Otras carreras Cinematica de la particula

[skxnxr2]

Hola, Muy buenas a todos, les tengo el siguiente problema:

Un punto se mueve con una velocidad que esta dirigida a un angulo de (\pi/2)t radianes respecto al eje x y tiene una magnitud constante de 15cm/seg. En el instante t=0, el punto estaba en el origen del sistema de coordenadas. Hallar la ecuación de la trayectoria del movimiento.

Agradezco cualquier ayuda para poder resolverlo. Saludos

[Richard R Richard]

Re: Cinematica de la particula

si el angulo depende del tiempo , seguira una tractoria curva,
si el modulo de la velocidad es constante quiere decir que la curva tiene radio constante. Es decir sigue una circunferencia

si a tiempo 0 el angulo es 0 entonces la velocidad en el origen de coordenadas es paralela al eje x y luego de un segundo perpendicular

analizando el modulo de la velocidad e igualando al modulo de la derivada de la posición respecto del tiempo tienes

$V=\omega A$

$V= 15 cm/s$
$\omega =\dfrac{\pi}{2}$

de aqui sacas el valor de A

por lo que la ecuación te quedara

$x(t)=A\cos (\dfrac{\pi}{2}t- \dfrac{\pi}{2})$

$y(t)=A+ A\sin (\dfrac{\pi}{2}t- \dfrac{\pi}{2})<br />$

[skxnxr2]

Re: Cinematica de la particula

si el angulo depende del tiempo , seguira una tractoria curva,
si el modulo de la velocidad es constante quiere decir que la curva tiene radio constante. Es decir sigue una circunferencia

si a tiempo 0 el angulo es 0 entonces la velocidad en el origen de coordenadas es paralela al eje x y luego de un segundo perpendicular

analizando el modulo de la velocidad e igualando al modulo de la derivada de la posición respecto del tiempo tienes

$V=\omega A$

$V= 15 cm/s$
$\omega =\dfrac{\pi}{2}$

de aqui sacas el valor de A

por lo que la ecuación te quedara

$x(t)=A\cos (\dfrac{\pi}{2}t- \dfrac{\pi}{2})$

$y(t)=A+ A\sin (\dfrac{\pi}{2}t- \dfrac{\pi}{2})<br />$

Muchas gracias por tu rapida respuesta, tengo una ultima duda, no me quedo muy claro como se razona la ecuacion x(t) y y(t), porfavor si lo pudieras explicar un poco mas detallado seria perfecto. Saludos

[Richard R Richard]

Re: Cinematica de la particula

En realidad el problema te pide que parametrices la trayectoria de la partícula en función del tiempo. Si el ángulo con respecto a un eje crece continuamente quiere decir que no mantiene una recta, como en angulo es directamente proporcional al tiempo....

$\omega=\frac{\partial \alpha}{\partial t}= cte$

el movimiento con velocidad angular constante mas sencillo es el circular , donde $x(t)=R\cos(\omega t+\phi)$ e $y(t)=R\sin(\omega t+\phi)$ ...

cumpliendose $x^2+y^2=R^2$

lo que debes observar es que como te dicen que la particula pasa por el origen de coordenadas , el movimiento circular no tiene centro en ese origen por lo que este debe estar desplazado, lo que hice es correrlo la distancia radial justa para que coincidan la velocidad y la posición iniciales de acuerdo al enunciado.

|V|=v_x(t=0)=15cm/s
$v_y(t=0)=0cm/s$

$x(t=0)=0$
$y(t=0)=0$

$\alpha (t=1)=\dfrac{\pi}{2}$

[Al2000]

Re: Cinematica de la particula

Mi versión, por lo que pueda valer...

Condiciones del ejercicio:

$$<br /> \left \{\begin{aligned}&v = \text {ctte} \\ &\frac {v_y}{v_x} = \tan \frac \pi 2 t \\ &x_{(0)} = y_{(0)} = 0 \end{aligned}\right .<br />$$

El módulo de la velocidad es:

$$v_x^2 + v_y^2 = v^2$$

Usando la condición del ángulo:

$$v_x^2 + v_x^2 \tan ^2 \frac \pi 2 t = v^2 \quad \Rightarrow \quad v_x^2 \left(1 + \tan ^2 \frac \pi 2 t\right) = v^2 \quad \Rightarrow \quad v_x^2 \sec ^2 \frac \pi 2 t = v^2$$

Considerando sólo la raíz positiva:

$$v_x = v \cos \frac \pi 2 t \quad \Rightarrow \quad v_y = v \, \mathrm {sen} \, \frac \pi 2 t$$

Entonces:

$$\int_{0}^{x}\!\! dx = v \int_{0}^{t}\!\! \cos \frac \pi 2 t\, dt \quad \Rightarrow \quad x = \frac {2 v} \pi \, \mathrm {sen} \, \frac \pi 2 t$$

$$\int_{0}^{y}\!\! dy = v \int_{0}^{t}\!\! \, \mathrm {sen} \, \frac \pi 2 t\, dt \quad \Rightarrow \quad y = \frac {2 v} \pi \left(1 - \cos \frac \pi 2 t\right)$$

La trayectoria resulta ser un círculo de radio $2 v/\pi$ centrado en $(0,2v/\pi )$.

Nótese que no consideré la posibilidad de movimiento en 3D ($v_z \neq 0$).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[skxnxr2]

Re: Cinematica de la particula

Muchas gracias a ambos por sus respuestas, fueron de graan ayuda. Saludos