que pasaria si la distancia en la formula de gravitacion cambiara??

[ginin]

hola amigos ,agradezco ayuda...he leido que si en lugar de r^2 sea r^3,el sol absorberia a los planetas o los electrones caerian a los nucleos y la vida no seria posible mas no encuentro en toda la web una demostracion o fundamento matematico de esta afirmacion agradezco sepan de un texto o alguna demostracion que conozcan gracias

[Alriga]

Hola ginin bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Con la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia según la ley de gravitación universal de Newton, las órbitas de masas de prueba $m$ en torno a una masa mucho mayor $M$ se obtienen de resolver la ecuación diferencial vectorial que se deduce de:

$\vec{\bold F}=m \vec{\bold a}$

$\vec{\bold F}=-\dfrac{G M m}{r^2} \ \hat{\bold r}$

$\vec{\bold F}=-\dfrac{G M m}{r^3} \ \vec{\bold r}$

$$\dfrac{d^2 \vec{\bold r}}{dt^2}=-\dfrac{G M}{r^3} \ \vec{\bold r}$$

La resolución de esta ecuación diferencial está en los libros, ocupando varias páginas hasta llegar a las soluciones, soluciones que, como sabes, admiten órbitas cerradas elípticas.

Si tal como tú propones la fuerza fuese inversamente proporcional al cubo de la distancia (es decir, fuerza mucho más débil de como es realmente) la ecuación diferencial a resolver sería:

$$\dfrac{d^2 \vec{\bold r}}{dt^2}=-\dfrac{G M}{r^4} \ \vec{\bold r}$$

No sé si alguien se ha dedicado a resolverla y lo ha publicado, seguramente no, pues la mayoría de la gente no pierde el tiempo realizando varias páginas de tediosos cálculos que saben que no tienen realidad física. Según tu perfil, estás en la Universidad estudiando los primeros años de la carrera de Física, por lo que ya tienes buenas herramientas para atacar la resolución de esta ecuación diferencial, deberías intentarlo si te interesa mucho.

Una cosa sí sabemos sin necesidad de resolver la ecuación diferencial: no tiene soluciones en forma de órbitas cerradas similares a las órbitas elípticas. Puesto que sabemos según el Teorema de Bertrand que las únicas fuerzas centrales que proporcionan órbitas cerradas son:

Cuando $F(r)=-\dfrac k{r^2}$

O bien cuando $F(r)=-k\cdot r$

La demostración la puedes encontrar en esta entrada de la Wikipedia, en donde hay una simulación de una órbita "normal" es decir con la fuerza proporcional a $r^{-2}$ una proporcional a $r^{-2.1}$ y otra proporcional a $r^{-1.9}$

El enlace es Bertrand's theorem

Por otro lado, nota que si el espacio es euclídeo tridimensional (clásico-newtoniano), homogéneo e isótropo, la lógica dice que el campo debe debilitarse con la potencia exactamente "2" de la distancia, eso lo explicamos en el hilo Relación entre el spin 2 del graviton y el inverso de la distancia al cuadrado en formula de Newton

Saludos y de nuevo, bienvenido.

[ginin]

excelente amigo muchas gracias!!te comento que estudio fisica por mi cuenta estoy con el zemansky pero no llega al nivel de ecuaciónes diferenciales

Hola ginin

$\vec{\bold F}=m \vec{\bold a}$

$\vec{\bold F}=-\dfrac{G M m}{r^2} \ \hat{\bold r}$

$\vec{\bold F}=-\dfrac{G M m}{r^3} \ \vec{\bold r}$

$$\dfrac{d^2 \vec{\bold r}}{dt^2}=-\dfrac{G M}{r^3} \ \vec{\bold r}$$

La resolución de esta ecuación diferencial está en los libros, ocupando varias páginas hasta llegar a las soluciones, soluciones que, como sabes, admiten órbitas cerradas elípticas.

.

te agradeceria me orientes en que libros `puedo encontrar esa soluciones que admiten órbitas cerradas elípticas.nuevamente muchas gracias!!

[Alriga]

...me orientes en que libros puedo encontrar esa soluciones que admiten órbitas cerradas elípticas...

Hay muchos libros. También puedes buscar en Internet "Problema de los dos cuerpos". Por ejemplo aquí mismo en La web de Física, puedes consultar Gravitación newtoniana. También puedes mirar en la Wikipedia Kepler problem

Saludos.

[Fortuna]

hola amigos ,agradezco ayuda...he leido que si en lugar de r^2 sea r^3,el sol absorberia a los planetas o los electrones caerian a los nucleos y la vida no seria posible mas no encuentro en toda la web una demostracion o fundamento matematico de esta afirmacion agradezco sepan de un texto o alguna demostracion que conozcan gracias

Si usas el potencial efectivo $V_{eff}=\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GM}{2r^2}{}$ verás que no tiene mínimo. Ello indica que el momento angular no compensa el gran potencial atractivo a distancias pequeñas. Es decir, dos objetos que se acercan, aunque no sea en la misma dirección se estrellarían.

Adjunto imagen comparativa de potenciales para fuerzas $\dfrac{1}{r}$, $\dfrac{1}{r^2}$ y $\dfrac{1}{r^3}$

[ginin]

Si usas el potencial efectivo $V_{eff}=\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GM}{2r^2}{}$ verás que no tiene mínimo. Ello indica que el momento angular no compensa el gran potencial atractivo a distancias pequeñas. Es decir, dos objetos que se acercan, aunque no sea en la misma dirección se estrellarían.

Adjunto imagen comparativa de potenciales para fuerzas $\dfrac{1}{r}$, $\dfrac{1}{r^2}$ y $\dfrac{1}{r^3}$

ok amigo muchas gracias podrias decirme de donde obtuviste esa demostracion quiero profundizar el tema gracias!!

[Alriga]

...de donde obtuviste esa demostración quiero profundizar el tema...

La deducción de la expresión de la energía potencial efectiva no es difícil. La energía mecánica del cuerpo $m$ es la suma de la energía cinética más la energía potencial:

$E=\dfrac 1 2 m v^2+U(r)$

La velocidad siempre se puede descomponer en una componente radial en dirección al cuerpo que causa la fuerza central y una componente transversal, perpendicular a la radial

$v^2=v_t^2+v_r^2$

Sustituimos:

$E=\dfrac 1 2 m v_r^2+ \dfrac 1 2 m v_t^2+U(r)$

El momento angular es:

$L=r\cdot mv_t$

Despejamos la velocidad transversal y sustituimos:

$E=\dfrac 1 2 m v_r^2+\left ( \dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r) \right )$

Podemos escribir:

$E=\dfrac 1 2 m v_r^2+U_{ef}(r)$

Si hemos llamado energía potencial efectiva a:

$U_{ef}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)$

Si la fuerza es newtoniana (inversamente proporcional al cuadrado de la distancia)

$F_N=\dfrac{GMm}{r^2}$

$\displaystyle U_N=\int F_N dr=-\dfrac{GMm}{r}$

Y se obtiene:

$$U_{ef_N}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$$

Corresponde a la curva de color azul que tiene un mínimo relativo que ha dibujado Fortuna

Si la fuerza fuese inversamente proporcional al cubo de la distancia:

$F_3=\dfrac{GMm}{r^3}$

$\displaystyle U_3=\int F_3 dr=-\dfrac{GMm}{2r^2}$

$$U_{ef_3}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{2r^2}$$

$$U_{ef_3}(r)=\left ( \dfrac{L^2}{2m}-\dfrac{GMm}{2} \right ) \dfrac 1{r^2}$$

Corresponde a la curva de color más claro del dibujo de Fortuna.

ginin, como bibliografía puede interesarte Tema 2. Sistemas conservativos. Cuarta parte: Movimiento planetario. Satélites (UNED)

Saludos.

[Alriga]

$\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GM}{2r^2}{}$

Hola Fortuna , creo que has olvidado "m" en esa expresión, que para que sea dimensionalmente coherente debería ser:

$U_{ef_3}=\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{2r^2}$

O también sería correcto:

$V_{ef_3}=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}+V_3(r)=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}-\dfrac{GM}{2r^2}$

Me explico, recordando la definición de momento angular específico:

$h=\dfrac L m$

Podemos escribir para la energía potencial efectiva newtoniana:

$U_{ef_N}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$


$U_{ef_N}(r)=\dfrac{h^2 m}{2r^2}-\dfrac{GMm}{r}$

Y si definimos Potencial Gravitacional Efectivo como la Energía Potencial Efectiva por unidad de masa:

$V=\dfrac U m$

Entonces, el potencial gravitacional efectivo en el caso newtoniano es:

$$V_{ef_N}(r)=\dfrac{h^2}{2r^2}-\dfrac{GM}{r}$$

O también:

$V_{ef_N}(r)=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}-\dfrac{GM}{r}$

Si la fuerza fuese inversamente proporcional al cubo de la distancia, entonces:

$U_{ef_3}(r)=\dfrac{h^2 m}{2r^2}-\dfrac{GMm}{2r^2}$

$$V_{ef_3}(r)=\dfrac{h^2}{2r^2}-\dfrac{GM}{2r^2}$$

O también:

$V_{ef_3}(r)=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}-\dfrac{GM}{2r^2}$

Saludos.

[Fortuna]

Cierto, pensaba en energía potencial por unidad de masa para la energía gravitatoria pero olvide hacer para el momento angular (en Maple puse m=1 para todos y G=1, para hacer la gráfica solo dependa de L y M como constantes del movimiento y hacer la comparativa de los tres casos).

De todos modos, una cosa dije mal

Ello indica que el momento angular no compensa el gran potencial atractivo a distancias pequeñas. Es decir, dos objetos que se acercan, aunque no sea en la misma dirección se estrellarían.

$\frac{L^2-GM}{r^2}$ dependiendo de cual sea la energía total y el signo del numerador, será así o al contrario.

[ginin]

La deducción de la expresión de la energía potencial efectiva no es difícil. La energía mecánica del cuerpo $m$ es la suma de la energía cinética más la energía potencial:

$E=\dfrac 1 2 m v^2+U(r)$

La velocidad siempre se puede descomponer en una componente radial en dirección al cuerpo que causa la fuerza central y una componente transversal, perpendicular a la radial

$v^2=v_t^2+v_r^2$

Sustituimos:

$E=\dfrac 1 2 m v_r^2+ \dfrac 1 2 m v_t^2+U(r)$

El momento angular es:

$L=r\cdot mv_t$

Despejamos la velocidad transversal y sustituimos:

$E=\dfrac 1 2 m v_r^2+\left ( \dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r) \right )$

Podemos escribir:

$E=\dfrac 1 2 m v_r^2+U_{ef}(r)$

Si hemos llamado energía potencial efectiva a:

$U_{ef}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)$

Si la fuerza es newtoniana (inversamente proporcional al cuadrado de la distancia)

$F_N=\dfrac{GMm}{r^2}$

$\displaystyle U_N=\int F_N dr=-\dfrac{GMm}{r}$

Y se obtiene:

$$U_{ef_N}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$$

Corresponde a la curva de color azul que tiene un mínimo relativo que ha dibujado Fortuna

Si la fuerza fuese inversamente proporcional al cubo de la distancia:

$F_3=\dfrac{GMm}{r^3}$

$\displaystyle U_3=\int F_3 dr=-\dfrac{GMm}{2r^2}$

$$U_{ef_3}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{2r^2}$$

$$U_{ef_3}(r)=\left ( \dfrac{L^2}{2m}-\dfrac{GMm}{2} \right ) \dfrac 1{r^2}$$

Corresponde a la curva de color más claro del dibujo de Fortuna.

ginin, como bibliografía puede interesarte Tema 2. Sistemas conservativos. Cuarta parte: Movimiento planetario. Satélites (UNED)

Saludos.

excelente alriga,muchas gracias una duda en que parte de estas ecuaciones puedo ver porque debe ser r^2 y no r solo u otras potencias como r^3 o potencias mayores...saldria absurdo?,,, la orbita cambiaria?...gracias!!

[Richard R Richard]

hola amigos ,agradezco ayuda...he leido que si en lugar de r^2 sea r^3,el sol absorberia a los planetas o los electrones caerian a los nucleos y la vida no seria posible mas no encuentro en toda la web una demostracion o fundamento matematico de esta afirmacion agradezco sepan de un texto o alguna demostracion que conozcan gracias

Hola,

Yo no conozco ninguna demostración, pero supongo que todo comienza cuando supones que la fuerza de atracción gravitatoria está relacionada con el potencial gravitatorio a través de

$m\nabla V=-m\vec g=-\vec F$

si $V=-\dfrac{GM}{r}$ todo cuadra $\vec F=\dfrac{mGM}{r^2}\dfrac{\vec r}{| r|}=\dfrac{mGM}{|r|^3}\vec r$

Pero con la fuerza dependiendo del cubo de la distancia

$V_{3*}=-\dfrac{GM}{2r^2}$ entonces $\vec F=\dfrac{mGM}{|r^3|}\dfrac{\vec r}{| r|}=\dfrac{mGM}{r^{4}}$

y tienes que hacer cumplir las leyes de la conservación de la energía y la conservación del momento angular

aclaro por las dudas $\vec r$ es el el vector radial, lo puedes escribir en coordenadas esféricas como $\vec r=(r,0,0)$

$V$ es un potencial escalar por lo tanto no lleva flechita, no es un vector

pero $\nabla V$ = es su gradiente y es una magnitud vectorial, pero no se escribe con flechita , cualquier vector con el que lo pongas en proporcionalidad como es la fuerza $\vec F$si es un vector y lleva la flechita indicando que es vector.

Agrego: las ecuaciones de movimiento de los cuerpos sometidos a fuerzas centrales bajo esos potenciales salen de aplicar las ecuaciones del lagrangiano y a este las ecuaciones de euler lagrange

$L=T-mV$ donde T es la energía cinetica y $mV$ es la energía potencial gravitatoria del sistema (masa del objeto por el potencial gravitatorio)

$\dst {{d\over dt }\left({\partial L\over\partial \dot{q}_i}\right) - {\partial L\over\partial q_i} = 0}$

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donde las $q_i$ , son las coordenadas generales del sistema en este caso $(r,\theta,\phi)$

tienes tres ecuaciones movimiento posibles a desarrollar para checar si realmente, se chocaran los objetos contra la fuente del Potencial

para $r$

${d\over dt }\left({\partial L\over\partial \dot r}\right) - {\partial L\over\partial r} = 0$

para $\theta$

${d\over dt }\left({\partial L\over\partial \dot \theta}\right) - {\partial L\over\partial \theta} = 0$

para $\phi$

${d\over dt }\left({\partial L\over\partial \dot \phi}\right) - {\partial L\over\partial \phi} = 0$

por lo general lo que se hace es elegir un plano que contiene a las dos masas y al vector velocidad inicial de la masa $m$

así con posición inicial $\theta_i =0$ y $\phi=\dfrac{\pi}2$ el movimiento sólo se produce con un único parámetro $t$ sobre las variables $r$ y$\theta$ mientras $\phi$ es constante

ok gracias. le cito del libro superfuerza de P Davies "Puede demostrarse que si, por ejemplo, el Sol generará un campo gravitatorio de la inversa del cubo, los planetas trazarían una rápida espiral hacia él y serían absorbidos"lo cual parece absurdo al ser 1/r^3,la fuerza va a ser mucho menor y mas bien los planetas al estar mas lejos escaparian gracias por su opinion

Cito el párrafo del libro de P.Davies del que me hiciste referencia en otro foro

§. ¿Por qué tres?
Sea cual fuere la dimensión real del espacio, es indudable que sólo
tres dimensiones se hacen evidentes a nuestros sentidos. Muchos
científicos se han preguntado si es posible explicar por qué la
naturaleza ha seleccionado precisamente tres. ¿Es un número único
en algún sentido?
En 1917 el físico Paul Ehrenfest escribió un ensayo titulado "¿De
qué modo se pone de manifiesto en las leyes fundamentales de la
física que el espacio posee tres dimensiones?" Ehrenfest dirigió su
atención a la existencia de órbitas estables, del tipo seguido por los
planetas en torno al Sol o por un electrón en torno al núcleo
atómico. La omnipresencia de las leyes de la inversa del cuadrado es
bien conocida. En el Capítulo 5 vimos como las fuerzas gravitatoria,
eléctrica y magnética satisfacen todas ellas esta ley. En 1747
Immanuel Kant ya reconoció la profunda conexión entre esta ley y la
tridimensionalidad del espacio. Las ecuaciones que describen los
campos gravitatorio o eléctrico pueden ser generalizadas fácilmente
a otras dimensiones. Sus soluciones revelan que en un espacio de n
dimensiones tenemos que tratar con una ley de la inversa de la
potencia n - 1. Así, en tres dimensiones, n - 1 = 2, y la ley es la
inversa del cuadrado. En cuatro dimensiones, n - 1 =3, obteniendo
así una ley de la inversa del cubo. Y así sucesivamente. Puede
demostrarse que si, por ejemplo, el Sol generara un campo
gravitatorio de la inversa del cubo, los planetas trazarían una rápida
espiral hacia él y serían absorbidos.

Efectivamente , intuyes bien , no se porqué dice eso,(para mi es erróneo) aún partiendo del equilibrio de aceleraciones entre gravitación y centrípeta la trayectoria que se puede simular por ordenador es parabólica , esto se debe a que la velocidad para la orbita circular es idénticamente igual a la velocidad de escape. A menos que haya cometido error, que no lo creo, ya que si cambio el exponente de 3 a 2 obtengo una circunferencia como trayectoria.

Explico con mis palabras el porqué, en general si se parte de un equilibrio de aceleraciones entre centrípeta y gravitatoria, digamos para tener órbitas circulares o lo mas parecidas a ellas , a velocidad de equilibrio de fuerzas inicial sale de $mGM_sr^{exp}=\dfrac{mv_i^2}{r}$ de donde $v_i=\sqrt{GM_sr^{exp-1}}$ para exponentes que aquí menores a -2

en esas condiciones la velocidad de escape surge de $\dfrac12mv_e^2-\dfrac{mGM_sr^{exp-1}}{(exp-1)}=0$ de donde sale que $v_i=v_e$ cuando $exp=-3$ así que para exponentes de módulos mayores se ve que la velocidad de escape es menor que la de equilibrio circular, por lo que no serán posibles órbitas circulares, sino parabólicas o hiperbólicas.

Para exponentes entre -2 y -3 habrá órbitas cerradas no elípticas con avance de perihelio, hasta que pueda escapar si es que en el camino no colisiona,
para exponentes entre -1 y -2 habrá órbitas cerradas no elípticas con retroceso de perihelio , pero no podrá escapar y en algún momento la colisión es inevitable , con la estrella o con algún otro planeta del sistema que orbite en las misma condiciones
y para exponentes mayores a -1 no es posible escapar y por lo tanto curvas elípticas son posibles si hay sincronía entre la frecuencia angular y la velocidad inicial caso del exponente 1,pero es inevitable una colisión por la reducción de la energía cinetica debido a las perdidas por fuerzas de marea, llegará el punto de perdida de sincronía y la colisión es inevitable.

[ginin]

Hola Fortuna , creo que has olvidado "m" en esa expresión, que para que sea dimensionalmente coherente debería ser:

$U_{ef_3}=\dfrac{L^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{2r^2}$

O también sería correcto:

$V_{ef_3}=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}+V_3(r)=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}-\dfrac{GM}{2r^2}$

Me explico, recordando la definición de momento angular específico:

$h=\dfrac L m$

Podemos escribir para la energía potencial efectiva newtoniana:

$U_{ef_N}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$


$U_{ef_N}(r)=\dfrac{h^2 m}{2r^2}-\dfrac{GMm}{r}$

Y si definimos Potencial Gravitacional Efectivo como la Energía Potencial Efectiva por unidad de masa:

$V=\dfrac U m$

Entonces, el potencial gravitacional efectivo en el caso newtoniano es:

$$V_{ef_N}(r)=\dfrac{h^2}{2r^2}-\dfrac{GM}{r}$$

O también:

$V_{ef_N}(r)=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}-\dfrac{GM}{r}$

Si la fuerza fuese inversamente proporcional al cubo de la distancia, entonces:

$U_{ef_3}(r)=\dfrac{h^2 m}{2r^2}-\dfrac{GMm}{2r^2}$

$$V_{ef_3}(r)=\dfrac{h^2}{2r^2}-\dfrac{GM}{2r^2}$$

O también:

$V_{ef_3}(r)=\dfrac{L^2}{2m^2r^2}-\dfrac{GM}{2r^2}$

Saludos.

muchas gracias a todos !! les comento que manejo la fisica de sears o serway quiero profundizar no se si deba irme a un texto mas "duro" como el landau o alguno que uds me recomienden muchas gracias !!

[Fortuna]

muchas gracias a todos !! les comento que manejo la fisica de sears o serway quiero profundizar no se si deba irme a un texto mas "duro" como el landau o alguno que uds me recomienden muchas gracias !!

Buenas tardes.

No hace falta el Landau, con lo que hemos explicado, es suficiente. No obstante, he preparado este post para aclarar cómo y para qué sirve el potencial efectivo.

Alriga ya ha explicado en qué consiste el potencial efectivo para fuerzas centrales y conservativas. Lo siguiente es para indicar para qué sirven. Es un concepto tan útil como el que se emplea cuando solucionamos problemas de dinámica usando la conservación de la energía y otros casos como en termodinámica que no hace falta saber exactamente como es la trayectoria de un sistema para saber qué es posible y qué no es posible.

He elegido un potencial hipotético a mi conveniencia y que sirva de ejemplo para nivel didáctico. Las ecuaciones matemáticas las pongo al final.

Veamos un gráfico de un potencial frente al radio.




El gráfico siguiente sería el de la fuerza frente a r (insisto, las ecuaciones las pongo después).




Supondremos que la masa que origina el potencial central es lo suficientemente grande como para que la masa total se pueda considerar en su centro y no se mueva.

Raro. ¿verdad?. ¿Se puede saber que ocurre cuando una partícula está muy alejada con cierta velocidad relativa a este sistema?. Por supuesto, intuitivamente se ve que la fuerza es ínfima a grandes distancias, una partícula no lo notará. ¿Se puede saber que ocurre cuando la partícula está muy cerca del origen?. Claro!, sufrirá una gran atracción. ¿que pasa si llega una partícula más o menos rápida o lenta por la zona intermedia?. Ni idea.

Ahora viene lo bueno. La fuerza es central y conservativa, por tanto se puede hablar de potencial efectivo que es el del siguiente gráfico.




La energía total es una cantidad que se conserva, a la distancia que sea, por ello su gráfica será una línea horizontal. Superpongamos 6 casos de energía total, que incluyen la energía cinética radial y el potencial efectivo (ver post de @alriga).

Las partículas clasificadas por su energía total son: partícula A de energía 0.4, en azul oscuro, otra partícula B , en verde, pasa por los puntos 1 y 2 con energía 0.2. Otras son la C , con energía 0.0, puntos 3,4,5,6. La D , con energía -0.05, puntos7,8,9 y 10. E con energía -0.4, puntos 11 y 12 y por último la F , abajo en verde azulado con muy baja energía.






Las partículas con energía total positiva para este potencial son, en principio, no ligadas, escaparían al infinito si se las deja suficientemente lejos, pero no está claro de momento qué pasa a posiciones intermedias, mientras las que tengan energía negativa para este potencial, están ligadas, no pueden escapar. Recordemos de que hablamos de la energía cinética en dirección radial, la otra parte está contenida en el momento angular y por tanto, en el potencial efectivo.

Discutiré un caso cualquiera,..., la más clásica, como en las órbitas newtonianas, es decir la de energía -0.4, la E .

La partícula E viene desde el infinito con cierta energía -0.4... ?¿?¿ ¿desde el infinito?. Pues no puede ser!. No puede venir desde el infinito porque no tiene suficiente energía. Una partícula no puede tener menos energía cinética radial menor que 0, la energía cinética siempre es positiva. Para un punto dado, en caso de energía cinética radial 0 toda la energía es potencial+cinética en dirección tangencial, es decir, toda la energía es la que indica su potencial efectivo, no puede superarse. Si te dicen que la partícula E está mas allá del punto 12 te han engañado o ese no es potencial efectivo. La partícula E con esa energía no puede alejarse radialmente más allá del punto 12 y si llega ahí, no puede más que retroceder. En las órbitas planetarias este punto coincide con el máximo alejamiento, es decir el afelio.

¿Hasta donde puede acercarse la partícula E ?. Hasta el punto 11. Para estar a la izquierda de este punto se necesita más energía para contrarrestar el potencial efectivo. De nuevo, en el punto 11 la energía cinética radial es 0 y menos que eso no se puede tener. En las órbitas planetarias este punto coincide con la máxima aproximación, es decir el perihelio.

Por tanto, la partícula E formará órbitas no sabemos de que tipo pero que oscilan radialmente entre los puntos 11 y 12. Se acabó. Las formas de las órbitas no se conocen con esta sencilla técnica, pero da información suficiente para describir el sistema. Os desafío a que hagáis un ejercicio con el resto de los casos. (Supondremos que para r=0 no afecta a la partícula y se «atraviesan» sin problema).

Veréis que salen zonas prohibidas y zonas permitidas, por las que las partícula de prueba pueden o no pueden estar. Una pena que no sirva para el campo magnético, ¿o si?.



Apunte matemático.

Los que me leáis sabiendo ya todo ésto os habréis dado cuenta de que he partido del potencial efectivo y deducir el potencial real.

$V_{ef}(r)=-ke^{-r}\sin(\pi r)$


con k igual a 1, con las dimensiones apropiadas de energía (Sí, y r es R/ r 0 ).

Sumando a este potencial efectivo el término centrífugo, vemos que el potencial de partida es

$V(r)=-ke^{-r}\sin(\pi r)-\frac{L^{2}}{2mr^{2}}$

Sí, son trampas para que cuadre el ejemplo. Bien podría decir que el potencial era el anterior y que al sumar el término centrífugo milagrosamente se anula.

La fuerza es

$f(r)=-\frac{\partial}{\text{\ensuremath{\partial}r}}V(r)=-{\rm e}^{-r}(\sin\left(\pi r\right)+\pi\cos\left(\pi r\right))-\dfrac{L^2}{2mr^{3}}$


Los puntos de intersección con la energía saldrán de solucionar la ecuación:


$V_{eff}(r)+E=0$

$-ke^{-r}\sin(\pi r)=E$


Se requiere análisis numérico para resolverla que yo sepa.

Las órbitas circulares, si existen, serán la solución de

$\frac{\partial}{\partial r}(V_{eff}(r)+E_{t})=0$

Que yo no sé resolver, pero que los métodos numéricos, ayudan a ello.

Eso es todo. Espero sobre todo no haber metido la gamba. En ese caso, muy habitual en mi, pues se comenta y se agradece la atención y la consiguiente explicación.

Gracias a los tres,ginin por la interesante pregunta, a Alriga por corregir el fallo en mi post y la explicación detallada de cómo se llega al potencial efectivo y a@Richard R Richardpor su gran labor y trabajo duro de solucionar con mecánica de lagrange un problema, fácil de plantear, pero no fácil de solucionar.

Se me olvidaba, si se puede hacer esto con un potencial oscilatorio y con un término en $r^{-3}$ la pregunta para $V(r)=-\frac{k}{r^2}$ o $f(r)=-\frac{k}{r^3}$ es sencilla, creo que @ginin ya sabrá resolver.

(es lo mismo que dije en el primer post, no hay órbitas, se una partícula llega con cualquier energía, caerá y aquí sí suponemos que "se la pega", no como en mi experimento, donde pueden atravesarse, si pueden atravesarse, la partícula se alejará en sentido radial contrario al que vino)

[Alriga]

Hola Fortuna , "Veamos un gráfico de un potencial frente al radio" Ese gráfico no se ve.

"El gráfico siguiente sería el de la fuerza frente a r (insisto, las ecuaciones las pongo después)" Ese otro gráfico tampoco se ve. Los dos siguientes gráficos:

"Ahora viene lo bueno. La fuerza es central y conservativa, por tanto se puede hablar de potencial efectivo que es el del siguiente gráfico." SÍ se ve bien.

"...y por último la F , abajo en verde azulado con muy baja energía" SÍ se ve bien

Deduzco que los 2 primeros gráficos los has insertado de un modo diferente a los 2 últimos y por eso los primeros no se ven. ¿Puedes editar el post e insertar los 2 primeros gráficos de la misma forma que los dos últimos?

Gracias y saludos.

[Fortuna]

Gracias Alriga
Voy a editar el post, dejo los dos anteriores perdidos y recargados de nuevo.
OK. Se ven dos iconos que ahora eran los antiguos. No quiero editar que a veces se pierde todo.

[Fortuna]

Explico con mis palabras el porqué, en general si se parte de un equilibrio de aceleraciones entre centrípeta y gravitatoria, digamos para tener órbitas circulares o lo mas parecidas a ellas , a velocidad de equilibrio de fuerzas inicial sale de $mGM_sr^{exp}=\dfrac{mv_i^2}{r}$ de donde $v_i=\sqrt{GM_sr^{exp-1}}$ para exponentes que aquí menores a -2

Lo que indicas no me cuadraba con lo que sabía del post anterior y de lo que dice Paul Davis, así que reviso meticulosamente tu post.

Lo primero que veo es que hay un error al despejar, supongo que por llevar quitar el signo menos del denominador y extrapolar a cualquier exponente. Cuidado con el signo, tal y como lo escribes salen velocidades imaginarias.



$-mGM_sr^{exp}=\dfrac{mv_i^2}{r}$ de donde $v_i=\sqrt{-GM_sr^{exp+1}}$

en esas condiciones la velocidad de escape surge de $\dfrac12mv_e^2-\dfrac{mGM_sr^{exp-1}}{(exp-1)}=0$ de donde sale que $v_i=v_e$ cuando $exp=-3$ así que para exponentes de módulos mayores se ve que la velocidad de escape es menor que la de equilibrio circular, por lo que no serán posibles órbitas circulares, sino parabólicas o hiperbólicas.

No veo eso de para exponentes de módulos mayores se ve que la velocidad de escape es menor que la de equilibrio circular

Debe escribirse $E_c+E_p\ge0$


$\dfrac12mv_e^2+\dfrac{mGM_sr^{exp+1}}{(exp+1)}\ge0$

$v_{e}\ge\sqrt{-\dfrac{2GM_{s}r^{exp+1}}{(exp+1)}}$

mientras que hemos dicho

$v_i=\sqrt{-GM_sr^{exp+1}}$

Para exponentes entre -2 y -3 habrá órbitas cerradas no elípticas con avance de perihelio, hasta que pueda escapar si es que en el camino no colisiona,
para exponentes entre -1 y -2 habrá órbitas cerradas no elípticas con retroceso de perihelio , pero no podrá escapar y en algún momento la colisión es inevitable , con la estrella o con algún otro planeta del sistema que orbite en las misma condiciones
y para exponentes mayores a -1 no es posible escapar y por lo tanto curvas elípticas son posibles si hay sincronía entre la frecuencia angular y la velocidad inicial caso del exponente 1,pero es inevitable una colisión por la reducción de la energía cinetica debido a las perdidas por fuerzas de marea, llegará el punto de perdida de sincronía y la colisión es inevitable.

Esto no lo entiendo, supongo que es la interpretación de los resultados que te salen.

Lo que resulta es que a equilibrio de fuerzas no equivale a equilibrio en energía potencial excepto para el caso $exp=-2$ donde ocurre que

$r^{exp+1}=-2\dfrac{r^{exp+1}}{(exp+1)}$

que en el caso de exponente 3

$r^{-2}\ne-2\dfrac{r^{-2}}{(-2)}$


Malditos signos! ya me la han jugado varias veces.

De todas formas todo el cálculo que hemos hecho indica que no existen órbitas circulares excepto para exponente -2. Otras órbitas podrían darse.

Para saber qué órbitas son estables una de dos, o resolvemos la ecuación y calculamos las órbitas y las analizamos o hacemos el sencillo ejercicio que he puesto con el análisis del potencial efectivo.

Un saludo.