Secundaria Llegar más rápido a un punto en un lago

[franco_c2]

Un hombre se encuentra en la orilla de un lago en el punto $A$. Le es indispensable en un tiempo sumamente corto llegar a $B$ que se encuentra en el lago. La distancia entre el punto $B$ y la orilla es $BC=d$ y la distancia $AC=s$. La velocidad del movimiento del hombre por la orilla es ${v}_{1}$ y ${v}_{2}$ por el agua (${v}_{1}>{v}_{2}$). ¿De qué modo debe ir el hombre: nadar del punto $A$ por la recta $AB$ o primeramente correr por la orilla una cierta distancia y ya después nadar en dirección al punto $B$?


Mi experiencia me dice que va a llegar más rápido si primero recorre una cierta distancia $x$ por la orilla, pero ¿cómo lo demuestro?
No me detuve mucho y empecé por calcular esa distancia $x$.
El tiempo mínimo es igual al tiempo por tierra más el tiempo por agua ($t={t}_{1}+{t}_{2}$).

${t}_{1}=\frac{x}{{v}_{1}}$ y ${t}_{2}=\frac{\sqrt{{(s-x)}^{2}+{d}^{2}}}{{v}_{2}}$ $\Rightarrow$ $t=\frac{x}{{v}_{1}}+\frac{\sqrt{{(s-x)}^{2}+{d}^{2}}}{{v}_{2}}$

$\frac{dt}{dx}=0 \Rightarrow \frac{1}{{v}_{1}}+\frac{1}{{v}_{2}}\frac{x-s}{\sqrt{{(s-x)}^{2}+{d}^{2}}}=0$

${x}_{1,2}=s\pm\frac{{v}_{2}d}{2\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}}$ como $x$ no puede ser mayor que $s$, entonces $x=s-\frac{{v}_{2}d}{2\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}}$

El tiempo mínimo es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pude "comprobar" que haciendo este recorrido se llega más rápido que yendo por la recta AC directamente, dandole valores aleatorios a las distancias y velocidades, pero cómo lo demuestro?

El tiempo en una trayectoria directa es ${t}_{d}=\frac{\sqrt{{d}^{2}+{s}^{2}}}{{v}_{2}}$

Debería demostrar que ${t}_{m}<{t}_{d}$

Se me ocurre restar ${t}_{m}-{t}_{d}$ lo que debería dar menor que cero, y quedaría demostrar eso. Lo he intentado pero se vuelve algo bastante tedioso, y no pude. ¿Hay alguna otra forma de demostrar esto?

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Perdón me equivoqué, esto debería ir en Mecánica newtoniana Por favor que algún administrador lo mueva. No sé en que estaba pensando

[Alriga]

Re: Llegar más rápido a un punto en un lago

El problema es bastante parecido al famoso problema del cocodrilo y la cebra

Míralo a ver si te inspira.

Saludos.

[felmon38]

Re: Llegar más rápido a un punto en un lago

Me parece que el segundo término de la expresión de t_m no es correcto, dimensionalmente.

Saludos

[franco_c2]

Re: Llegar más rápido a un punto en un lago

Gracias! ya corregí, me había comido la raíz. Creo que ya me inspiró. El tiempo ${t}_{d}$ es $t$ cuando $x=0$ (sí, no me di cuenta), es decir, $t(0)$. Creo que no hace falta otra demostración, ya que el valor que calculé para $x$ da un mínimo, entonces cualquier otro valor dará un valor mayor para $t$.