Cálculo del torque de una fuerza

[Yey]

Hola a todos,
Llevo varios días tratando de comprender esto y estoy teniendo dificultades. Cada vez que consulto diferentes fuentes, obtengo información contradictoria, y estoy empezando a sentirme frustrado. Aquí está mi problema:
Estoy intentando calcular el momento de una fuerzas presentes en una escalera inclinada en equilibrio. Conozco la teoría: sé que debo realizar una multiplicación vectorial M = F x r = F1 · r · sen(α). ¿Cómo calculo el ángulo α? ¿necesito alinear los dos extremos de los vectores en el mismo punto para obtenerlo? ¿Dónde aplico la regla de la mano derecha, en los vectores cuando tienen el mismo origen o cuando tienen orígenes diferentes? Y, ¿La mano de que vector a que va, es decir, desde el vector R al F o viceversa?

¡Gracias de antemano!

[teclado]

Hola, son muchas preguntas:

¿Cómo calculo el ángulo α? ¿necesito alinear los dos extremos de los vectores en el mismo punto para obtenerlo?

El ángulo lo puedes saber de varias maneras:

* En este tipo de problemas, normalmente puedes conocer el ángulo, o al menos su seno por las características geométricas del problema, trasladando los orígenes de los vectores al mismo punto sin cambiar la dirección. Por ejemplo, si la escalera forma un ángulo $\theta$ con el suelo, y quieres saber el momento del peso (que va hacia abajo) respecto al punto de contacto con el suelo, tu ángulo $\alpha$ será $\alpha=90º+\theta$.

* Si tienes las componentes de los vectores, puedes calcular el producto vectorial directamente como

$\vec{r}\times\vec{F}=\begin{array}{|ccc|}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{array}$

Recuerda que el orden es $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$, si multiplicas $\vec{F}\times\vec{r}$ te saldrá con el signo cambiado.

* Si tienes las componentes, pero por lo que sea no sabes la definición de arriba, puedes hacer el producto escalar $\vec{r}\vec{F}=xF_x+yF_y+zF_z=|r||F|\cos\alpha$, y despejar $\alpha$ de ahí.

¿Dónde aplico la regla de la mano derecha, en los vectores cuando tienen el mismo origen o cuando tienen orígenes diferentes?

La regla de la mano derecha se aplica siempre. Como te digo más arriba, el producto vectorial se tiene que pensar después de hacer coincidir los orígenes de los vectores. Recordándola, con el dedo índice apuntando en la dirección del brazo y el corazón hacia dentro de la mano, has de imaginarte girar la mano hasta que la dirección del índice coincida (más o menos) con la del primer vector, y la del corazón (más o menos) con la del segundo. La dirección del pulgar, perpendicular a los otros dos, te dirá la dirección del vector resultante.

¿La mano de que vector a que va, es decir, desde el vector R al F o viceversa?

No te sigo.

Edito: Releyendo, creo que hablas de la otra regla de la mano derecha, que también vale, que es en la que doblas la mano desde el primer vector hacia el segundo y el pulgar te dice la dirección del resultado. Siempre después de hacer coincidir los orígenes trasladándolos sin cambiar su dirección ni sentido.

[JCB]

Hola a tod@s.

Sí, el ejercicio de la escalera apoyada en una pared, es todo un clásico de la Estática. Para cuando hayas asimilado todo lo escrito por teclado y abordes este ejercicio, llegarás a que el ángulo mínimo entre la escalera y la horizontal es de $26,57^{\circ}$, considerando que solo existe rozamiento entre el suelo y la escalera (y no entre la pared y la escalera).

Saludos cordiales,
JCB.

[Yey]

Hola de nuevo,

Muchas gracias, a los dos !!!

En la explicación de @teclado, tengo una duda, porque calculas el vector escalar con el coseno? En internet encontré que había que multiplicarlo con seno. Por lo demás, creo que he conseguido entenderlo.

[teclado]

Hola,

El producto vectorial y escalar de dos vectores son cosas muy distintas.

Producto vectorial

El producto vectorial da como resultado otro vector, que es perpendicular a los otros dos y se obtiene con la operación siguiente, donde $\hat{i}$, $\hat{j}$ y $\hat{k}$ son los vectores unitarios en la dirección del eje X, eje Y y eje Z respectivamente:

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{array}{|ccc|}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end{array}$

Se denota con el símbolo $\times$ y se puede demostrar que en módulo es

$$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\alpha$$

siendo $\alpha$ el ángulo que forman los dos vectores cuando se trasladan sus orígenes para que coincidan.

Más info.

Producto escalar

El producto escalar da como resultado un escalar, es decir un número, y se denota con el símbolo $\cdot$, que habitualmente se omite. Dicho número se obtiene haciendo la operación siguiente:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

Que, esta vez, se puede demostrar que es lo mismo que

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$$

Donde $\alpha$ vuelve a ser el ángulo que forman los dos vectores.

Más info.

Obtención del ángulo que forman dos vectores

Conocidas las componentes de dos vectores puedes saber el ángulo que forman utilizando cualquiera de las ecuaciones numeradas anteriores. Para despejarlo, puedes dividir el resultado de cualquiera de ellas por el producto de los módulos de los vectores y tomando el arcoseno si utilizas (1) o el arcocoseno si utilizas (2).

Utilizando el producto vectorial (1)

$\dst\sin\alpha=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} \Leftrightarrow \alpha=\arcsin\left (\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right )$

Utilizando el producto escalar (2)

$\dst\cos\alpha=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \Leftrightarrow \alpha=\arccos\left (\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right )$

PD: En ningún momento he hablado de ningún "vector escalar". Eso no existe: Por definición algo no puede ser vector (varios números) y escalar (un solo número) al mismo tiempo. Lamento si te he confundido, y espero que este post te aclare las ideas.