2o ciclo moviles

[JiraiyA]

hola , como estan , podrian plantear una solucion a este problema no muy tradicional y no muy complicado.lo he intentado pero no tengo idea

son cuatro cuerpos de masas despreciables,dispuestos en forma de tetraedro regular de lado L ,en el que "1 va en busca de 2"
o si quieren "1 siempre se dirije solo hacia 2" , "2 va en busca de 3","3 en busca de 4 " y "4 en busca de 1",y cada cuerpo se mueve con una velocidad V hasta encontrarse en algun punto los cuatro cuerpos . Hallar el tiempo que demoran en encontrarse ( si es que se encuentran )los cuatro cuerpos en un solo punto .GRACIAS

PD : los cuerpos no estan unidos

[carroza]

Re: moviles

hola , como estan , podrian plantear una solucion a este problema no muy tradicional y no muy complicado.lo he intentado pero no tengo idea

son cuatro cuerpos de masas despreciables,dispuestos en forma de tetraedro regular de lado L ,en el que "1 va en busca de 2"
o si quieren "1 siempre se dirije solo hacia 2" , "2 va en busca de 3","3 en busca de 4 " y "4 en busca de 1",y cada cuerpo se mueve con una velocidad V hasta encontrarse en algun punto los cuatro cuerpos . Hallar el tiempo que demoran en encontrarse ( si es que se encuentran )los cuatro cuerpos en un solo punto .GRACIAS

PD : los cuerpos no estan unidos

Hola. Este problema parece muy bonito, y tambien parece no trivial.
Intuyo que los cuatro cuerpos se unen finalmente en el centro del tetraedro, y el tiempo que tardan en unirse es igual al cociente entre la longitud de la trayectoria que describen y la velocidad.
El problema es encontrar la longitud de la trayectoria que describen, que parece ser una curva que no está contenida en un plano.

Un problema más sencillo seria considerar el mismo caso con tres cuerpos en un triangulo. En este caso, las trayectorias de las particulas corresponden (creo) a espirales logarítmicas.

[pod]

Re: moviles

Bueno, planetear un sistema de ecuaciones diferenciales que goviernan la trayectoria no es muy difícil. Lo chungo será resolverlas.

Llamaré $\vec r_i = (x_i, y_i, z_i)$ a la posición de la i-esima partícula (con $i = 1\div 4$). La partícula $i$ siempre se dirige hacia la partícula $i+1\mod4$ (por comodidad, pondré $i+1$, en el bien entendido que el 5 se debe substituir por 1). Es decir, la velocidad de la partícula $i$ tendrá la dirección

$$\vec v_i = K_i ( \vec r_{i+1} - \vec r_i ) \ .$$

Lo que nos queda es asegurarnos que la velocidad tiene módulo constante. En definitiva, tenemos una ecuación diferencial para cada una de las ecuaciones:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd x_i}{\dd t} & = V \dfrac{x_{i+1}-x_i}{ \sqrt{ (x_{i+1}-x_i)^2 + (y_{i+1}-y_i)^2 + (z_{i+1}-z_i)^2}} \ , \\<br /> \frac{\dd y_i}{\dd t} & = V \dfrac{y_{i+1}-y_i}{ \sqrt{ (x_{i+1}-x_i)^2 + (y_{i+1}-y_i)^2 + (z_{i+1}-z_i)^2}} \ , \\<br /> \frac{\dd z_i}{\dd t} & = V \dfrac{z_{i+1}-z_i}{ \sqrt{ (x_{i+1}-x_i)^2 + (y_{i+1}-y_i)^2 + (z_{i+1}-z_i)^2}} \ .<br /> \end{aligned}$$

En definitiva, doce ecuaciones acopladas no lineales. Llama a gritos una resolución por ordenador. Lo que si podemos hacer es ver algunas propiedades de las ecuaciones como sistema dinámico, por ejemplo buscar si hay algún atractor.

[carroza]

Re: moviles

Creo que es mejor tomar como variable dinámica el tamaño del tatraedro.

En este problema, por mucho que cambien las posiciones de los vertices, siempre la forma de la figura es un tetraedro regular.

Encuentra la ecuacion que satisface una dimensión del tetraedro (por ejemplo la distancia de cada vertice al centro) y tendremos una ecuación en una variable para resolver.

[carroza]

Re: moviles

Creo que tengo una solucion bonita al problema:

En un tetraedro, el angulo que forma cada arista del tetraedro con la direccion del vertice al centro vale $\theta$ tal que $\cos(\theta)=\sqrt{2/3}$.

Pues bien, en el problema que tenemos, la velocidad de cada movil, en cada momento, va en la dirección de una arista. De esta velocidad, una componente $v_c= v \sqrt{2/3}$ va en la dirección hacial el centro del tetraedro. La dirección de la velocidad puede variar, pero el modulo e la componente que ha hacia el centro del tetraedro no.

Como la distancia de cada vertice de un tetraedro de lado L al centro vale
$D= L \sqrt{3/8}$, el tiempo que tarda el tetraedro en colapsar es
$T = D/v_c =3L/4v$

[JiraiyA]

Re: moviles

Sin quitar merito a Pod pues el planteo el ejercicio con el amplio conocimiento que tiene , la solucion mas practica es la de carroza , je en este problema solo tenia que hacer eso descomponer la velocidad , tienes razon el caso mas simple es de un triangulo equilatero con tres masas en los vertices , pero quize imaginar algo mas alla y haber que me respondian , muchas gracias por responder este problema tan curioso