa $M$ descanse sobre él.

2) Que existe simultaneidad entre la detención de la masa $m$ y la detención de la masa $M$.

Como no se ha mostrado el método energético, lo expongo. Establezco que la referencia de la energía potencial gravitatoria coincide con el punto donde el muelle tiene su máxima compresión. A esta compresión máxima, la llamo $x$. El enunciado, también indica que $x=0,04\ m$.

Inicialmente, la energía mecánica es $Mgx\sin\theta+mg(x+4)\sin\theta$

La energía mecánica final es $Mg0\sin\theta+mg(x+2,56)\sin\theta+\dfrac{1}{2}kx^2$

Igualando, sustituyendo valores y despejando, $M=8,8980\ kg$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Añado que considerando la compresión inicial del muelle (debido a M), obtengo M=8,4960 kg.

[David_CCM]

Muchas gracias por exponer la vía energética. Dado que este es el planteamiento que se emplea en el libro de soluciones, ¿el primer planteamiento expuesto aquí sería también válido? La diferencia de 0.1 kg me deja con la duda...

[Richard R Richard]

Si usas las fórmulas de JCB con la constante del muelle 11025N/m y la gravedad en 9.8m/s^2 como propuse en el mensaje #2 por la via energetica también obtienes M=9kg puesto que no se puede detener en 4cm como propone el problema si la constante es de 11000N/m

[JCB]

... puesto que no se puede detener en 4cm como propone el problema si la constante es de 11000N/m

Hola a tod@s.

Richard R Richard: ¿ podrías aclarar esta afirmación ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB observa que con un planteo totalmente alejado de planteamiuentos energeticos, llego a determinar la masa M

$$M=1kg\dfrac{\left(\sqrt{8 }+\sqrt{5.12 }\right)^2}{8 - 5.12 }=9kg$$

si no me equivocado en algún signo saldrá el valor de la masa correcto

PD el problema redunda datos, y es coherente si g=9.8m/s^2 y k=11025N/m

y a la vez me doy cuenta que si se continua con el movimiento la cantidad de energía que posee la masa M luego del choque el dsplazamiento respecto el punto de impacto se puiede calcular

primero la velocidad del bloque M luego del impacto

$v_{M}^{'}=\dfrac{mv_{m}+mv_{m}^{'}}{M}=\dfrac{1kg \sqrt{8 g sin(30^o)}+1kg \sqrt{5.12 g sin(30^o)}}{9kg}=1.25219...m/s$ utiliza todos los decimales


hago el planteo de la longitud y altura descendida hasta acumular la energía potencial y cinetica en el resorte.

$\dfrac{1}{2}kx^2=Mgx\sin30+\dfrac{1}{2}Mv_{M}^{'2}$

reemplazando valores dados del problema

$\dfrac{1}{2}11000N/mx^2=9kg\cdot9.8m/s^2\cdot x\cdot 0.5+\dfrac{1}{2}9kg(1.25219m/s)^{2}$

$5500x^2= 44.1x +7.056$

resolviendo la cuadratica la solucion positiva es $x=0.04005.....m \neq 0.04m$ es decir se comprime mas de 4 cm antes de detenerse, es pequeña la diferencia, pero fijate que

el K que esperaba para detenerse en 4cm sale de la misma ecuacion

$\dfrac{1}{2}K(0.04m)^2=9kg\cdot9.8m/s^2\cdot 0.04\cdot 0.5+\dfrac{1}{2}9kg(1.25219m/s)^{2}$

$K=11025N/m$

y si calculas ese sistema con el nuevo K

$\dfrac{1}{2}11025N/mx^2=9kg\cdot9.8m/s^2\cdot x\cdot 0.5+\dfrac{1}{2}9kg(1.25219m/s)^{2}$

$5512.5x^2= 44.1x +7.056$

y resuelves la cuadratica te da exacto el desplazamiento esperado de $4cm\equiv0.04m$


Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Claro Richard R Richard, si partes de la hipótesis de que tanto $m$, como $M$, adquieren su velocidad después del choque, sin tener en cuenta la compresión del muelle, se obtienen tus resultados.

Sin embargo, yo interpreté el enunciado como una descripción de la foto (instantánea) final: es decir, después del choque, y de manera simultánea en el tiempo, la masa $m$ se detiene (momentáneamente) a $2,56\ m$ de su posición inicial, y la masa $M$ se detiene (momentáneamente), a $4\ cm$ de su posición inicial.

Según parece, es un ejercicio donde se debe asumir, forzosamente, alguna de las dos simplificaciones.

Saludos cordiales,
JCB.