Secundaria ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

[Syik]

Así como $Ep=-G\frac{Mm}{r }$ (cambiado de signo) representa el trabajo necesario para llevar a una masa en presencia de otra desde el punto ''P'' hasta el infinito, ¿qué significado tiene Ep=mgh? Además, mirando un poquito acerca de estas expresiones en la wikipedia me topé con esto: $Ug(r)=-G\frac{Mm}{(R+h) }\approx-G\frac{Mm}{R }+\frac{GM}{{R}^{2} }mh=-G\frac{Mm}{R }+mgh$ Y en el aproximado me pierdo, no se como llega hasta ahí la expresión, si alguien me lo pudiera explicar estaría genial aunque a lo mejor se escapa de mis bastante escasos conocimientos matemáticos. Gracias y

Salu2

[Cipriano]

Re: ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

Más exactamente se debe escribir:

$\Delta E_p =mg\Delta h$

que se corresponde con el incremento de energía potencial en un campo potencial gravitatorio constante (la ecuación solo es válida cuando nos movemos en dicho campo o cuando podemos suponer que el campo es constante como ocurre por ejemplo en la superficie terrestre). La anterior ecuación se transforma en la propuesta solo cuando se establece un nivel de energía potencial nula. Para movimientos orbitales alrededor de la tierra, por ejemplo, dicha ecuación no es válida ya que en dichos movimientos no se puede aceptar que el campo gravitatorio sea constante.

[Syik]

Re: ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

Vale, ahora con el incremento lo veo más claro, pero no entiendo lo de ''cuando se establece un nivel de energía potencial nula''.
Gracias

[skynet]

Re: ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

hacen la aproximacion $R^2\approx(R+h)^2$

multiplica y divide la expresion de la izquierda por (R+h) y despues sustituyes $(R+h)^2$ por $R^2$ en el denominador, operas y obtendrás la expresion de la derecha

[Richard R Richard]

Re: ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

$$Ug(h)=-G\dfrac{Mm}{(R+h) }=-GMm\dfrac{(R+h)}{(R+h)^2 }=-GMm\dfrac{(R)}{(R+h)^2 }-GMm\dfrac{(h)}{(R+h)^2 }$$

como

$$g=-\dfrac{(GM)}{R^2 }$$

$$Ug(r)=-GMm\dfrac{(R)}{(R+h)^2 }+gR^2m\dfrac{(h)}{(R+h)^2 }$$

como

$$R>>>h \Rightarrow (R+h)^2\cong R^2$$

entonces

$$Ug(h)\approx-\dfrac{GMmR}{R^2 }+\dfrac{gR^2}{{R}^{2} }mh=-\dfrac{GMm}{R }+mgh$$

[Al2000]

Re: ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

En aproximación de primer orden, el binomio $(1 + x)^{-1}$ se aproxima a $1 - x$ cuando $x \ll 1$, de manera que la expresión $\dst - G \frac {M m}{R+h}$ se puede aproximar, cuando $h \ll R$, como:

$$- G \frac {M m}{R+h} = - G \frac {M m}{R\left(1 + \frac h R\right)} \approx -G \frac {M m} R \left(1 - \frac h R\right) = -G \frac {M m} R + G \frac {M m}{R^2} h$$

Como la aceleración se gravedad en la superficie vale $\dst g = G \frac M {R^2}$, la expresión anterior finalmente se puede escribir como

$$- G \frac {M m}{R+h} \approx -G \frac {M m} R + m g h$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[pod]

Re: ¿Cuál es el significado físico de la expresión Ep=mgh?

Los mensajes hasta ahora se han centrado más bien en la deducción de la expresión, no en su significado físico. El significado físico es muy sencillo: para una fuerza constante, la energía potencial crece en el sentido contrario a esa fuerza. Más concretamente, si hacemos la aproximación que la fuerza de gravedad es constante (y dirigida hacia abajo, claro está), la energía potencial crecerá con la altura.

Esa expresión será válida siempre que lo sea la aproximación de fuerza de gravedad constante. Como sabemos (por el teorema de Gauss, si es que lo conoces) que la fuerza de gravedad depende de la distancia al centro de la Tierra, ésto será válido para alturas muy pequeñas en relación al radio de la Tierra.