Derivar momento angular en polares

[China]

Hola buenas, a partir de la definición de $\vec{L}=\vec{r}x\vec{p}$ derivando se llega fácilmente a $\vec{M}=\vec{r}x\vec{F}$ pero si derivo a partir de $\vec{L}=mr^2 \dot{\theta}\vec{k}$ me queda $(2mr\dot{r}\dot{\theta}+mr^2\ddot{\theta})\vec{k}$, que si se elimina el 1º termino coincide, pero no veo como eliminar el primer termino, se elimina para movimiento circular pero $\vec{M}=\vec{r}x\vec{F}$ debe cumplirse siempre por lo que ese primer termino se debe eliminar en todo caso. Donde está el error?

[teclado]

Hola,

Tu resultado es el correcto. Los vectores unitarios son los siguientes:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \hat{r} &= \hat{i}\cos(\theta) + \hat{j}\sin(\theta) \\<br /> \hat{\theta} &= -\hat{i}\sin(\theta) + \hat{j}\cos(\theta) \\<br /> \hat{k} &= \hat{k}<br /> \end{aligned}<br />$

Con $\hat{r}\times\hat{\theta} = \hat{k}$.

Y las derivadas:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \dot{\hat{r}} &= -\hat{i}\dot{\theta}\sin(\theta) + \hat{j}\dot{\theta}\sin(\theta) = \dot{\theta}\hat{\theta} \\<br /> \dot{\hat{\theta}} &= -\hat{i}\dot{\theta}\cos(\theta) - \hat{j}\dot{\theta}\sin(\theta) = -\dot{\theta}\hat{r}<br /> \end{aligned}<br />$

Asumiendo que el movimiento ocurre en el plano XY, las variables cinemáticas quedan como a continuación:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec{r} &= r\hat{r} \\<br /> \vec{v} &= \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} \\<br /> \vec{a} &= \ddot{r}\hat{r} + 2\dot{r}\dot{\theta}\hat{\theta} + r\ddot{\theta}\hat{\theta} - r\dot{\theta}\hat{r}<br /> \end{aligned}<br />$

Si hacemos el producto vectorial $m\vec{r}\times\vec{a}$:

$<br /> \vec{M} = \vec{r}\times\vec{F} = m\vec{r}\times\vec{a} = mr \hat{r}\times (2\dot{r}\dot{\theta}\hat{\theta} + r\ddot{\theta}\hat{\theta}) = mr(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\hat{k} = (2mr\dot{r}\dot{\theta} + mr^2\ddot{\theta})\hat{k}<br />$

Que es el resultado al que has llegado derivando.

Saludos.

[China]

Ya pero, el momento de fuerzas no es $\vec{M}=I\vec{\alpha}$, que se corresponde únicamente con el 2º termino de esa expresión del momento que nos sale??

[teclado]

La ecuación que dices es para un sólido rígido, ahí el primer término es 0, porque no hay movimiento radial.

[China]

ahh vale, entiendo que pasa solido rígido o para partícula haciendo un movimiento circular no?

[teclado]

Piensa que el movimiento de un sólido rígido alrededor de un eje también es circular.