Velocidad y posición del centro de masas

[medina00]

Las dos masas m1=2m y m2=m de la figura se mueven en un plano XY horizontal sin rozamiento, de tal forma que en el instante inicial (t=0) las posiciones y velocidades iniciales de cada partícula son: $\vec{r}_{1,0}=a\hat i ,\vec{r}_{2,0}=2a\hat j,\vec{v}_{1,0}=v\hat i, \vec{v}_{2,0}=2v\hat j$ Ambas están unidas por un muelle de constante K sin estirar en dicha posición inicial. Calcular:
a) Velocidad del centro de masas en el instante inicial
b) Posición del centro de masas en función del tiempo
c) En cierto instante el resorte está comprimido una cantidad x. Determinar la energía cinética total de ambas masas en dicho instante.
Datos: m, a , v, k, x



A) $\vec{v}_{cm}=\frac{2mv+2mv}{3m}=\frac{4v}{3}$
B) Aquí lo que he deducido es que las partículas al estar sobre un plano horizontal, las fuerzas que actúan sobre ellas son la normal y el peso que se anulan por ser iguales. Entonces el sumatorio de fuerzas es igual a cero por lo tanto la aceleración es igual a 0 y la velocidad constante. Utilizando la ecuación de MRU obtengo que:
$y_f(m1)=a+vt$
$x_f(m2)=2a+2vt$
Luego con la fórmula deL centro de masas para la componente x e y:
$X_{cm}=\frac{2a+2vt}{3}$
$y_{cm}=2(\frac{2a+2vt}{3})$
C) No se como plantearlo.
Están bien mis planteamientos? Gracias!

[Alriga]

...dos masas m1=2m y m2=m de la figura...

Si no pones la figura, será difícil que alguien te ayude. En el siguiente hilo que has abierto:

...El sistema está girando con una velocidad angular constante $\omega$ en torno a un eje fijo, perpendicular a la varilla en el punto O (ver figura)...

también te la has olvidado. Por favor, edita los hilos para incluir las respectivas figuras.

Saludos.

[Richard R Richard]

a) no, la velocidad del centro de masas es una magnitud vectorial , tienes que tratarla como un vector

$\vec {v_{cm}}=\dfrac{\sum m_i \vec v_i}{\sum m_i}=\dfrac{2m(v,0)+m(0,2v)}{2m+m}=(\dfrac23v,\dfrac23 v)$

si ahora quieres saber el modulo de la velocidad resulta fácil, pero no es lo que tu calculaste

b) primero calcula la posición del CM

$\vec {x0_{cm}}=\dfrac{\sum m_i \vec x_i}{\sum m_i}=\dfrac{2m(a,0)+m(0,2a)}{2m+m}=(\dfrac23a,\dfrac23 a)$

recurriendo a la cinemática si no hay fuerzas externas, o permanece en reposo o se desplaza a velocidad constante e igual a la de su centro de masas

$\vec {x_{cm}(t))}=\vec {x0_{cm}}+\vec {v_{cm}} t =(\dfrac23a,\dfrac23 a)+(\dfrac23v,\dfrac23 v)t=(\dfrac23a+\dfrac23 vt,\dfrac23a+\dfrac23 vt)=\dfrac23(a+vt,a+vt)$

c) Este punto esta mal redactado , la energía total del sistema depende de cuanto es la máxima compresión o elongación de los resorte en el instante inicial , por como se plantea el problema te dicen que no estan comprimidos y al soltarlos no se mueven, si te dieran que en el instante inicial se comprime una cantidad $X_{max}$ conservando la posición y velocidad del CM , sería factible con un planteo energético cuanto se alejan del CM cada masa a cada instante , pues cada una realiza un movimiento armónico simple respecto del CM, mientras viaja su CM velocidad constante.
A lo que pregunto copiaste literal el enunciado? no faltan datos?. si no faltan entoce púedes suponerlos que hacen falta que e la posición y velocidad inicial respecto del CM de almenos una de las dos masas.

[medina00]

c) Este punto esta mal redactado , la energía total del sistema depende de cuanto es la máxima compresión o elongación de los resorte en el instante inicial , por como se plantea el problema te dicen que no estan comprimidos y al soltarlos no se mueven, si te dieran que en el instante inicial se comprime una cantidad $X_{max}$ conservando la posición y velocidad del CM , sería factible con un planteo energético cuanto se alejan del CM cada masa a cada instante , pues cada una realiza un movimiento armónico simple respecto del CM, mientras viaja su CM velocidad constante.
A lo que pregunto copiaste literal el enunciado? no faltan datos?. si no faltan entoce púedes suponerlos que hacen falta que e la posición y velocidad inicial respecto del CM de almenos una de las dos masas.

Está copiado tal cual, me dice que la solución es$3mv^2-\frac{1}{2}kx^2$

[Richard R Richard]

Ya está, no me había percatado de algo, con más tiempo te lo comento.

[Richard R Richard]

Veamos al inicio los muelles se mueven , dije que estaban en reposo pero no es cierto, no me dí cuenta,pero hay dos caminos primero el difícil,

la velocidad de cada masa respecto del CM es

$\vec {V_{rel_{01}}}=v_{01}-v_{cm}=(v,0)-(\dfrac23v,\dfrac23 v)=(\dfrac13v,-\dfrac23 v)$

$\vec {V_{rel_{02}}}=v_{02}-v_{cm}=(0,2v)-(\dfrac23v,\dfrac23 v)=(-\dfrac23v,\dfrac43 v)$

la energía mecánica en el instante inicial se compone solo de la energía cinética de las masas al inicio

$Em_0=Ec_0=\dfrac12 2m|\vec {V_{rel_{01}}}|^2+\dfrac12 m|\vec {V_{rel_{02}}}|^2$

la energía del sistema cuando esta comprimido o expandido una longitud x es

$E_{mf}=\dfrac 122mv_{f1}^2+\dfrac 12mv_{f2}^2+\dfrac 12 kx^2=Ec_f+\dfrac12kx^2$

igualamos energías

$\dfrac12 2m|\vec {V_{rel_{01}}}|^2+\dfrac12 m|\vec {V_{rel_{02}}}|^2=Ec_f+\dfrac12kx^2$

$\dfrac12 2m\left( \dfrac {v^2}{3^2}+\dfrac {2^2v^2}{3^2}\right)+\dfrac12 m\left( \dfrac {2^2v^2}{3^2}+\dfrac {4^2v^2}{3^2}\right)=Ec_f+\dfrac12kx^2$

$\dfrac59mv^2+\dfrac{10}9 mv^2=Ec_f+\dfrac12kx^2$

$Ec_f=\dfrac53mv^2-\dfrac12kx^2$

Ahora para hallar la energía cinetica total hay que sumarle la energía cinetica del centro de masas

$Ec_{cm}=\dfrac12(\sum m_i)v_{cm}^2=\dfrac{1}{2}(m+2m)v_{cm}^2=\dfrac{3}{2}m(\dfrac{2^2v^2}{3^2}+\dfrac{2^2v^2}{3^2})=\dfrac{4}{3}mv^2$

$Ec_T=Ec_f+Ec_{cm}$

es decir la energía cinetica total es la energía relativa de los componentes del sistema respecto del centro de masas , más la energía cinética el centro de masas.

$Ec_T=\dfrac53mv^2-\dfrac12kx^2+\dfrac43mv^2=3mv^2-\dfrac12kx^2$

pero la facil es que también sale sumando las energías cinéticas iniciales y descontando la energía potencial elástica que acumula el resorte

$Ec_T=\dfrac{1}{2}2mv_{01}^2+\dfrac{1}{2}mv_{02}^2-\dfrac12kx^2$

$Ec_T=\dfrac{1}{2}2m\left( v^2+0\right)+\dfrac{1}{2}m\left( 0+2^2v^2\right)-\dfrac12kx^2$

$Ec_T=mv^2+2mv^2-\dfrac12kx^2$

$Ec_T=3mv^2-\dfrac12kx^2\quad \checkmark$

Saludos

[medina00]

Veamos al inicio los muelles se mueven , dije que estaban en reposo pero no es cierto, no me dí cuenta,pero hay dos caminos primero el difícil,

la velocidad de cada masa respecto del CM es

$\vec {V_{rel_{01}}}=v_{01}-v_{cm}=(v,0)-(\dfrac23v,\dfrac23 v)=(\dfrac13v,-\dfrac23 v)$

$\vec {V_{rel_{02}}}=v_{02}-v_{cm}=(0,2v)-(\dfrac23v,\dfrac23 v)=(-\dfrac23v,\dfrac43 v)$

la energía mecánica en el instante inicial se compone solo de la energía cinética de las masas al inicio

$Em_0=Ec_0=\dfrac12 2m|\vec {V_{rel_{01}}}|^2+\dfrac12 m|\vec {V_{rel_{02}}}|^2$

la energía del sistema cuando esta comprimido o expandido una longitud x es

$E_{mf}=\dfrac 122mv_{f1}^2+\dfrac 12mv_{f2}^2+\dfrac 12 kx^2=Ec_f+\dfrac12kx^2$

igualamos energías

$\dfrac12 2m|\vec {V_{rel_{01}}}|^2+\dfrac12 m|\vec {V_{rel_{02}}}|^2=Ec_f+\dfrac12kx^2$

$\dfrac12 2m\left( \dfrac {v^2}{3^2}+\dfrac {2^2v^2}{3^2}\right)+\dfrac12 m\left( \dfrac {2^2v^2}{3^2}+\dfrac {4^2v^2}{3^2}\right)=Ec_f+\dfrac12kx^2$

$\dfrac59mv^2+\dfrac{10}9 mv^2=Ec_f+\dfrac12kx^2$

$Ec_f=\dfrac53mv^2-\dfrac12kx^2$

Ahora para hallar la energía cinetica total hay que sumarle la energía cinetica del centro de masas

$Ec_{cm}=\dfrac12(\sum m_i)v_{cm}^2=\dfrac{1}{2}(m+2m)v_{cm}^2=\dfrac{3}{2}m(\dfrac{2^2v^2}{3^2}+\dfrac{2^2v^2}{3^2})=\dfrac{4}{3}mv^2$

$Ec_T=Ec_f+Ec_{cm}$

es decir la energía cinetica total es la energía relativa de los componentes del sistema respecto del centro de masas , más la energía cinética el centro de masas.

$Ec_T=\dfrac53mv^2-\dfrac12kx^2+\dfrac43mv^2=3mv^2-\dfrac12kx^2$

pero la facil es que también sale sumando las energías cinéticas iniciales y descontando la energía potencial elástica que acumula el resorte

$Ec_T=\dfrac{1}{2}2mv_{01}^2+\dfrac{1}{2}mv_{02}^2-\dfrac12kx^2$

$Ec_T=\dfrac{1}{2}2m\left( v^2+0\right)+\dfrac{1}{2}m\left( 0+2^2v^2\right)-\dfrac12kx^2$

$Ec_T=mv^2+2mv^2-\dfrac12kx^2$

$Ec_T=3mv^2-\dfrac12kx^2\quad \checkmark$

Saludos

Y por que no hay energía potencial al inicio?? si una masa esta en (a,0) y la otra en (0,2a). Por cierto el dibujo que proporciona el porblema no se corresponde con las coordenadas que nos dice no?

[Alriga]

…Y por qué no hay energía potencial al inicio?...

Porque el enunciado dice:

…Ambas están unidas por un muelle de constante K sin estirar en dicha posición inicial…

...Por cierto el dibujo que proporciona el problema no se corresponde con las coordenadas que nos dice no?

Cierto, "a" y "2a" no están dibujados a escala correctamente.

Saludos.

[medina00]

Porque el enunciado dice:

Saludos.

Si entiendo que potencial elástica no hay, pero potencial gravitatoria al haber una diferencia de alturas?
Y respecto a lo del dibujo me refiero a que la componente i y j están puestas al revés no?

[Alriga]

..Sí entiendo que potencial elástica no hay, pero potencial gravitatoria al haber una diferencia de alturas?...

Las alturas de ambas masas no varían en ningún momento, mira lo que dice el enunciado:

Las dos masas m1=2m y m2=m de la figura se mueven en un plano XY horizontal...

…Y respecto a lo del dibujo me refiero a que la componente i y j están puestas al revés no?...

Cierto, entiendo que si admitimos que la posición inicial de las masas es la del dibujo, debería ser:

$\vec{r}_{1,0}=a \ \hat j \qquad \vec{r}_{2,0}=2a \ \hat i$

Saludos.

[medina00]

Las alturas de ambas masas no varían en ningún momento, mira lo que dice el enunciado:





Cierto, entiendo que si admitimos que la posición inicial de las masas es la del dibujo, debería ser:

$\vec{r}_{1,0}=a \ \hat j \qquad \vec{r}_{2,0}=2a \ \hat i$

Saludos.

Si fallo mío, el enunciado dice plano XY horizontal. Gracias!!