1r ciclo Ecuación del movimiento y trayectoria de una partícula sometida a fuerzas centrales.

[Turrillo]

Hola, necesito ayuda con el siguiente problema:
Una partícula, moviéndose en el plano xy, está sometida a una aceleración proporcional a la distancia al origen y en dirección opuesta a su vector posición: a= -w² r. Inicialmente la partícula se encuentra en la posición (0, y0) y lleva una velocidad (v0x, 0). Obtenga la ecuación de movimiento. ¿De qué trayectoria se trata?
r es el vector de posicion. He intentado una cosa, llegando a las expresiones de x e y pero no me dependen del tiempo:
x=(-v_0x + w² + vx²)^1/2
y=(y₀ + w² + vy²)^1/2

[Richard R Richard]

Hola, Turrillo Bienvenido al Foro!!! Como nuevo miembro te será útil leer Consejos para recibir ayuda de forma efectiva , Consejos de conducta y Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Hola, necesito ayuda con el siguiente problema:
Una partícula, moviéndose en el plano xy, está sometida a una aceleración proporcional a la distancia al origen y en dirección opuesta a su vector posición: a= -w² r. Inicialmente la partícula se encuentra en la posición (0, y0) y lleva una velocidad (v0x, 0). Obtenga la ecuación de movimiento. ¿De qué trayectoria se trata?
r es el vector de posición. He intentado una cosa, llegando a las expresiones de x e y pero no me dependen del tiempo:
x=(-v_0x + w² + vx²)^1/2
y=(y₀ + w² + vy²)^1/2

Lo que te están dando, son las bases para un movimiento elíptico, https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_el%C3%ADptico basado en un sistema de fuerza central sin más aclaraciones mediante,(sobre la constancia del valor de w), pero por la nomenclatura confusa por no usar $\LaTeX$ si supones que w$=\omega$ la velocidad angular del movimiento , además que $r$ y $a$ son vectores y esta cumple que $|\vec \omega|=\dfrac{|\vec v_{0}|}{|\vec r|}=\dfrac{\mathbf {v_0}}{\mathbf{r}}$ entonces el movimiento es un movimiento circular uniforme. https://es.wikipedia.org/wiki/Movimi...cular_uniforme que tiene toda la pinta de ser esto lo que quieres preguntar.

por otro lado en el caso en que $y_0=0$ entonces el movimiento es un MAS movimiento armónico simple https://es.wikipedia.org/wiki/Movimi...%B3nico_simple

Para el caso del movimiento circular

$x_{(t)}=|r| \sin(\frac{\pi}{2}-\omega t)=\mathbf{r} \sin(\frac{\pi}{2}-\dfrac{\mathbf {v_0}}{\mathbf{r}} t)$

$y_{(t)}=|r| \cos(\frac{\pi}{2}-\omega t)=\mathbf{r} \cos(\frac{\pi}{2}-\dfrac{\mathbf {v_0}}{\mathbf{r}} t)$



en el caso del MAS

$x_{(t)}=\dfrac{v_{0x}}{\omega}\sin(\omega t)$

$y_{(t)}=0$

Saludos

[delmar7]

Hola Turrillo

Bienvenido al foro

La ecuación de la aceleración es correcta : $\vec{a}=-w^2 \ \vec {r}$, expresando en cartesianas se tiene :

$x'' \vec{i}+y'' \vec{j}=-w^2x \vec{i}-w^2y \vec{j}$ de acá se obtienen dos ecuaciones :

$x''=-w^2x \Rightarrow x'' \ x'=-w^2x \ x' \Rightarrow \int_{0}^{t} x' \ x'' \ dt= \int _{0}^{t} -w^2x \ x' \ dt \Rightarrow x'^2-v^2_{0x}=-w^2 \ x^2$ Ec 1

$y''=-w^2y \Rightarrow y'' \ y'=-w^2y \ y' \Rightarrow \int_{0}^{t} y' \ y'' \ dt= \int _{0}^{t} -w^2y \ y' \ dt \Rightarrow y'^2=-w^2 \ y^2-w^2 \ y_0^2$ Ec 2

Sumando las Ec 1 y 2 se llega :

$x'^2-v^2_{0x}+y'^2=-w^2 \ x^2-w^2 \ y^2-w^2 \ y_0^2$

En este punto dos observaciones importantes la fuerza sobre la partícula siempre pasa por el origen de coordenadas, esto significa que el momento cinético (angular) de la partícula se conserva y en el caso de que la fuerza sea normal a la velocidad la energía cinética se conserva y $x'^2+y'^2=v_{0x}^2$ ahí saca tus conclusiones.

Saludos

[Turrillo]

Muchas gracias a ambos, aprenderé a introducciones las ecuaciones para próximas consultas o respuestas, Gracias!

[Alriga]

Redundando en lo que te explica Richard R Richard, el LaTeX es muy fácil, se aprende en media hora, además del tutorial que él te ha indicado, Cómo introducir ecuaciones en los mensajes, aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX

Además si haces doble click sobre cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita, si quieres copiarla, márcala con el ratón, con el botón de la derecha del ratón haz copiar, y a continuación entre medio de los corchetes [TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] ¡y ya tienes tu fórmula en LaTeX!

...Una partícula, moviéndose en el plano xy, está sometida a una aceleración proporcional a la distancia al origen y en dirección opuesta a su vector posición $\vec a=-\omega^2 \vec r$. Inicialmente la partícula se encuentra en la posición $(0, \ y_0)$ y lleva una velocidad $(v_{0x}, \ 0)$

Obtenga la ecuación de movimiento. ¿De qué trayectoria se trata?...

Complementando y detallando las respuestas de los compañeros anteriores:

$\vec a=-\omega^2 \vec r$

La aceleración es la derivada segunda del vector de posición:

$\dfrac{d^2\vec r}{dt^2}=-\omega^2 \vec r$

$\vec r=x\hat i +y\hat j$

Separando por componentes:

$\ddot x=-\omega^2 x$

$\ddot y=-\omega^2 y$

$$\ddot x + \omega^2 x=0$$

$$\ddot y + \omega^2 y=0$$

Cada una de las ecuaciones es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden, homogénea de coeficientes constantes. Y si te fijas, es una ecuación que conoces muy bien puesto que es la ecuación de un movimiento armónico simple, cuya solución es bien conocida:

$x=c_1\sin \omega t+c_2 \cos \omega t$

$y=c_3\sin \omega t+c_4 \cos \omega t$

Vamos a imponer la 1ª condición inicial:

$t=0 \to x=0 \ ; \ y=y_0 \Rightarrow 0=c_2 \ ; \ y_0=c_4$

Derivamos para obtener la velocidad:

$v_x=c_1 \omega \cos \omega t$

$v_y=c_3 \omega \cos \omega t-\omega y_0 \sin \omega t$

Imponemos la 2ª condición inicial:

$t=0 \to v_x=v_{0x} \ ; \ v_y=0 \Rightarrow v_{0x}=c_1 \omega \ ; \ 0=c_3 \omega \to c_1=\dfrac{v_{0x}}{\omega} \ ; \ c_3=0$

Sustituyendo, obtenemos las ecuaciones paramétricas del movimiento:

$$x=\dfrac{v_{0x}}{\omega} \ \sin \omega t$$

$$y=y_0\cos \omega t$$

Que corresponde a las ecuaciones paramétricas de un movimiento elíptico centrado en el origen de coordenadas y con ejes paralelos a los ejes de coordenadas, cuyo semieje horizontal es $\dfrac{v_{0x}}{\omega}$ y semieje vertical $y_0$

Nota que el movimiento solo será circular cuando se de la coincidencia de que $\dfrac{v_{0x}}{\omega}=y_0$ = radio de la circunferencia

La ecuación vectorial del movimiento es, evidentemente:

$$\vec r(t) = \dfrac{v_{0x}}{\omega} \ \sin \omega t \ \hat i + y_0\cos \omega t \ \hat j$$

Saludos.