centro de masas de un arco de circunferencia

[China]

Hola, he intentado pegar una imagen y no he podido, según he interpretado, poniendo la imagen que apoya mi pregunta en un adjunto no incumple ninguna norma, espero no equivocarme.
Me piden el cálculo del CM del arco de la imagen:

1. La coordenada X la resuelvo sin problema aplicando la definición y me da igual si integro entre $-\theta y \theta$ que si integro entre 0 y $\theta$ y multiplico por dos. La duda sobre esta coordenada x es que visualmente yo diría que el CM debería ser x=R
2. Respecto a la coordenada y, pues a priori creo que debe salir 0, y la cuestión es que si sale 0, como debe ser, si integro entre $-\theta y \theta$, pero en este caso, si aplico simetría e integro entre 0 y $\theta$ y multiplico por dos, no me da igual, en el primer caso me queda:
$y=\frac{\int_{-\theta}^{\theta}R sen\theta\cdot d\theta}{\int_{-\theta}^{\theta} d\theta}$ y con esto llego a y=0
En el segundo caso:
$y=\frac{2\int_{0}^{\theta}R sen\theta\cdot d\theta}{2\int_{0}^{\theta} d\theta}=\frac{-R(cos\theta-cos0}{\theta}=\frac{R(1-cos\theta)}{\theta}$




y aquí mi duda, no debería dar igual, o da igual y he hecho mal los cálculos??

[JCB]

Hola a tod@s.

Si $\theta$ es el ángulo del arco de circunferencia, siendo $dl=Rd\alpha$, $\lambda=\dfrac{M}{\theta R}$ y sustituyendo en $dm=\lambda dl$,

$$dm=\dfrac{M}{\theta}d\alpha$$

También se cumple

$$x=R\cos\alpha$$

Sustituyendo (1) y (2) en la siguiente expresión,

$x_{cdm}=\dfrac{\displaystyle\int xdm}{\displaystyle\int dm}=\dfrac{\displaystyle\int xdm}{M}=\dfrac{R}{\theta}\displaystyle\int_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}}\cos\alpha d\alpha=\dfrac{2R}{\theta}\sin\dfrac{\theta}{2}$

Por el contrario, si $\theta$ fuese el semiángulo del arco de circunferencia, obtendríamos

$x_{cdm}=\dfrac{R}{\theta}\sin\theta$

De manera similar,

$y_{cdm}=\dfrac{\displaystyle\int ydm}{\displaystyle\int dm}=\dfrac{\displaystyle\int ydm}{M}=\dfrac{R}{\theta}\displaystyle\int_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}}\sin\alpha d\alpha=0$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola

si tienes las relaciones $x=R\cos \alpha$ e $y=R\sin\alpha$

defines la relación entre la masa y la longitud de arco $\lambda =\dfrac{M}{R\theta}$ con esto surge cuanto tiene de masa un elemento diferencial de ángulo $dm=\dfrac{M}{\theta}d\alpha=\lambda R d\alpha$

aplicas la definición del CM para una variable suponiendo sección nula del arco

$x_{cm}=\dfrac{\dst\int_V x \ dm}{\dst\int_V dm}=\dfrac{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \overbrace{R\cos\alpha}^{x}\overbrace{\lambda R d\alpha}^{dm} }{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \overbrace{\lambda R d\alpha}^{dm}}=$

$x_{cm}=\dfrac{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \lambda R^2\cos\alpha d\alpha }{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \lambda R d\alpha}=$

$x_{cm}=\dfrac{\lambda R^2 \sin\alpha\dst\vert_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} }{\lambda R\dst\vert_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} }=$

$x_{cm}=\dfrac{\lambda R^2 (\sin(\frac{\theta}{2})-\sin(\frac{-\theta}{2})) }{\lambda R(\frac{\theta}{2}-(-\frac{\theta}{2})) }=$

como $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

$x_{cm}=\dfrac{\lambda R^2 2\sin\frac{\theta}{2} }{\lambda R 2\frac{\theta}{2} }=$

simplifico ahora

$x_{cm}=\dfrac{ 2R\sin\frac{\theta}{2} }{\theta }=$

Aplicando lo mismo para $y$ es redundante ver que por razones de simetría de ángulos $\cos(\alpha) =\cos(-\alpha)$ entonces $y=0$

Edito observa que si el ángulo $\theta$ es pequeño donde $\sin\theta\cong\theta$ es válido hacer

$x_{cm}=\dfrac{ 2R\sin\frac{\theta}{2} }{\theta }\cong\dfrac{ 2R\frac{\theta}{2} }{\theta }\cong\dfrac{ R\sin(2\frac{\theta}{2}) }{\theta }\cong\dfrac{ R\sin\theta }{\theta }$ llegando a la fórmula del apunte

y a la vez observando la fórmula si $\sin\theta\cong\theta$ entonces $x_{cm}\cong R$

[JCB]

Hola a tod@s.

Después de leer el mensaje de Richard R Richard (puedes estar tranquilo, ya que he descartado denunciarte por plagio después de sopesarlo ), la expresión indicada en el archivo adjunto de China, es errónea (sería correcta si $\theta$ fuese el semiángulo del arco de circunferencia). Por otra parte (y aunque este no sea el propósito del ejercicio), si se quiere determinar la coordenada $x$ del cdm cuando $\theta$ tiende a (de manera algo más rigurosa),

$x_{cdm}(\theta\to0)=\lim_{\theta\to0}\dfrac{2R}{\theta}\sin\dfrac{\theta}{2}=R\lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}=R\cdot1=R$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Al principio pensé que te habías equivocado hice el desarrollo y copié algunas de tus nomenclaturas y fórmulas , luego me di cuentas que estaba bien pero ya estaba en danza y que el tema es estaba esta en hacer aplicar límites como dices o aplicar aproximación como digo yo. Saludos.

[China]

Hola, el desarrollo que me habéis puesto de la coordenada x, la veo, y veo como varia el resultado dependiendo de cuál sea el ángulo tomado, lo que sigo sin ver es por qué, en la coordenada y, no me sale lo mismo si integro entre $0 y\theta$ y multiplico por 2 0 integro entre $-\theta y \theta$.
Si veis en el primer post y en dibujo adjunto considero que el ángulo del arco es $2\theta$ y he dejado planteada la resolución de la coordenada y integrando con los limites mencionados, en uno sale la solución esperada y en otro no, y debería salir lo mismo, y no encuentro el error.

saludos

[Richard R Richard]

no me sale lo mismo si integro entre $0 y\theta$ y multiplico por 2 0 integro entre $-\theta y \theta$.

Solo puedes multiplicar por dos cuando el divides los límites de integración $[-\theta,\theta]$ en dos integrales sumadas con límites $[-\theta,0]$ y $[0,\theta]$ y ambas resultan dar el mismo valor, evidentemente la primera es dos veces en valor de cualquiera de las otras.
Sobre el eje $y$ no hay simetría y si en el eje $x$ lo de arriba de eje $x$ colabora con el mismo valor que con lo de debajo entonces dividir en dos el problema y multiplicar por 2 veces ese resultado es factible.

Pero en la variable $y$ cuando divides en dos la integral una resulta el valor opuesto de la otra ,son iguales en valor absoluto pero no en signo y al sumarlas obtienes el valor nulo. Multiplicar por dos en este caso es un error.
Lo que es util de ver es que esa integral se anula por simetría, lo de arriba del eje $x$ es igual a lo de debajo, pero la variable $y$ cambia de signo y en vez de sumarse se restan.


Con más tiempo te muestro con fórmulas lo que ahora te explico.

Saludos

[Alriga]

[TEX]y=\frac{\int_{-\theta}^{\theta}R sen\theta\cdot d\theta}{\int_{-\theta}^{\theta} d\theta}[/TEX]

[TEX]y=\frac{2\int_{0}^{\theta}R sen\theta\cdot d\theta}{2\int_{0}^{\theta} d\theta}=\frac{-R(cos\theta-cos0}{\theta}=\frac{R(1-cos\theta)}{\theta}[/TEX]

Se ve

$y=\frac{\int_{-\theta}^{\theta}R sen\theta\cdot d\theta}{\int_{-\theta}^{\theta} d\theta}$

$y=\frac{2\int_{0}^{\theta}R sen\theta\cdot d\theta}{2\int_{0}^{\theta} d\theta}=\frac{-R(cos\theta-cos0}{\theta}=\frac{R(1-cos\theta)}{\theta}$

Hola China un par de consejos en cuanto a la posible mejor utilización del LaTeX

- Si para las fracciones usas \dfrac en vez de \frac las fracciones se ven mayores

- Si delante del comando de las integrales \int pones el comando \dst las integrales se ven mayores

- Para el seno y el coseno existen los comandos \sin y \cos

[TEX]y=\dfrac{\dst \int_{-\theta}^{\theta}R \sin \theta\cdot d\theta}{\dst \int_{-\theta}^{\theta} d\theta}[/TEX]

[TEX]y=\dfrac{2 \dst \int_{0}^{\theta}R \sin \theta\cdot d\theta}{2 \dst \int_{0}^{\theta} d\theta}=\dfrac{-R(\cos \theta-\cos 0)}{\theta}=\dfrac{R(1-\cos \theta)}{\theta}[/TEX]

Se ve:

$y=\dfrac{\dst \int_{-\theta}^{\theta}R \sin \theta\cdot d\theta}{\dst \int_{-\theta}^{\theta} d\theta}$

$y=\dfrac{2 \dst \int_{0}^{\theta}R \sin \theta\cdot d\theta}{2 \dst \int_{0}^{\theta} d\theta}=\dfrac{-R(\cos \theta-\cos 0)}{\theta}=\dfrac{R(1-\cos \theta)}{\theta}$

En relación a lo que preguntas, si a tí te piden calcular la integral entre 0 y $2\pi \simeq 6.28$ de la funcion $y=\sin x$

¿lo resolverías integrando entre 0 y $\pi\simeq 3.14$ y multiplicando el resultado por 2?

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola para la variable y

si tienes las mismas relaciones
$x=R\cos \alpha$

$y=R\sin\alpha$

$\lambda =\dfrac{M}{R\theta}$

$dm=\dfrac{M}{\theta}d\alpha=\lambda R d\alpha$


aplicas la definición del CM para una variable suponiendo sección nula del arco

$y_{cm}=\dfrac{\dst\int_V y \ dm}{\dst\int_V dm}=\dfrac{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \overbrace{R\sin\alpha}^{y}\overbrace{\lambda R d\alpha}^{dm} }{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \overbrace{\lambda R d\alpha}^{dm}}=$

$y_{cm}=\dfrac{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \lambda R^2\sin\alpha d\alpha }{\dst\int\limits_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} \lambda R d\alpha}=$

$y_{cm}=\dfrac{\lambda R^2 (-\cos\alpha)\dst\vert_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} }{\lambda R\dst\vert_{-\frac{\theta}{2}}^{\frac{\theta}{2}} }=$

$y_{cm}=\dfrac{\lambda R^2 (-\cos(\frac{\theta}{2})-(-\cos(\frac{-\theta}{2})) }{\lambda R(\frac{\theta}{2}-(-\frac{\theta}{2})) }=$

como $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$y_{cm}=\dfrac{\lambda R^2 (-\cos\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}) }{\lambda R 2\frac{\theta}{2} }=0$