teorema de fuerzas vivas

[China]

Hola, en el siguiente paso de la demostración del teorema de fuerzas vivas: $w=\int {\vec F.d\vec r}=\int {m \frac {d\vec V} {dt} d\vec r}= \int {m v dv}$ en este paso último, como se quitan los vectores, para realizar la integración??

[teclado]

Buenas,

Tu último paso está incompleto, tienes que hacer el producto escalar:

$\dst W = \int m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t}\dd \vec{r} = \int m\vec{v}\dd\vec{v}$

Si lo expandes:

$\dst W = m\int (v_x\dd v_x + v_y \dd v_y + v_z \dd v_z)$

Si, por otro lado, diferencias $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$, tienes

$\dst \dd(v^2) = 2v_x\dd v_x + 2v_y\dd v_y + 2v_z\dd v_z$

Que es el doble del integrando, es decir:

$\dst W = m\int\frac{\dd (v^2)}{2} = \frac{1}{2}m\int\dd (v^2) = \frac{1}{2}mv^2$

Saludos.

[delmar7]

Hola

Con un poco más de rigor matemático, se tiene por definición de integral de línea de un campo vectorial:

$\int_C \vec{F}.d \vec{r}=\int_a^b \vec {F(r(t))}.\vec {r'(t)} \ dt$ C es una línea, que tiene como ecuación paramétrica a $\vec{r(t)}$ siguiendo el desarrollo se tiene :

$\int_C \vec{F}.d \vec{r}=\int_a^b m\vec{r''(t)}.\vec {r'(t)} \ dt=\int_a^b m (r''_x(t)\vec{i}+r''_y(t)\vec{j}+r''_z(t)\vec{k}).(r'_x\vec{i}+r'_y\vec{j}+r'_z\vec{k}) \ dt=$


$m\int_a^b r''_x(t)r'_x(t) \ dt+m\int_a^b r''_y(t)r'_y(t) \ dt+m\int_a^b r''_z(t)r'_z(t) \ dt=$

$m(\frac{v_x^2(b)-v_x^2(a)}{2})+m(\frac{v_y^2(b)-v_y^2(a)}{2})+m(\frac{v_z^2(b)-v_z^2(a)}{2})=m(\frac{1}{2})(v_b^2-v_a^2)$


Saludos