Ecuación diferencial en el m.a.s.

[Publio]

Hola, buenas tardes a todos y Felices Fiestas. Tengo una pregunta de teoría relacionada con el movimiento armónico simple. A ver si algún alma caritativa me puede dar algo de luz.

En el estudio dinámico del m.a.s. se plantea, a partir de la segunda ley de Newton, la siguiente ecuación diferencial:

$\dst \frac{\mathrm{d^{2}x} }{\mathrm{d} t^{2}}\,+\, \frac{K}{m}x= 0\;$

Y acto seguido, se dice que como:

$\dst \frac{K}{m}= \omega ^{2}$

Por tanto:

$\dst \frac{\mathrm{d^{2}x} }{\mathrm{d} t^{2}}\,+\, \omega ^{2}x= 0\;$

Para después dar alguna de las soluciones ya conocidas de dicha ecuación diferencial. Mi pregunta es: ¿De dónde sale que $\dst \frac{K}{m}= \omega ^{2}\;$ ?

Muchas gracias y un saludo.

[JCB]

Hola a tod@s.

Pues me parece una pregunta interesantísima, Publio. En un m.a.s., la aceleración toma la expresión

$a=-\omega^2A\cos(\omega t+\phi)=-\omega^2x$

Por otra parte, también sabemos que $F=-kx$, es decir

$ma=-kx$. Sustituyendo $a$,

$-m\omega^2x=-kx$

$k=m\omega^2$

Ojo, tómalo con reserva, pues no sé si esta "demostración" puede llegar a ser una perogrullada. A ver si hay alguna aportación más.

Saludos cordiales,
JCB.

[Publio]

Hola JCB, muchas gracias. Esta explicación es también la que encuentro en algún manual, pero no me convencía mucho porque la definición de la aceleración como $-\omega^2x$ viene de la segunda derivada de $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ y esta ecuación es precisamente la solución de la ecuación diferencial primitiva, es decir, que se sustituye $\dst \frac{K}{m}$ por $\omega ^{2}$ antes de haber obtenido que $a=-\omega^2x$, que es de donde se deduce el valor de $\dst \frac{K}{m}$. No sé si me he explicado bien.

[JCB]

Sí, te has explicado bien. Por eso mismo he escrito que te lo tomases con reserva, pues podía ser una perogrullada (necedad). Quedo a la espera de la intervención de alguien que nos aclare el asunto.

[Weip]

Hola Publio, fíjate que al final del día es una cuestión de definiciones.

Si no quieres definir $\omega^2=K/m$ en la ecuación diferencial entonces bien, no tienes porqué hacerlo. Puedes arrastrar el factor $K/m$ hasta el final, y una vez conocida la solución, interpretar $\sqrt{K/m}$ dentro del coseno como una frecuencia angular. Pasa que da un poco igual cuándo hagas la identificación porque si no supieras nada del movimiento armónico simple y quisieras redescubrirlo por tu cuenta, en algún punto, ya sea antes de resolver la ecuación o después, te darías cuenta de la relación con la frecuencia angular.

Al final estás estudiando un sistema que oscila así que tiene sentido hacerlo antes de resolver la ecuación diferencial, pero también tiene sentido hacerlo después una vez obtienes la solución oscilatoria. Incluso yendo muy a ciegas, lo sacarías por unidades incluso.

[Publio]

Gracias Weip. Lo he pensado y, claro, al final llegamos a una expresión tal que así: $x(t)=A\cos(\sqrt{K/m}\cdot t+\phi)$. Y cómo me demuestro yo que $\sqrt{K/m}=\omega$.

He pensado en algo que no sé si tendría sentido. Como $a_{n}= R\omega ^{2}$ y si tenemos en cuenta que en el m.a.s., x(t) es la proyección del radio R, entonces la aceleración en el m.a.s. que siempre tiene sentido contrario al desplazamiento sería:

$\dst a= -x\omega ^{2}=-\frac{Kx}{m}\Rightarrow\omega ^{2}=\frac{K}{m}$.

No sé cómo lo veis.