1r ciclo Reacciones en un sólido rígido.

[Juan Padilla Cabrier]

Hola buenas, tengo problemas para resolver el apartado b) de este ejercicio, seguramente se deba a estar planteándolo mal, a ver si alguno de vosotros puede sacarlo:

Dos cajas A y B estan en equilibrio, apoyada la A sobre la B como indica la figura. Entre ellas no hay rozamiento, pero sí lo hay con el suelo: 0.7 en caso de la A y 0.4 en caso de la B. La masa de la caja A es de 300kg:
a)Cuanto debe pesar como mínimo la caja B para que se mantenga el equilibrio? (RESUELTO)
b)Si fijásemos la caja B, cual es el mínimo ángulo que puede formar la caja A con el suelo sin caerse?

[felmon38]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

Me imagino que si calculas las fuerzas que actúan sobre el bloque A, en el límite, cuando empieza a deslizar y anulas los momentos de estas fuerzas respecto de, p.e., el punto de contacto con el suelo, podrás calcular el ángulo que te piden.
Saludos

[skynet]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

la clave está en imponer que la fuerza de rozamiento debe de ser la máxima posible, es decir, debe de ser $F_r=\mu N$ ......para angulos mayores esta fuerza es inferior y para angulos menores el bloque A no estará en equilibrio.

teniendo en cuenta esto, y que $F_r=-F_B$ , y que $N=-P$ tomas momentos respecto al punto de apoyo con el suelo y planteas la ecuación $\sum M=0$ en la que el angulo es la única incógnita, despejas y ya está.

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

la clave está en imponer que la fuerza de rozamiento debe de ser la máxima posible, es decir, debe de ser $F_r=\mu N$ ......para angulos mayores esta fuerza es inferior y para angulos menores el bloque A no estará en equilibrio.

teniendo en cuenta esto, y que $F_r=-F_B$ , y que $N=-P$ tomas momentos respecto al punto de apoyo con el suelo y planteas la ecuación $\sum M=0$ en la que el angulo es la única incógnita, despejas y ya está.

No entiendo bien lo primero que dices, la , pero tanto Mu como la Normal son ctes, entonces no tiene sentido lo que dices de que "para ángulos mayores esta fuerza es inferior", ¿no debería tener siempre el mismo valor la F rozamiento?.
Por otro lado, yo en mi ejercicio tengo señaladas ya y , pero para tomar momentos no se si lo tengo bien dibujado:
(F de rozamiento con sentido a la derecha y aplicada en el pto de contacto de la caja y el suelo; F(B) con sentido a la izquierda y pto de aplicación la esquina izquierda de la caja A; Peso con sentido hacia abajo y pto de aplicación en el centro de la caja, Normal descompuesta en sus componentes y con pto de aplicación en el centro de la caja.)

[Zorak]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

No entiendo bien lo primero que dices, la , pero tanto Mu como la Normal son ctes, entonces no tiene sentido lo que dices de que "para ángulos mayores esta fuerza es inferior", ¿no debería tener siempre el mismo valor la F rozamiento?.

La fuerza de roce estatica no es constante , puede variar $0\leqslant Fr \leqslant\mu N$.
Si haces sumatoria de momentos con respecto al punto de apoyo del bloque A y el B:

$Fr.L . sen\theta = - P. \frac{L}{ 2} .cos\theta + N. L .cos\theta$ (donde L es la longitud del bloque)

FIjate que como P y N son constantes al disminuir el angulo aumenta $cos\theta$ , y $sen\theta$ disminuye , por loque para que se mantenga la igualdad Fr deve aumentar, y cuando $Fr>\mu.N$ pasara de ser fuerza de roce estatica a dinamica, por lo que habra un desplazamiento del bloque.

[skynet]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

No entiendo bien lo primero que dices, la , pero tanto Mu como la Normal son ctes, entonces no tiene sentido lo que dices de que "para ángulos mayores esta fuerza es inferior", ¿no debería tener siempre el mismo valor la F rozamiento?.

.....no......la fuerza de rozamiento estático puede tomar valores desde 0 hasta $\mu N$, en el problema que planteas su valor será el máximo posible, es decir $\mu N$ cuando el bloque está apunto de deslizar......para angulos mayores la fuerza de rozamiento será menor que este valor y justo lo necesario para que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea igual a cero......por ejemplo si el angulo fuera 90º la caja B no ejercería fuerza sobre la caja A y la fuerza de rozamiento sería cero, no $\mu N$

ten en cuenta que se trata de un problema de estática, si se tratara de un problema de dinámica en el cual una caja se desliza por una superficie, entonces la fuerza de rozamiento dinámica sí sería iguala a $\mu N$ y no podría tener otro valor, pero debes de distinguir entre rozamiento dinamico y estático ya que su tratamiento es diferente y en el problema que has propuesto, puesto que no hay deslizamiento, el rozamiento es estático.

no puedo ver el archivo adjunto, pero por la descripcion que haces creo que tienes dos errores:

1-la normal no tiene "componentes"....solo tiene una componente, la vertical (por eso se llama normal)
2-el punto de aplicación de la normal no es el centro de la caja, es el punto de contacto entre la caja y el suelo

pd. si vas a plantear la ecuación $\sum M=0$ te aconsejo que tomes los momentos respecto al punto de apoyo sobre el suelo en lugar de como lo ha hecho zorax con el punto de contacto entra las dos caja porque si lo hace como digo los momentos de la fuerza de rozamiento y el de la normal son igual a cero y obtendrás una ecuación más sencilla.

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Reacciones en un sólido rígido.


Esto es a lo que me refería con descomponer la normal, porque trabajo con el "suelo" como eje horizontal. Y aunque me habéis resuelto gran parte de la duda, no me queda claro cómo coger los momentos para la ecuación

- - - Actualizado - - -

La fuerza de roce estatica no es constante , puede variar $0\leqslant Fr \leqslant\mu N$.
Si haces sumatoria de momentos con respecto al punto de apoyo del bloque A y el B:

$Fr.L . sen\theta = - P. \frac{L}{ 2} .cos\theta + N. L .cos\theta$ (donde L es la longitud del bloque)

FIjate que como P y N son constantes al disminuir el angulo aumenta $cos\theta$ , y $sen\theta$ disminuye , por loque para que se mantenga la igualdad Fr deve aumentar, y cuando $Fr>\mu.N$ pasara de ser fuerza de roce estatica a dinamica, por lo que habra un desplazamiento del bloque.

Muchas gracias! lo único que no me queda claro es qué dimensión es L, entiendo que es la longitud entre el pto de apoyo con el suelo y el pto de apoyo con la pared, pero entonces no entiendo por qué es 1/2 de L para el Peso (que yo lo coloco justo en el CDM, no a mitad del lado).

- - - Actualizado - - -

.....no......la fuerza de rozamiento estático puede tomar valores desde 0 hasta $\mu N$, en el problema que planteas su valor será el máximo posible, es decir $\mu N$ cuando el bloque está apunto de deslizar......para angulos mayores la fuerza de rozamiento será menor que este valor y justo lo necesario para que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea igual a cero......por ejemplo si el angulo fuera 90º la caja B no ejercería fuerza sobre la caja A y la fuerza de rozamiento sería cero, no $\mu N$

ten en cuenta que se trata de un problema de estática, si se tratara de un problema de dinámica en el cual una caja se desliza por una superficie, entonces la fuerza de rozamiento dinámica sí sería iguala a $\mu N$ y no podría tener otro valor, pero debes de distinguir entre rozamiento dinamico y estático ya que su tratamiento es diferente y en el problema que has propuesto, puesto que no hay deslizamiento, el rozamiento es estático.

no puedo ver el archivo adjunto, pero por la descripcion que haces creo que tienes dos errores:

1-la normal no tiene "componentes"....solo tiene una componente, la vertical (por eso se llama normal)
2-el punto de aplicación de la normal no es el centro de la caja, es el punto de contacto entre la caja y el suelo

pd. si vas a plantear la ecuación $\sum M=0$ te aconsejo que tomes los momentos respecto al punto de apoyo sobre el suelo en lugar de como lo ha hecho zorax con el punto de contacto entra las dos caja porque si lo hace como digo los momentos de la fuerza de rozamiento y el de la normal son igual a cero y obtendrás una ecuación más sencilla.

Esto es a lo que me refería con descomponer la normal, porque trabajo con el "suelo" como eje horizontal. Y aunque me habéis resuelto gran parte de la duda, no me queda claro cómo coger los momentos para la ecuación

[Richard R Richard]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

si llamo a lado largo L=80 cm y al corto A=60 cm

Si haces la sumatoria de fuerzas en la horizontal

$$\dst\sum F_x=0=-F_{AB}+F_{roz}$$

la sumatoria de fuerzas en la vertical

$$\dst\sum F_y=0=-N_y+mg$$

Y tomas momento en el punto de apoyo con el piso

$$\cancel{\dst\sum M=0=F_{AB}\sin\theta L-mg\left (\dfrac L2 \cos \theta-\dfrac A2 \cos \theta\right )}$$

$$\dst\sum M=0=F_{AB}\sin\theta L-mg\left (\dfrac L2 \cos \theta-\dfrac A2 \sin \theta\right )$$

de las ecuaciones 1 y 2 y sabiendo que $F_{roz}=\mu N_y=\mu mg=F_{AB}$

reemplazando en 3 y despejando

$$\cancel{\mu mg\sin\theta L=mg\left (\dfrac {L-A}2 \cos \theta \right )}$$

$$\cancel{\tan\theta=\dfrac {L-A}{2L\mu}}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
haciendo la inversa de la tangente tienes el ángulo

Editado Gracias supernena,

Saludos

[skynet]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

Juan, la fuerza normal es la fuerza que ejerce el suelo sobre la caja, el punto de aplicación es la esquina de la caja que está en contacto con el suelo, no el centro de la caja y su dirección es hacia arriba, no tiene componente horizontal, es decir, no existe Nx......y todo esto es así trabajando con el suelo como eje horizontal

además [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] debería de estar aplicada en la esquina derecha, en el lugar de contacto entre las dos cajas.

la ecuacion que te ha puesto richard está casi bien, pero contiene un error, aquí la tienes corregida:

$$\dst\sum M=0=F_{AB}\sin\theta L-mg\left (\dfrac L2 \cos \theta-\dfrac A2 \sin \theta\right )$$

he cambiado un coseno por un seno.....de ahí despejas y ya está

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

Hola otra vez, repasando el tema de los momentos veo que no tengo claro de donde sale la parte de dentro del paréntesis:

se que es módulo del vector(mg) * la distancia al pto de apoyo * cos o sin del ángulo que forman. Es en esta última parte donde me lio:
-No entiendo por qué en uno es seno y en el otro coseno.
-Me parece entender que dentro del paréntesis estan tanto Peso como Normal, pero si me decías que normal tenía pto de aplicación en la esquina de contacto caja-suelo, su momento debería ser nulo.

Muchas gracias.

[skynet]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

-Me parece entender que dentro del paréntesis estan tanto Peso como Normal.....

no.....el momento de la Normal es cero, por eso no aparece en la ecuacion.....lo de dentro del parentesis es para calcular la distancia por la que tienes que multiplicar el peso pare obtener su momento, solo que en esta situacion, calcular esta distancia es algo más complicado....es una cuestion de trigonometría.....si te haces un dibujo e intentas calcularla llegarás a esa misma expresión.

[Richard R Richard]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

Lo que esta entre parentesis es la mínima distancia que separa el punto de apoyo yla proyeccion del centro de gravedad del rectángulo de masa m sobre la horizontal, el momento del peso de toda la figura lo puedes reducir a una única fuerza (Peso) que pasa por el baricentro o centro de gravedad o centro de masa . Recuerda que el punto de apoyo en este caso lo hemos tomado como punto para la toma de momentos, y como el momento se obtiene por producto vectorial de la fuerza y la distancia, esta ultima es la mínima cuando la reduces a la proyección sobre la perpendicular a la fuerza aplicada, como aqui la fuerza aplicada es la del peso en dirección vertical , la distancia la mides en dirección horizontal , para el lado largo el centro de masa esta alejado $\dfrac L2 \cos \theta$ pero en la proyección sobre la horizontal el angulo en que asciende esta rotado 90 grados por eso se usa el seno para obtener la contribucion a la distancia $\dfrac A2 \sin \theta$ que fue donde me equivoque anteriormente y luego corregí.

Edito Pd veo que supernena te ha contestado en el mismo sentido mientras escribia

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

A ver, a lo mejor es que estamos llamando distinto a los ángulos, pero yo lo he dibujado y por trigonometría no me sale el mismo resultado que a vosotros:
El ángulo que me interesa calcular es al que llamo Teta (dejar la ecuación en función de Teta), cuando busco la distancia H veo que la podría calcular directamente por el teorema de pitágoras, ya que conozco L/2 y A/2. Teniendo |P| y sacando H, el único factor que me faltaría incluir es el seno del ángulo que forman F y el lado L para tener completa la ecuación del momento: M = F * r * sen(ángulo).
En mi dibujo se ve que el ángulo que forman P y L es el mismo que forma L con la horizontal (Teta'), y sen(Teta') = cos(Teta).

Según este razonamiento el momento para la parte del Peso me debería quedar:

mg * H *cos(Teta). Y el sumatorio de momentos = 0 = F(ab)*L*sen(Teta) - mg*H*cos(Teta)

Mu*m*g*L*sen(T) = m*g*H*cos(T) ; tan(T) = H/(Mu*L); Teta = 41'76º, que no tiene sentido porque es más grande que 30º.

Muchas gracias al que sepa explicarme dónde me estoy equivocando. Un saludo!

[Richard R Richard]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

En ese dibujo la distancia d la sacas como

$d=H\cos (\alpha+\theta)$

por las propiedades de los angulos

$\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \beta \cdot \sin \alpha$

$\cos (\alpha + \theta)=\cos \alpha \cdot \cos \theta - \sin \theta \cdot \sin \alpha$

como $\sin\alpha=0.6$ y $\cos\alpha=0.8$

lo aplicas en la formula anterior y tambien te sale

$d=\frac 12\sqrt{A^2+L^2}(0.8\cos\theta-0.6\sin \theta)$

y como $\frac 12\sqrt{A^2+L^2}=0,5 m$

de no medir algun error, arribas a

$\boxed{\dst\sum M=0=F_{AB}L\sin\theta -mg\left (0.5(0.8\cos\theta-0.6\sin \theta)\right )}$

luego te queda despejar el angulo , numéricamente esta formula es la misma que ya te presentamos ,

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Reacciones en un sólido rígido.

Bueno pues muchas gracias, por fin lo he dejado terminado. Un saludo!