Trabajo y energía

[garcialopezmanuel753]

Si bien hace poco que comencé con este tema, hay un ejercicio en mi boletín que no se cómo resolverlo, pues creo que le faltan datos. Dice así:
Un hombre situado en el punto más alto de una pendiente de 37º arroja una pelota horizontalmente, que choca con el suelo 72 m más abajo. a) Si se hubiera arrojado la pelota con la misma velocidad inicial, pero formando un ángulo de 37º con la horizontal, ¿qué distancia horizontal habría alcanzado? (Despréciese la resistencia del aire) b) Si la pelota pesa 250 g y está en la mano de quién la lanza durante 1/8 s, ¿cuál será la potencia media desarrollada en el acto de lanzarla?

He intentado que sabiendo que en la cúspide de la pendiente hay solamente Energía potencial gravitatoria (Epg) y cuando llega al suelo toda esa energía se ha transformado en Energía cinética (Ec), entonces:
ΔEpg = ΔEc
mgh= ½mv²

v=√2gh
Ahora, h, ¿son 72m, o es la distancia que recorrió la pelota en forma horizontal?
Pues bueno, aquí es dónde me atasco. Si alguien pudiera ayudarme en su resolución se la agradeceré.

[JCB]

Hola a tod@s.

Interpreto que si "choca con el suelo $72\ m$ más abajo", se refiere a una distancia vertical. Suponiendo que esta interpretación sea correcta, en el lanzamiento horizontal (primera situación del apartado a)), igualo la ecuación de la parábola que describe la trayectoria de la pelota, con la ecuación de la pendiente. Establezco el origen de coordenadas en el punto inicial de la pelota.

a1) $y=\cancelto{0}{y_0}+\cancelto{0}{v_{0y}}t-\dfrac{1}{2}gt^2=-\dfrac{1}{2}gt^2$ (1)

$x=v_{0x}t$, $t=\dfrac{x}{v_{0x}}$ (2)

Sustituyendo (2) en (1),

$y=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^2}{v_{0x}^2}$ (3). Ecuación de la trayectoria en el lanzamiento horizontal.

Por otra parte, la ecuación de la pendiente es $y=-\tan\theta\cdot x$ (4). Combinando (3) con (4),

$v_{0x}=\sqrt{\dfrac{-gy}{2\tan^2\theta}}=24,93\ m/s$. La distancia horizontal alcanzada es $x=\dfrac{-y}{\tan\theta}=95,55\ m$.

a2) Ahora se lanza la pelota con la misma velocidad $(24,93\ m/s)$, pero formando un ángulo de $37^{\circ}$ con la horizontal. $v_{0x}$ pasa a valer $19,91\ m/s$.

$y=\cancelto{0}{y_0}+v_{0y}t-\dfrac{1}{2}gt^2=v_{0y}t-\dfrac{1}{2}gt^2$ (5)

Sustituyendo (2) en (5),

$y=\tan\theta\cdot x-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^2}{v_{0x}^2}$ (6). Ecuación de la trayectoria.

Combinando (6) con (4), llego a que

$y=\dfrac{-4v_{0x}^2\tan^2\theta}{g}=-91,85\ m$. La distancia horizontal alcanzada es $x=\dfrac{-y}{\tan\theta}=121,88\ m$.

b) La energía cinética que adquiere la pelota es $E_c=\dfrac{1}{2}m(24,93)^2=77,66\ J$. Como esta energía se adquiere en $1/8\ s$, la potencia media será

$P=\dfrac{E_c}{t}=621,30\ W$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB , si el ángulo de lanzamiento y el ángulo del plano es el mismo, el vector velocidad inicial y el plano son paralelos, (a menos que el lanzamiento sea hacia arriba, cosa que no considere hasta ahora editar, pero no veo que sea así tu planteo) y si no hay separación entre ellos (porque datos no dan), entonces la distancia que recorre hasta tocar superficie es cero, Es decir a menos que haya una distancia entre la mano que lanza y el inicio del plano, reitero, cosa que no se da como dato. A mi me parece un tanto extraño el punto 2.

[garcialopezmanuel753]

a) Yo lo reinterpreté de la siguiente manera, cuando dice “choca con el suelo 72 m más abajo”, lo tomé que es la distancia que recorrió la pelota, en forma horizontal. Y choca con el suelo en la base de la pendiente, como la pendiente tiene 37º, y se forma un triángulo rectángulo; con la tangente del ángulo averiguo la altura de la misma. Yo creo que de otro modo hubiese dado directamente el dato de la altura sin más. Por algo enuncia el dato de la pendiente de 37º.
De esa forma, la altura en la cúspide son aproximadamente 54 m. Entonces, la pelota cae desde una altura de 54 m.
De ahí, si aplico la combinación entre la ecuación de la pendiente y la trayectoria de la pelota, que da una v₀ aproximada de 21.7 m/s
Ahora con este dato crucial, porque en ambos tiros es la misma velocidad inicial, buscamos el alcance que tendrá:
$R=\frac{4v_0^2\sin37^\circ\cos37^\circ}{g} = \frac{4(21.7)^2\sin37^\circ\cos37^\circ}{9.8} \approx92m$
Ese es el alcance máximo, lanzada la pelota con un ángulo de 37º.

b) Al impartir la velocidad el trabajo realizado es:
W= ½*m*v₀² = ½*(0.25)*(21.7)² ≈ 58.9 J
Entonces la potencia media:
P = 58.9/(1/8) = 471.2 Watt

¿No sé que os parece?

[JCB]

Pues opino que es una lástima que se deba emplear más tiempo en dilucidar cuál es el sentido del enunciado, que en resolver propiamente el ejercicio.

[Richard R Richard]

Una imagen vale mas que 1000 palabras dicen

[Richard R Richard]

a) Yo lo reinterpreté de la siguiente manera, cuando dice “choca con el suelo 72 m más abajo”, lo tomé que es la distancia que recorrió la pelota, en forma horizontal. ...
¿No sé que os parece?

No, los 72 m son de desnivel vertical, la distancia horizontal es justamente la incógnita a averiguar tal cual lo hizo JCB , luego te sirve de dato para resolver el siguiente punto... ¿tiene una imagen adjunta al enunciado?

[garcialopezmanuel753]

Evidentemente la ambigüedad nos trajo hasta acá, damos por concluido el tema, dando por sentado que la altura es de 72 m. Al no haber ninguna imagen en mi boletín de ejercicios, la forma más sencilla es considerar esa altura. Gracias por la ayuda.

[JCB]

Evidentemente la ambigüedad nos trajo hasta acá, damos por concluido el tema, dando por sentado que la altura es de 72 m. Al no haber ninguna imagen en mi boletín de ejercicios, la forma más sencilla es considerar esa altura. Gracias por la ayuda.

Hola a tod@s.

Diría que no solo la ambigüedad te trajo hasta aquí, porque el método energético que habías indicado en tu mensaje # 1, no permite encontrar la solución al ejercicio, sino que se debe aplicar la Cinemática, como ya has observado. A todo esto, que la ambigüedad no nos distraiga, y lo importante es determinar un método de resolución válido para cualquier interpretación, como es el caso.

Saludos cordiales,
JCB.