Otras carreras Velocidad relativa y de arrastre

[danielandresbru]

Hola quería llegar a las formulas de la velocidad relativa y la de arrastre pero haciendo los cálculos me sale lgo distinto, agradecería mucho si me orientaran para saber que estoy haciendo mal y como llegar a la formula que busco.


Para lo que busco supuese tres sistemas de referencia $SO$, $SO_1$, y $SO_2$
$SO$ es un sistema de referencia fijo.
$SO_1$ es un sistema de referencia movil, en donde $O_1$ se mueve con respecto a $O$ a $\vec{V}$ constante en dirección (es decir, el vector $\vec{OO_1}$ no cambia de dirección en el tiempo). Este sistema de referencia gira con respecto a su centro (obviamente incluyendo su ejes en este giro) a $\vec{\omega_1}$.
$SO_2$ es un sistema de referencia movil, en donde $O_2$ se mueve con respecto a $O_1$ a $\vec{V}$ constante en dirección. Este sistema de referencia gira con respecto a su centro ($O_2$) a $\vec{\omega_2}$.


Ahora mi objetivo es calcular la velocidad de $P$ absoluta, es decir, respecto a $SO$ (sistema de referencia fijo).




$\displaystyle \vec{OP}=\vec{OO_1}+\vec{O_1O_2}+\vec{O_2P}$.

$\displaystyle \frac d{dt}\vec{OP}= \frac d{dt}\vec{OO_1}+\frac d{dt} \vec{O_1O_2}+\frac d{dt} \vec{O_2P}$.


* $\displaystyle \frac d{dt}\vec{OO_1}= \vec{V_{O1/O2}}$ ya que $\displaystyle \vec{OO_1}$ no varía en dirección.


*$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_1O_2}= \frac d{dt} (x_1 \hat{i_1} + y_1 \hat{j_1} +z_1 \hat{k_1} )$

Siendo $(x_1 \hat{i_1} + y_1 \hat{j_1} +z_1 \hat{k_1})$ el vector $\displaystyle \vec{O_1O_2}$ en el sistema de coordenadas $SO_1$. (Los vectores $\hat{i_1}$, $\hat{j_1}$, y $\hat{k_1}$ son los vectores unitarios en $SO_1$ )



$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_1O_2}= \frac {dx_1}{dt}\hat{i_1} +\frac {dy_1}{dt}\hat{j_1} +\frac {dz_1}{dt}\hat{k_1}+ x_1\frac{d\hat{i_1}}{dt} + y_1\frac{d\hat{j_1}}{dt}+z_1\frac{d\hat{k_1}}{dt}$

Como $\displaystyle \frac {dx_1}{dt}\hat{i_1} +\frac {dy_1}{dt}\hat{j_1} +\frac {dz_1}{dt}\hat{k_1}= \vec{V_{O2/O1}}$
$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_1O2}=\vec{V_{O2/O1}}+ x_1\frac{d\hat{i_1}}{dt} + y_1\frac{d\hat{j_1}}{dt}+z_1\frac{d\hat{k_1}}{dt}$

Y ya que $\displaystyle \frac{d\hat{i_1}}{dt}=\vec{\omega_1} \times \hat{i_1}$, $\displaystyle \frac{d\hat{j_1}}{dt}=\vec{\omega_1} \times \hat{j_1}$, y $\displaystyle \frac{d\hat{k_1}}{dt}=\vec{\omega_1} \times \hat{k_1}$,


$\displaystyle x_1\frac{d\hat{i_1}}{dt} + y_1\frac{d\hat{j_1}}{dt}+z_1\frac{d\hat{k_1}}{dt}= x_1(\vec{\omega_1} \times \hat{i_1}) + y_1(\vec{\omega_1} \times \hat{j_1})+z_1(\vec{\omega_1} \times \hat{k_1})$ $\displaystyle =(\vec{\omega_1} \times x_1\hat{i_1}) + (\vec{\omega_1} \times y_1\hat{j_1})+(\vec{\omega_1} \times z_1\hat{k_1})= \vec{\omega_1} \times (x_1 \hat{i_1} + y_1 \hat{j_1} +z_1 \hat{k_1} )$ $= \vec{\omega_1} \times \vec{O_1O_2}$.

Por tanto

$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_1O_2}= \vec{V_{O2/O1}}+\vec{\omega_1} \times \vec{O_1O_2}$.





*$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_2P}= \frac d{dt} (x_2 \hat{i_2} + y_2 \hat{j_2} +z_2 \hat{k_2} )$.

Siendo $(x_2 \hat{i_2} + y_2 \hat{j_2} +z_2 \hat{k_2})$ el vector $\displaystyle \vec{O_2P}$ en el sistema de coordenadas $SO_2$. (Los vectores $\hat{i_2}$, $\hat{j_2}$, y $\hat{k_2}$ son los vectores unitarios en $SO_2$ ).


$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_2P}= \frac {dx_2}{dt}\hat{i_2} +\frac {dy_2}{dt}\hat{j_2} +\frac {dz_2}{dt}\hat{k_2}+ x_2\frac{d\hat{i_2}}{dt} + y_2\frac{d\hat{j_2}}{dt}+z_2\frac{d\hat{k_2}}{dt}$.

Como $\displaystyle \frac {dx_2}{dt}\hat{i_2} +\frac {dy_2}{dt}\hat{j_2} +\frac {dz_2}{dt}\hat{k_2}= \vec{V_{O2/O1}}$
$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_2P}=\vec{V_{P/O2}}+ x_2\frac{d\hat{i_2}}{dt} + y_2\frac{d\hat{j_2}}{dt}+z_2\frac{d\hat{k_2}}{dt}$.

Y ya que $\displaystyle \frac{d\hat{i_2}}{dt}=\vec{\omega_2} \times \hat{i_2}$, $\displaystyle \frac{d\hat{j_2}}{dt}=\vec{\omega_2} \times \hat{j_2}$, y $\displaystyle \frac{d\hat{k_2}}{dt}=\vec{\omega_2} \times \hat{k_2}$.




$\displaystyle x_2\frac{d\hat{i_2}}{dt} + y_2\frac{d\hat{j_2}}{dt}+z_2\frac{d\hat{k_2}}{dt}= x_2(\vec{\omega_2} \times \hat{i_2}) + y_2(\vec{\omega_2} \times \hat{j_2})+z_1(\vec{\omega_2} \times \hat{k_2})$ $\displaystyle =(\vec{\omega_2} \times x_2\hat{i_2}) + (\vec{\omega_2} \times y_1\hat{j_2})+(\vec{\omega_2} \times z_2\hat{k_2})= \vec{\omega_2} \times (x_2 \hat{i_2} + y_2 \hat{j_2} +z_2 \hat{k_2} )$ $= \vec{\omega_2} \times \vec{O_2P}$.

Por tanto

$\displaystyle \frac d{dt}\vec{O_2P}= \vec{V_{P/O2}}+\vec{\omega_2} \times \vec{O_2P}$.






Lo que me daría $\displaystyle \vec{V_P (abs)}= \vec{V_{P/O}}= \vec{V_{O1/O2}} + \vec{V_{O2/O1}}+\vec{\omega_1} \times \vec{O_1O_2} + \vec{V_{P/O2}}+\vec{\omega_2} \times \vec{O_2P}$
$\displaystyle \vec{V_P (arr)}= \vec{V_{O1/O2}} + \vec{V_{O2/O1}}+\vec{\omega_1} \times \vec{O_1O_2}$
$\displaystyle \vec{V_P (rel)}= \vec{V_{P/O2}}+\vec{\omega_2} \times \vec{O_2P}$.

Pero se supone que $\displaystyle \vec{V_P (arr)}$ me debería dar $\displaystyle \vec{V_P (arr)}= \vec{V_{O1/O2}} + \vec{V_{O2/O1}}+\vec{\omega_1} \times \vec{O_1P}$.

Muchas gracias de antemano

[felmon38]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

Hola daniel.....: Antes de nada, creo que deberías especificar cuando derivas un vector respecto de que sistema derivas porque, por ejemplo, la derivada de O₁O₂ respecto del tiempo y respecto del sistema SO₁ es cero, pero no lo es respecto del sistema SO. He entendido que O₁ pertenece a SO y que O₂ pertenece a SO₁. Ah! No hay sistemas fijos y no está determinado el movimiento de un punto respecto de otro sino respecto de un S.R.
Saludos

[danielandresbru]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

felmon38 todas las derivadas que hago son con respecto al sistema $SO$ (sistema de referencia fijo), lo unico es que algunos casos expreso un vector con sus cordenadas en un sistema u otro ( cuando pongo $x_1 \hat{\imath_1} + y_1 \hat{\jmath_1}+z_1 \hat{k_1}$ (eso sería en el sistema de referencia $SO_1$), pero ese vector tambien se podría escribir como $\alpha \hat{\imath} + \beta \hat{\jmath}+\gamma \hat{k}$ (en $SO$ ) ) $(x_1,y_1,z_1,\alpha,\beta,\gamma) \in \Re$.

Saludos

[felmon38]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

Vale. Habia entendido que O₁ pertenece también a SO y que O₂ también pertenece a SO₁ o no?.
Saludos

[danielandresbru]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

felmon38 A que te refieres con pertenecer?

[felmon38]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

Que no se mueve respecto de SO. Que es un punto de SO.

[Richard R Richard]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

$SO_1$ es un sistema de referencia movil, en donde $O_1$ se mueve con respecto a $O$ a $\vec{V}$ constante en dirección (es decir, el vector $\vec{OO_1}$ no cambia de dirección en el tiempo). Este sistema de referencia gira con respecto a su centro (obviamente incluyendo su ejes en este giro) a $\vec{\omega_1}$.

No logro descifrar la frase , creo entender que sería O_1 se mueve a velocidad V de modulo constante en direccion perpendicular el vector OO_1, pero si dices que ese vector no cambia de direccion obviamente no puede girar con velocidad angular $\omega$ algo se contradice o no comprendo.

$SO_2$ es un sistema de referencia movil, en donde $O_2$ se mueve con respecto a $O_1$ a $\vec{V}$ constante en dirección. Este sistema de referencia gira con respecto a su centro ($O_2$) a $\vec{\omega_2}$.

tambien si me lo aclaras, por ahi , puedo interpretar adonde quieres llegar ...

quieres definir 3 SR uno estatico uno en MRU con respecto al primero y otro en MCU ????


saludos

[danielandresbru]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

A ver si me explico mejor con la imagen.

Si tu estas parado en el sistema de referncia $SO$ tu vez al punto $O_1$ sólo alejandose o aceracandose (no ves que sufra una aceleración normal), pero eso es el punto $O_1$, los ejes de este sistema de referencia ( con origen en $O_1$ ) sí vez que tienen una aceleración normal; porque rotan en torno a un eje que pasa por $O_1$ (rotan con velocidad angular $\vec{\omega_1})$.

Ahora si estas en el sistema de referencia $SO_1$ tu vez al punto $O_2$ sólo alejarse o acercarce, pero es nada más el punto $O_2$ porque los ejes rotan con $\vec{\omega_2}$ en torno a un eje que pasa por $O_2$.

Y ahora si estas parado en el sistema de referencia $SO_2$ ves al punto $P$ que solo se aleja o se acerca.

Bueno si todavía no me estoy explicando bien me lo podeis decir.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Velocidad relativa y de arrastre

Has descompuesto el vector velocidad de cada sistema de referencia en dos velocidades la de traslación y la de rotación de cada sistema de referencia mas la velocidad relativa de P respecto de O

Lo que puede ser que yo no comprenda es el concepto de velocidad de arrastre que quieres demostrar .

pero segun lo que he buscado

https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_arrastre

tu tienes que la velocidad de P la puedes expresar como suma de la velocidad de arrastre del origen del sistema de refrenecia mas la velocida relativa de P con respecto a ese sistema. y creo entender que la fórmula anterior estaria reflejando justamente eso

$\vec{V_P (abs)}=\vec{V_{arr}}+\vec{V{rel}}$

el tema es que la velocidad de arrastre del origen del sistema de referencia 2 se puede descomponer en la velocidad relativa de 2 a 1 y de arrastre de 2 a 1 y lo mismo con 1 hacia O ,

pero seguro te has liado en el proceso

$\vec{V_{OP}}=\vec{Varr_{OO_2}}+\vec{Vrel_{O_2P}}=\vec{Varr_{OO_2}}+\vec{Varr_{O_2P}}+\vec{\omega_2} \times \vec{O_2P}$


$\vec{V_{OP}}=\vec{Varr_{OO_1}}+\vec{Vrel_{O_1P}}=\vec{Varr_{OO_1}}+\vec{Varr_{O_1O_2}}+$$\vec{\omega_1} \times \vec{O_1O_2}+\vec{Varr_{O_2P}}+\vec{\omega_2} \times \vec{O_2P}$


Saludos