péndulo balístico + péndulo cónico

[catalejo]

Hola, estoy atascado con el cálculo del ángulo en este problema:
Una bala de masa 50 g es disparada horizontalmente con una velocidad de 300 m/s y se incrusta en una bola de madera de masa 450 g, que está colgada de una cuerda de 2 metros de longitud, formando un péndulo. La bala queda incrustada en la bola después del impacto.
Después del choque, la bola con la bala se pone a girar en un movimiento circular uniforme en un plano horizontal, describiendo una circunferencia de radio constante con el hilo tenso y sin cambiar de altura.
a) Calcula la velocidad del conjunto bala + bola justo después del impacto.
b) Determina el ángulo que forma la cuerda con la vertical durante el movimiento circular.
c) Calcula la tensión de la cuerda durante el movimiento circular.
d) Determina la velocidad angular del sistema en su movimiento circular uniforme.

[Richard R Richard]

Hola catalejo Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

1) En el impacto se conserva el momento lineal

$mv_i=(M+m)v_f$

$0.05kg300m/s=(0.45+0.05)v_f\quad \to \quad v_f=30m/s$

2)para que pueda tener una trayectoria circular la tensión de la cuerda sobre la horizontal es igual a la fuerza centrípeta

$T_x=T\sin\alpha=m\dfrac{v_f^2}{r}$

el valor de la tensión no lo conoce pero si no asciende hay equilibrio entre la tensión vertical y el peso

$T\cos\alpha=(M+m)g$ despaja de aqui $T=\dfrac{(M+m)g}{\cos\alpha}$ y lo reemplazas en la tensión horizontal

te queda $(M+m)g\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=m\dfrac{v_f^2}{r}$

pero tambien sabes que si la longitud de la cuerda es $L$ se cumple por trigonometría que L$\sin\alpha=r$ reemplazando

como $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

te queda $(M+m)g\dfrac{\sin^2\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}=m\dfrac{v_f^2}{L}$

si cambias de variable haciendo $x =\sin\alpha$

$(M+m)g\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=m\dfrac{v_f^2}{L}$

solo debes despejar $x$ , de una ecuación cuadrática y resolver para el valor positivo...

una vez hallado $x$ el ángulo será $\alpha=\arcsin x$

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