1r ciclo Movimiento de una partícula en un plano

[medina00]

Enunciado:
Una partícula de masa m=2 kg se mueve en un plano de modo que: vx = 4t3+ 4t (m/s) , vy = 4t ( m/s) con t en segundos.
En el instante inicial (t=0) la partícula está en el punto (xo, yo) = (1,2). Cuando ha transcurrido 1 segundo calcular: a)
Posición de la partícula. Rpta.: (4, 4 )

He integrado las fórmulas de las componentes x e y de la velocidad y me queda x(t)=t⁴ + 2t² y y(t)=2t² .Al sustituir me da x=3 e y =2. No entiendo por que la posición da (4,4).Entiendo que suma la posición (1,2) en la que ya esta, pero al sustituir t=1 no debería dar directamente su posición? y al sustituir t=0 no me debería dar la posición (1,2)?

[JCB]

Hola a tod@s.

Parece que el error está en los límites de integración. A mí me sale

$x(t)=x_0+t^4+2t^2$

$y(t)=y_0+2t^2$

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

Hola a tod@s.

Parece que el error está en los límites de integración. A mí me sale

$x(t)=x_0+t^4+2t^2$

$y(t)=y_0+2t^2$

Saludos cordiales,
JCB.

¿Y de donde sacas X_{0 e} Y₀?

[JCB]

¿Y de donde sacas X_{0 e} Y₀?

Hola a tod@s.

Vete acostumbrando a escribir en LaTeX, no por capricho, sino porque es una norma del foro.

$v_x=\dfrac{dx}{dt}=4t^3+4t$

$dx=(4t^3+4t)dt$

$\displaystyle\int_{x_0}^{x}dx=\displaystyle\int_{t_0}^{t}(4t^3+4t)dt$

Con $v_y$, sería similar.

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

Luego en este mismo ejercicio el apartado b) me pide calcular la aceleración tangencial y normal.

$a = \frac{dv}{dt}<br />$
$ax = 12t^2 + 4<br />$
$ay = 4<br />$
$\vec{a}=(16,4)<br />$
$\|\vec{a}\|=16,49m/s^2$
$\vec{v}=(8,4)<br />$
$\|\vec{v}\|=8,94m/s^2$
$\vec{a}*\vec{v}=\|\vec{a}\|*\|\vec{v}\|*cos(\alpha)$
$cos(\alpha)= \frac{(\vec{a}*\vec{v})}{(16,49)*(8,94)}=0,97\alpha=13,74º$
$a_t=a*cos(\alpha)$
$a_n=a*sen(\alpha)$

Mi duda es al hacer:
$cos(\alpha)= \frac{(\vec{a}*\vec{v})}{(16,49)*(8,94)}=0,97\alpha=13,74º$
El resultado nos daría un vector no? y puedo sacar un ángulo siendo un vector?

[Richard R Richard]

Luego en este mismo ejercicio el apartado b) me pide calcular la aceleración tangencial y normal.

$a = \frac{dv}{dt}$
$ax = 12t^2 + 4$
$ay = 4$
$\vec{a}=(16,4)$
$\|\vec{a}\|=16,49m/s^2$
$\vec{v}=(8,4)$
$\|\vec{v}\|=8,94m/s^2$
$\vec{a}*\vec{v}=\|\vec{a}\|*\|\vec{v}\|*cos(\alpha)$
$cos(\alpha)= \frac{(\vec{a}*\vec{v})}{(16,49)*(8,94)}=0,97\alpha=13,74º$
$a_t=a*cos(\alpha)$
$a_n=a*sen(\alpha)$

Mi duda es al hacer:
$cos(\alpha)= \frac{(\vec{a}*\vec{v})}{(16,49)*(8,94)}=0,97\alpha=13,74º$
El resultado nos daría un vector no? y puedo sacar un ángulo siendo un vector?

Hola, siempre la velocidad tiene la direccion tangencial, la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la direccion paralela a la velocidad, y la aceleración normal será la componente perpendicular a ésta.

no nos indicas en que instante debe calcularse , pero intuyo sigue siendo para 1s

$a_{(t)} = \dfrac{\partial v_{(t)}}{\partial t}$
$ax_{(t)} = 12t^2 + 4$
$ay_{(t)} = 4$
$\vec{a_{(1)}}=(16,4)$
$\|\vec{a_{(1)}}\|=16,49m/s^2\checkmark$


$\vec{v_{(t)}}=(4t^3+4t,4t)$
$\vec{v_{(1)}}=(8,4)$
$\|\vec{v_{(1)}}\|=8,94m/s^2\checkmark$


$\vec{a_{(t)} }\cdot\vec{v_{(t)} }=\|\vec{a_{(t)} }\|\|\vec{v_{(t)} }\|\cos(\alpha_{(t)} )$
$\cos(\alpha_{(1)} )= \dfrac{(\vec{a_{(1)}}\cdot\vec{v_{(1)}})}{||\vec{a_{(1)}}\|\|\vec{v_{(1)}}\|}=\dfrac{16\cdot8+4\cdot4}{(16,49)(8,94)}=0,97\quad \to\quad \alpha_{(1)} =13,74º \checkmark$


$at_{(1)} =\|\vec{a_{(1)}}\|\cos(\alpha_{(1)} )$
$an_{(1)} =\|\vec{a_{(1)}}\|\sin(\alpha_{(1)} )$

Pd. la aceleración es un vector, que se puede escribir en la base cartesiana $(x,y)$ con componentes $(16,4)$ pero en una base que tiene dirección siempre tangencial y normal $(t,n)$ a la trayectoria a tiempo 1s sus componentes son $\left(\|\vec{a_{(1)}}\|\cos(\alpha_{(1)} ),\|\vec{a_{(1)}}\|\sin(\alpha_{(1)} ) \right)$

Saludos

[medina00]

Hola, siempre la velocidad tiene la direccion tangencial, la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la direccion paralela a la velocidad, y la aceleración normal será la componente perpendicular a ésta.

no nos indicas en que instante debe calcularse , pero intuyo sigue siendo para 1s

$a_{(t)} = \dfrac{\partial v_{(t)}}{\partial t}$
$ax_{(t)} = 12t^2 + 4$
$ay_{(t)} = 4$
$\vec{a_{(1)}}=(16,4)$
$\|\vec{a_{(1)}}\|=16,49m/s^2\checkmark$


$\vec{v_{(t)}}=(4t^3+4t,4t)$
$\vec{v_{(1)}}=(8,4)$
$\|\vec{v_{(1)}}\|=8,94m/s^2\checkmark$


$\vec{a_{(t)} }\cdot\vec{v_{(t)} }=\|\vec{a_{(t)} }\|\|\vec{v_{(t)} }\|\cos(\alpha_{(t)} )$
$\cos(\alpha_{(1)} )= \dfrac{(\vec{a_{(1)}}\cdot\vec{v_{(1)}})}{||\vec{a_{(1)}}\|\|\vec{v_{(1)}}\|}=\dfrac{16\cdot8+4\cdot4}{(16,49)(8,94)}=0,97\quad \to\quad \alpha_{(1)} =13,74º \checkmark$


$at_{(1)} =\|\vec{a_{(1)}}\|\cos(\alpha_{(1)} )$
$an_{(1)} =\|\vec{a_{(1)}}\|\sin(\alpha_{(1)} )$

Pd. la aceleración es un vector, que se puede escribir en la base cartesiana $(x,y)$ con componentes $(16,4)$ pero en una base que tiene dirección siempre tangencial y normal $(t,n)$ a la trayectoria a tiempo 1s sus componentes son $\left(\|\vec{a_{(1)}}\|\cos(\alpha_{(1)} ),\|\vec{a_{(1)}}\|\sin(\alpha_{(1)} ) \right)$

Saludos

Una duda:
Cando hago $a_{(t)} = \dfrac{\partial v_{(t)}}{\partial t}$ Esta aceleración sería la tangencial directamente ¿no?
Es decir al hacer $\|\vec{a_{(1)}}\|=16,49m/s^2\checkmark$ esta ya sería la aceleración tangencial y debería darme lo mismo que $at_{(1)} =\|\vec{a_{(1)}}\|\cos(\alpha_{(1)} )$ ¿no?

[Alriga]

Una partícula de masa m=2 kg se mueve en un plano de modo que: $v_x = 4t^3+4t$ (m/s) , $v_y = 4t$ (m/s) con t en segundos. En el instante inicial (t=0) la partícula está en el punto (xo, yo) = (1,2). Cuando ha transcurrido 1 segundo calcular:

a) Posición de la partícula. Rpta.: (4, 4)

A ver si así lo entiendes mejor:

$\dst x=\int v_x \ dt$

$x=t^4+2t^2+cte_1$

$\dst y=\int v_y \ dt$

$y=2t^2+cte_2$

Para determinar las constantes de integración imponemos la condición inicial:

$t=0 \to x=1 \quad y=2 \rightarrow cte_1=1 \quad cte_2=2$

Por lo tanto:

$x=t^4+2t^2+1$

$y=2t^2+2$

Cuando t=1 segundo:

$x(1)=4$ m

$y(1)=4$ m

Luego en este mismo ejercicio el apartado b) me pide calcular la aceleración tangencial y normal.

Se sobreentiende que quieren que la calcules cuando t=1 segundo

$a_x=\dfrac{dv_x}{dt}$

$a_y=\dfrac{dv_y}{dt}$

$a_x=12t^2+4$

$a_y=4$

El módulo de la aceleración

$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

$a=\sqrt{(12t^2+4)^2+4^2}$

El módulo de la velocidad:

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Sustituyendo y simplificando:

$v=4t\sqrt{t^4+2t^2+2}$

La aceleración tangencial:

$a_t=\dfrac{dv}{dt}$

Derivando y simplificando:

$a_t=\dfrac{4(3t^4+4t^2+2)}{\sqrt{t^4+2t^2+2}}$

En el instante t=1 calculamos los módulos de la aceleración y de la aceleración tangencial:

$a=\sqrt{272}=16.49 \ m/s^2$

$$a_t=\dfrac{36}{\sqrt 5}=16.10 \ m/s^2$$

Sabemos que se debe cumplir:

$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$

Despejamos la aceleración normal y ponemos números:

$a_n=\sqrt{a^2-a_t^2}$

$$a_n=\sqrt{12.8}=3.58 \ m/s^2$$

Saludos.

[Richard R Richard]

Una duda:
Cando hago $a_{(t)} = \dfrac{\partial v_{(t)}}{\partial t}$ Esta aceleración sería la tangencial directamente ¿no?

$a_{(t)}$ es la expresión matemática de la aceleración en función del tiempo t por eso cuando te lo piden a tiempo 1 segundo ves la expresión $a_{(1)}$

la aceleracion tangencial te puse la nomenclatura $at_{(t)}$ la primer t es de tangencial la segunda del tiempo.

Es decir al hacer $\|\vec{a_{(1)}}\|=16,49m/s^2\checkmark$ esta ya sería la aceleración tangencial y debería darme lo mismo que $at_{(1)} =\|\vec{a_{(1)}}\|\cos(\alpha_{(1)} )$ ¿no?

No.

La norma o módulo del vector aceleración es la misma para cualquier sistema de referencia que uses. Pero no serán iguales las componentes en cada sistema de referencia.

Cuando la aceleración solo tiene componente tangencial no nula, la dirección del movimiento no cambia, la trayectoria que obtienes sería una recta, pero cuando hay componente normal en la aceleración , la dirección cambia, aún así a cada instante la dirección del vector velocidad sigue siendo tangente a la trayectoria que sería una curva.