Secundaria Clásico del niño y el autobús pero en cículo

[pmascaros]

Hola, tengo una duda.

Existe un problema clásico, en el que un estudiante que va a velocidad constante, se acerca a un autobús, el cual, ha empezado a acelerar, y está a una determinada distancia del estudiante; hay que averiguar cuando alcanza el autobús. El problema es de fácil resolución, si Xo es la distancia entre los dos y Vs es la velocidad del estudiante, podemos averiguar el tiempo en el que se encontrarán igualando las posiciones 1/2*a*t^2 + Xo = Vs*t y con el tiempo se puede obtener el lugar donde se encontrarán.

Ahora bien, mi duda es la siguiente. Supongamos que en realidad el estudiante y el autobús están corriendo en una rotonda, dando vueltas constantemente (para no entrar en aceleraciones de rotación o cosas así, podemos también imaginar que se trata de una trayectoria recta pero cerrada, es decir, como en el juego del comecocos donde uno sale por la derecha y reaparece por la izquierda) , en esa situación, independientemente de la aceleración del autobús y la distancia de salida, siempre se van a encontrar en determinados puntos que irán variando ¿cómo sería la ecuación que me daría los puntos donde se van a encontrar? Me estoy calentando la cabeza pero no doy con ello, estoy oxidado con la física.

Muchas gracias

[alexpglez]

Re: Clásico del niño y el autobús pero en cículo

Fácil problema, plantéalo con los ángulos, recordando que dos ángulos separados por 2pi, 4pi, etc. representan el mismo punto.

[pod]

Re: Clásico del niño y el autobús pero en cículo

Más que al niño y el autobús, éste problema se parece al de las agujas del reloj. Lo más sencillo es tratar el ángulo. Por simplicidad, supongamos que en $t=0$ el niño está en el origen de ángulos, y que en ese mismo instante el autobús está en un ángulo $\theta_0$. En estas condiciones, las ecuaciones del movimiento son (el subíndice "n" indica al niño, "a" al autobús):

$$\begin{aligned}<br /> \theta_n & = \omega_n t , \\<br /> \theta_a & = \theta_0 + \omega_a t . <br /> \end{aligned}$$

La diferencia en este caso es que ambos se encuentran no sólo cuando los ángulos son iguales, sino que la condición a cumplir es que la diferencia entre ellos sea un número entero de vueltas (recuerda que una vuelta completa son $2\pi$ radianes),

$$\theta_a - \theta_n = 2\pi\ n\, \quad n\in\mathcal{N} .$$

Esto no supone mucha más dificultad para la resolución de la ecuación

$$\theta_0 + (\omega_a - \omega_n) t = 2\pi\ n \longrightarrow t = \frac{2\pi\ n -\theta_0}{\omega_a - \omega_n}.$$

Es decir, se encontraran infinitas veces, una para cada valor entero de n.

[Richard R Richard]

Re: Clásico del niño y el autobús pero en cículo

dando vueltas constantemente (para no entrar en aceleraciones de rotación o cosas así,

Hola Pod te ha dado la solución al problema cuando las velocidades angulares son constantes, pero si lo que buscas es

un estudiante que va a velocidad constante, se acerca a un autobús, el cual, ha empezado a acelerar, y está a una determinada distancia del estudiante;

Es decir .si el movimiento del autobús es acelerado su ecuación será

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde $\alpha$ es la aceleración angular

para resolver la coincidencia te queda una ecuación cuadrática cuyo resultado para cada vez que lo alcance es

$t=\dfrac{\omega_e+\sqrt{\omega_e^2-2\alpha_a(\theta_0-2\pi n)}}{\alpha_a}$

[pod]

Re: Clásico del niño y el autobús pero en cículo

Hola Pod te ha dado la solución al problema cuando las velocidades angulares son constantes,

Uhm...

Supongamos que en realidad el estudiante y el autobús están corriendo en una rotonda, dando vueltas constantemente (para no entrar en aceleraciones de rotación o cosas así, [...]

[Richard R Richard]

Re: Clásico del niño y el autobús pero en cículo

Uhm...

A mi, no me quedaba claro cual de las dos situaciones quiere plantear ,por eso plantee la que me parecía faltaba, ahora tiene ambas . Saludos