Calcular mayor ángulo posible con el cuál se puede instalar la rampa.

[Alriga]

Hola Mauricio_Pablo bienvenido a La web de Física, como nuevo miembro, lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

...Perdón por no formatear los números, no sé como se hace...

Cuando desees escribir expresiones matemáticas lo mejor es usar LaTeX que es muy fácil, se aprende en media hora, aquí tienes un tutorial: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX.

Y si haces doble click en cualquier fórmula del foro (por ejemplo en las de este mismo hilo) verás como están escritas.

Saludos y de nuevo bienvenido.

[Mauricio_Pablo]

Suponga que trabaja para una gran compañía de transporte y que debe descargar de un camión una caja enorme y frágil usando una rampa como la que se muestra en la figura. Si la velocidad vertical con la que llega la caja al final de la rampa es superior a $2,5m/s^2$ (la velocidad que adquiere un objeto si cae desde una altura de 30,5 cm) su carga se daña. ¿Cuál es el mayor ángulo posible al que se puede instalar la rampa para conseguir una descarga segura? La rampa debe superar un metro de altura, está formada por rodillos (Se puede suponer que no ejerce rozamiento) y está inclinada con la horizontal un ángulo $\theta$



He sacado las siguientes ecuaciones:

$\sum_{Fx}=F_g*sen(\theta)=m*a_x$
$a_x=g*sen(\theta)$

Entiendo que toda la aceleración esta en el eje x, por lo tanto en el eje y (a=0) ya que si hubiese aceleración en el eje y la caja se despegaría hacia arriba de la cinta. Es decir el vector aceleración es paralelo al eje x en la dirección que se mueve la caja ¿no?

$\sum_{Fy}=F_n-P*cos(\theta)=0$

Aquí es donde viene mi duda. He mirado el solucionario y dice que establece una relación entre la componente vertical de la velocidad de la caja y la velocidad vx a lo largo de la rampa.
Le queda $V=V_x*sen(\theta)$, no entiendo este paso. La componente de la velocidad estaría en el eje x en dirección al movimiento de la caja. Pero no entiendo de donde saca esa relación ni donde estaría la componente vy.

Puedes resolverlo por 2 vías. La del eje inclinado o el eje sin inclinar. Si no inclinas el eje las ecuaciones son (Alguien por ahí lo llama "opción 2") :

Definiciones :
N : Normal
m : masa
a : aceleración
theta : el ángulo que se pide
g : gravedad
h : recorrido vertical de la caja

En eje X
N*Sin(theta)=m*a*Cos(theta) [Ecuación 1]

En eje Y
N*Cos(theta)-m*g=-m*a*Sin(theta) [Ecuación 2]

Multiplicas [E1] por Sin(theta) y [E2] por Cos(theta) y luego las sumas, quedándote la [Ecuación 3] :

N*(Cos²(theta)+Sin²(theta))=m*g*Cos(theta) [Ecuación 3]

El factor que multiplica a N en [Ecuación 3] es igual a 1 siempre. Te queda entonces :

N=m*g*Cos(theta) [Ecuación 4]

Ya con toda esta infomación, obtenemos la aceleración "a" desde la [Ecuación 1] reemplazando N. Llegamos a eso que :
a=g*sin(theta)
a_y=a*Sin(theta) que sería : a_y=g*Sin²(theta)

Con todo esto :

Análisis de velocidades en Y. Condicion inicial, V inicial es 0 y fricción es 0 y Vf_y es 2.5. Llamaremos a este valor Vy por un asunto de notación. Se respetan signos de orientación para aceleración y posición.
Vy²=2*(-a_y)*(-h)
Finalmente y remplazando los valores indicados más arriba quedamos que :

Vy²=2*g*Sin²(theta)
Sin²(theta)=(Vy²)/(2*9.8)

Este ya es cálculo trivial, y el resultado es theta = 34.38°

Perdon por no formatear los números, no sé como se hace.

[JCB]

No se trata de que primero se use un sistema de referencia y después otro, sino que se debe empezar con alguna información conocida. Y esa información o dato de partida es N=mgcos θ.

[medina00]

Observa el dibujo qué JCB te postea, si usas el otro sistema de referencia en la dirección $y$ no hay aceleración, luego la normal se iguala a la componente del peso en la dirección $y$

saludos

Si eso lo entiendo. Pero porque tomas referencias en un sistema y luego usas el otro??

[medina00]

Hola a tod@s.

Es que si tienes esta duda, entonces deberías repasar el fundamento teórico del punto material en el plano inclinado, antes de "lanzarte" a hacer ejercicios.

Saludos cordiales,
JCB.

Mi duda es al elegir el sistema así.
$N_x=mg\sin\theta$ y $N_y=mg\cos\theta$ Esto es lo que entiendo yo vaya. Lo que no entiendo es de donde sale que la proyección en la dirección de N es :$N\cos\theta=(mg \cos\theta) \cos\theta=mg \cos^2\theta$

[Richard R Richard]

No entiendo de donde sacas que vale eso. No lo consigo comprender, así que da igual. Gracias por las explicaciones y perdón por las molestias!

Observa el dibujo qué JCB te postea, si usas el otro sistema de referencia en la dirección $y$ no hay aceleración, luego la normal se iguala a la componente del peso en la dirección $y$

saludos

[JCB]

¿Por que partes de que $N=mg\cos\theta$? No sería $N_x=mg\sin\theta$ y $N_y=mg\cos\theta$?

Y luego $\sum{fx}=mg\sin\theta=ma_x$ y $\sum{fy}=mg\cos\theta-mg=ma_y$ ?

Hola a tod@s.

Es que si tienes esta duda, entonces deberías repasar el fundamento teórico del punto material en el plano inclinado, antes de "lanzarte" a hacer ejercicios.

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

Hola, en este sistema $N$ vale $mg \cos\theta$.... pero la proyección en la dirección $y$ de $N$ vale $N\cos\theta=(mg \cos\theta) \cos\theta=mg \cos^2\theta$

Saludos

No entiendo de donde sacas que vale eso. No lo consigo comprender, así que da igual. Gracias por las explicaciones y perdón por las molestias!

[Richard R Richard]

Hola, en este sistema $N$ vale $mg \cos\theta$.... pero la proyección en la dirección $y$ de $N$ vale $N\cos\theta=(mg \cos\theta) \cos\theta=mg \cos^2\theta$

te queda entonces $a_y=g (\cos^2\theta-1)=-g\sin^2\theta$

$v^2=2a_y\Delta y=2(-g\sin^2\theta)(-h)$

$v=\sqrt{2gh\sin^2\theta}=\sqrt{2gh}\sin \theta$

$\sin\theta=\dfrac{v}{\sqrt{2gh}}$

$\theta =\arcsin \dfrac{2.5}{\sqrt{2\cdot 9.8}}=34.36\°$

Saludos

[medina00]

Hola, medina00 escoge una opción el sistema de referencia 1 o el 2, el eje x paralelo al plano o perpendicular a la gravedad. Resolvámoslo bien en ese caso, cuando se entienda bien , pasa al otro sistema, que obviamente debe dar lo mismo.

Usando esta distribución de ejes:
$\sum{fx}=N*sen(\theta)=m*a_x$$\rightarrow$$mg\sin\theta=ma_x$$\rightarrow$$a_x=g\sin\theta$
$\sum{fy}=N*cos(\theta)-P=ma_y$ $\rightarrow$ $mg\cos\theta-mg=ma_y$$\rightarrow$$g(\cos\theta-1)=a_y$


Luego mediante la fórmula que relaciona la velocidad con el desplazamiento obtengo la velocidad final:
$Vf_x=\sqrt{v_0+2a \varDelta x}$ como $v_0=0$ $vf_x=\sqrt{2a\varDelta x}$



Luego por trigonometría: $\sin\theta =\frac{h}{\varDelta x}$ ,entonces $h=\sin\theta*\varDelta x$

sustituyo en la ecuación anterior: $Vf_x=\sqrt{2*g*\sin\theta*\varDelta x}$ , sustituyo la expresión $h=\sin\theta*\varDelta x$

me queda: $Vf_x=\sqrt{2*g*h}$ , como el valor minimo de h es 1 $Vf_x=\sqrt{2*g}$

después $v_y=v*\sin\theta$ , entonces $\sin\theta=\frac{v_y}{v}$ entonces me queda: $\sin\theta=\frac{2,5}{\sqrt{2*9,8}}$

Lo que no entiendo es cuando yo hago la fórmula $v_y=v\sin\theta$ todos sustituís v por $\sqrt{2g}$ pero ese valor es vx ¿no? porque se esta utilizando la aceleración del eje x y la variación de la posición del eje x. v no sería $v=\sqrt{(v_x)^2+(v_y)^2}$Lo único que no entiendo es eso. Gracias!!

[Richard R Richard]

¿Por que partes de que $N=mg\cos\theta$? No sería $N_x=mg\sin\theta$ y $N_y=mg\cos\theta$?

Y luego $\sum{fx}=mg\sin\theta=ma_x$ y $\sum{fy}=mg\cos\theta-mg=ma_y$ ?

Hola, medina00 escoge una opción el sistema de referencia 1 o el 2, el eje x paralelo al plano o perpendicular a la gravedad. Resolvamoslo bien en ese caso, cuando se entienda bien , pasa al otro sistema, que obviamente debe dar lo mismo.

[medina00]

Hola a tod@s.

Utilizar este sistema de ejes no es tan práctico como utilizar un sistema con un eje paralelo al plano inclinado, y el otro perpendicular, pero deberíamos llegar al mismo resultado, así que alguna cosa no hiciste del todo bien.

Partiendo de que $N=mg\cos\theta$, proyecto esta reacción normal sobre cada eje.

$N_x=mg\cos\theta\sin\theta$, $N_y=mg\cos^2\theta$


Saludos cordiales,
JCB.

¿Por que partes de que $N=mg\cos\theta$? No sería $N_x=mg\sin\theta$ y $N_y=mg\cos\theta$?

Y luego $\sum{fx}=mg\sin\theta=ma_x$ y $\sum{fy}=mg\cos\theta-mg=ma_y$ ?

[inakigarber]

Buenas noches;

Yo he hecho el siguiente cálculo, dado que la velocidad final de caída no depende de la longitud de la rampa, sino de la altura desde la que cae (1 metro), su velocidad final de caída será $\sqrt{2g}$, puedo descomponer esta velocidad en dos velocidades perpendiculares, una de caída que me dicen no debe superar los $2,5 m/seg$, y otra de avance que no me interesa calcular. con los cuales construyo un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $\sqrt{2g}$ y uno de cuyos catetos es 2,5, dado que $Sen \theta=2,5/\sqrt{2g}$, puedo calcular el valor de $\theta=34,36º$

Saludos.

[JCB]

Usando esta distribución de ejes:
$\sum{fx}=N*sen(\theta)=m*a_x$
$\sum{fy}=N*cos(\theta)=P$ , entonces $N=\frac{P}{cos(\theta)}$

Despejo la aceleración: $a_x=\frac{N*sen(\theta)}{m}$ , entoces $a_x=\frac{g*\sin\theta}{\cos\theta}$

Luego mediante la fórmula que relaciona la velocidad con el desplazamiento obtengo la velocidad final:
$Vf_x=\sqrt{v_0+2a \varDelta x}$ como $v_0=0$ $vf_x=\sqrt{2a\varDelta x}$



Luego por trigonometría: $\sin\theta =\frac{\varDelta x}{h}$ ,entonces $h=\sin\theta*\varDelta x$

sustituyo en la ecuación anterior: $Vf_x=\sqrt{\frac{2*g*\sin\theta*\varDelta x}{\cos\theta}}$ , sustituyo la expresión $h=\sin\theta*\varDelta x$

me queda: $Vf_x=\sqrt{\frac{2*g*h}{\cos\theta}}$ , como el valor minimo de h es 1 $Vf_x=\sqrt{\frac{2*g}{\cos\theta}}$

después $v_y=v*\sin\theta$ , entonces $\sin\theta=\frac{v_y}{v}$ entonces me queda: $\sin\theta=\frac{2,5}{\sqrt{\frac{2*9,8}{\cos\theta}}}$ y no se que hacer ya con ese coseno.

Hola a tod@s.

Utilizar este sistema de ejes no es tan práctico como utilizar un sistema con un eje paralelo al plano inclinado, y el otro perpendicular, pero deberíamos llegar al mismo resultado, así que alguna cosa no hiciste del todo bien.

Partiendo de que $N=mg\cos\theta$, proyecto esta reacción normal sobre cada eje.

$N_x=mg\cos\theta\sin\theta$, $N_y=mg\cos^2\theta$

$\sum{F_x}=ma_x$

$mg\cos\theta\sin\theta=ma_x$

$a_x=g\cos\theta\sin\theta$ (aunque esta aceleración no la voy a utilizar)

$\sum{F_y}=ma_y$. Aquí cometiste el error de omitir la aceleración en el eje $Y$.

$mg-mg\cos^2\theta=ma_y$

$a_y=g(1-\cos^2\theta)=g\sin^2\theta$

$v_y=\sqrt{2a_yh}=\sqrt{2g\sin^2\theta h}=\sqrt{2gh}\sin\theta$

$\sin\theta=\dfrac{v_y}{\sqrt{2gh}}=\dfrac{2,5}{\sqrt{2g}}=0,56$

$\theta=\arcsin\ 0,56=34,38^{\circ}$. Y llegamos otra vez al mismo resultado.

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

Usando esta distribución de ejes:
$\sum{fx}=N*sen(\theta)=m*a_x$
$\sum{fy}=N*cos(\theta)=P$, entonces $N=\frac{P}{cos(\theta)}$

Despejo la aceleración: $a_x=\frac{N*sen(\theta)}{m}$ , entoces $a_x=\frac{g*\sin\theta}{\cos\theta}$

Luego mediante la fórmula que relaciona la velocidad con el desplazamiento obtengo la velocidad final:
$Vf_x=\sqrt{v_0+2a \varDelta x}$ como $v_0=0$ $vf_x=\sqrt{2a\varDelta x}$



Luego por trigonometría: $\sin\theta =\frac{\varDelta x}{h}$ ,entonces $h=\sin\theta*\varDelta x$

sustituyo en la ecuación anterior: $Vf_x=\sqrt{\frac{2*g*\sin\theta*\varDelta x}{\cos\theta}}$ , sustituyo la expresión $h=\sin\theta*\varDelta x$

me queda: $Vf_x=\sqrt{\frac{2*g*h}{\cos\theta}}$ , como el valor minimo de h es 1 $Vf_x=\sqrt{\frac{2*g}{\cos\theta}}$

después $v_y=v*\sin\theta$ , entonces $\sin\theta=\frac{v_y}{v}$ entonces me queda: $\sin\theta=\frac{2,5}{\sqrt{\frac{2*9,8}{\cos\theta}}}$ y no se que hacer ya con ese coseno.