Dinamica de rotacion

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Disculpa la demora felmon38, las diferencias numéricas que tenemos en realidad no me desvelan (yo tome g = 10 m/s^2), mi intención era solo llegar al sistema de ecuaciones que describieran el problema, y visto lo engorroso de encontrar una solución simbólica esta parte la dejo acá.

Para terminar solo me gustaría desarrollar el mismo sistema de ecuaciones para el caso del angulo de la cuerda variable.

Tomamos el semieje positivo "y" hacia arriba, y el semieje positivo de las "x" hacia la derecha.
Las coordenadas del extremo de la cuerda tienen las coordenadas x e y, y los delta x e y son los incrementos de dichas coordenadas en un tiempo delta t.

Coordenada x e y en el instante t:

$\dst x(t) = - L \ sen \beta$

$\dst y(t) = - L \ cos \beta$

Coordenada x e y en el instante $t+\Delta t$:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1-(L+\Delta L + \Delta \beta \ r_2) \ sen(\beta+\Delta \beta)$

$\dst y(t+\Delta t)=-(L+\Delta L + \Delta \beta \ r_2) \ cos(\beta+\Delta \beta)$

Esto considerando que $\Delta \beta$ es lo suficientemente chico como para igualar aproximadamente el arco y su cuerda y que ademas dicha cuerda tiene el mismo angulo que la cuerda del que pende la masa m. El termino $\Delta \theta \ r_1$ representa el desplazamiento del CG de la masa M en el eje x, no lo dibuje porque se complicaba el dibujo.

El incremento del largo de la cuerda $\Delta L$ es igual a la diferencia entre lo que se desenrolla la cuerda por la rotación de la masa M, y el arco que adelanta el punto de tangencia de dicha cuerda.

$\dst \Delta L = (\Delta \theta - \Delta \beta) \ r_2$

Reemplazamos lo anterior:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1 -(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ sen(\beta+\Delta \beta)$

$\dst y(t+\Delta t)=-(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ cos(\beta+\Delta \beta)$

Identidades trigonométricas:

$\dst sen(\beta+\Delta \beta) =sen \beta \ cos \Delta \beta + cos \beta \ sen \Delta \beta$

$\dst cos(\beta+\Delta \beta) = cos \beta \ cos \Delta \beta - sen \beta \ sen \Delta \beta$

Considerando que $\dst \Delta \beta \to 0$ las anteriores quedan:

$\dst sen(\beta+\Delta \beta) =sen \beta + cos \beta \ \Delta \beta$

$\dst cos(\beta+\Delta \beta) = cos \beta - sen \beta \ \Delta \beta$

Reemplazando en el valor de las coordenadas:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1 -(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ (sen \beta + cos \beta \ \Delta \beta)$

$\dst y(t+\Delta t)=-(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ (cos \beta - sen \beta \ \Delta \beta)$

Operando:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1 -L\ sen \beta-\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta - L \ cos \beta \ \Delta \beta-\Delta \theta \ r_2 \ cos \beta \ \Delta \beta$

$\dst y(t+\Delta t)=- L \ cos \beta - \Delta \theta \ r_2 \ cos \beta + L \ sen \beta \ \Delta \beta +\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta \ \Delta \beta$

Y calculamos los incrementos de las coordenadas:

$\dst \Delta x =x(t+\Delta t) - x(t) = \Delta \theta \ r_1 -\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta - L \ cos \beta \ \Delta \beta-\Delta \theta \ r_2 \ cos \beta \ \Delta \beta$

$\dst \Delta y =y(t+\Delta t) - y(t) =- \Delta \theta \ r_2 \ cos \beta + L \ sen \beta \ \Delta \beta +\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta \ \Delta \beta$

Dividiendo los incrementos por delta t y tomando el limite cuando este tiende a cero tenemos las velocidades de la punta de la cuerda:

$\dst x'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta x(t)}{\Delta t} = \omega \ r_1 -\omega \ r_2 \ sen \beta - L \ cos \beta \ \beta'$

$\dst y'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta y(t)}{\Delta t} = - \omega \ r_2 \ cos \beta + L \ sen \beta \ \beta'$

y derivando estas se obtienen las aceleraciones correspondientes:

$\dst x''(t) = \alpha \ r_1 -\alpha \ r_2 \ sen \beta -\omega \ r_2 \ cos \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'^2 - L \ cos \beta \ \beta''$

$\dst y''(t) = - \alpha \ r_2 \ cos \beta + \omega \ r_2 \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'$

y las ecuaciones del movimiento quedan:

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$

2 _ $\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1= I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$

6 _ $\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$

7 _ $\dst a_{xm} = \alpha \ r_1 -\alpha \ r_2 \ sen \beta -\omega \ r_2 \ cos \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'^2 - L \ cos \beta \ \beta''$

8 _ $\dst a_{ym} = - \alpha \ r_2 \ cos \beta + \omega \ r_2 \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'$

[FONT=Verdana]Si no me equivoque hasta acá, termino mi participación en el hilo, la solución de este sistema de ecuaciones esta fuera de mi alcance.[/FONT]

[FONT=Verdana]s.e.u.o.[/FONT]

[FONT=Verdana]Suerte ![/FONT]

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Hola Breogan: Afinando más en la solución numérica que daba en mi post #17, he llegado a un valor de α=5.831 rd/s². Esto significa un error del 14% respecto de tu solución, pero no estoy nada seguro de que no me haya equivocado operando.
Saludos

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Breogan, rerevisando creo que falta un signo menos en la ecuación 6.

Me olvide de aclarar que tome el sentido horario como sentido positivo de crecimiento de los ángulos, así que no hace falta el signo negativo en $\alpha$.

Al revisar me di cuenta que cometí un error en un signo en la formula 5 del ultimo mensaje y otro error en un signo de la formula 3 en un mensaje anterior (use la convención contraria para los momentos que para el angulo), los cuales ya fueron corregidos en dichos mensajes, y las formulas quedaron:

1 _ $\dst \frac{T \ r_2 - I \alpha}{r_1} - T \ \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}= M \ r_1 \ \alpha$

2 _ $\dst \left( \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 + \left( \frac{P_2}{T + m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 =1$

Reordenando (2):

$\dst \left( m \ r_1 \ \alpha \right)^2 + \left( P_2 \right)^2 =(T +m \ r_2 \ \alpha)^2$

Ahora trabajamos con la (1):

$\dst \frac{(T \ r_2 - I \alpha)(T +m \ r_2 \ \alpha) - T \ r_1 \ m \ r_1 \ \alpha}{(T +m \ r_2 \ \alpha) \ r_1}= M \ r_1 \ \alpha$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Reordenando:

$\dst T^2 \ r_2 + [- I + r_2^2 \ m - r_1^2 \ m - M \ r_1^2] \ T \alpha - M \ r_1^2 \ \alpha^2 \ m \ r_2 \ - I \alpha^2 \ m \ r_2 = 0$

Teniendo en cuenta que $\dst I=r_g^2 M$ queda:

$\dst T^2 \ r_2 + [- r_g^2 M + r_2^2 \ m - r_1^2 \ m - M \ r_1^2] \ T \alpha - M \ r_1^2 \ \alpha^2 \ m \ r_2 \ - r_g^2 M \alpha^2 \ m \ r_2 = 0$

$\dst T^2 \ r_2 + [(r_2^2 - r_1^2) \ m - (r_g^2 + \ r_1^2) M] \ T \alpha - (r_1^2 + r_g^2 ) M \alpha^2 \ m \ r_2 = 0$

Reemplazando valores se tienen las siguientes ecuaciones:

$\dst 0,5 \ T^2 - 7,375 \ \alpha \ T - 55,625 \ \alpha^2 = 0$

$\dst 25 \ \alpha^2 + 40000 - (T + 10 \ \alpha)^2 = 0$

Este sistema lo resolví con Wolfram y tiene dos soluciones reales y dos soluciones imaginarias. De las dos soluciones reales solo una es congruente con la Fisica del problema y es:

$\dst \alpha = 6,70489 \ s^{-2}$

$\dst T = 135,741 \ N$

No se si realmente esta bien o me equivoque en alguna operación, realmente resulto bastante laborioso.

s.e.u.o.

Suerte !

PD: les dejo el link de Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7B0.5+y%5E2+-+7.375+x+y%2B+(+-+55.625+x%5E2+)%3D+0+,+25+x%5E2+%2B+40000+-+
(y+%2B+10+x+)%5E2+%3D+0%7D

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

He intentado despejar ambas incógnitas, la tensión T sale fácil en función de $\alpha$ ,
pero $\alpha$ en función de datos del enunciado es sumamente laboriosa algebraicamente. Un choclo de dos carillas, que se resuelve mediante un polinomio de grado 4....

la conclusión a la que llego es que ambas incógnitas quedan definidas perfectamente, en función de datos del enunciado constantes. Por lo tanto $T$ como $\alpha$ son constantes y con estos valores se ve que lo será también $\beta$

Como la aceleración en el eje x puede tomar un rango de valores, hasta alcanzar al la aceleración máxima hasta resbalar sobre el plano, dependiendo de los datos del enunciado, $\beta$tomara distintos valores pero a la vez es unico para cada aceleración.

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Breogan, rerevisando creo que falta un signo menos en la ecuación 6.
Saludos

P.D. No creo que se puedan resolver las ecuaciones algebraícamente. Resolviéndolas numéricamente (cambiando algunos signos) me ha salido:


α=5.846 rd/s², T=140.4 N, β=0.148 rd, Fr=93.7N, Nnor.μ=125.87N


y rueda, ya que la fuerza de rozamiento es inferior a Nnor.μ

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Breogan, de acuerdo con tus ecuaciones, aunque tengamos que admitir que se trata de una solución particular, adecuando las condiciones iniciales para la condición β=Cte. . En general β será variable.
Saludos

Gracias por tu comentario felmon38, pero lo que mencionas ya estaba mencionado en mensajes anteriores y teniendo en cuenta un comentario de Richard tome la decisión de solucionar el problema postulando la existencia de un $\beta$ máximo de equilibrio; dejando para otros mensajes una solución mas amplia de la dinámica del problema.

Estimado Richard leí tus comentarios, pero prefiero responderlos puntualmente después de haber resuelto el problema y así tener una mejor idea de la situación Física y su resultado.
Igual te adelanto que $F_r$ nunca puede ser mayor que $P_1 + T cos \beta$, si por algún acaso diera mayor quiere decir que a partir de cierto punto se empezó a producir resbalamiento y las ecuaciones planteadas ya no son correctas a partir de dicho punto ($F_r = \mu_c \ R_A$ constante con usualmente $\mu_c \ < \ \mu_e$).

Transcribo las ecuaciones halladas en mi ultimo mensaje:

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$

2 _ $\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$

3 _ $\dst \cancel{F_r \ r_1 - T \ r_2= I \alpha}$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1= I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$
[FONT=Verdana]
[/FONT]6 _ $\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$[FONT=Verdana]
[/FONT]
7 _ $\dst a_{x_m} = (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$

8 _ $\dst a_{y_m} = - r_2 \ cos \beta \ \alpha$

Reemplazamos las ecuaciones (6), (7), y (8), en las ecuaciones (1), (4), y (5) respectivamente y dejando temporalmente de lado (2):

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ r_1 \ \alpha$

3 _ $\dst \cancel{F_r \ r_1 - T \ r_2 = I \alpha}$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1 = I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$

5 _ $\dst \cancel{T cos \beta - P_2 = m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = - m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha$

Despejamos Fr en la (3) y reemplazamos en la (1):

1 _ $\dst \frac{ T \ r_2 - I \alpha}{r_1} - T sen \beta= M \ r_1 \ \alpha$

En la (4) y la (5) despejamos las funciones trigonometricas:

$\dst T sen \beta = m \ r_1 \ \alpha - m \ r_2 \ sen \beta \ \alpha$

$\dst (T +m \ r_2 \ \alpha) \ sen \beta= m \ r_1 \ \alpha$

4 _ $\dst sen \beta= \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}$


$\dst \cancel{T cos \beta - m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha = P_2}$

$\dst \cancel{(T - m \ r_2 \ \alpha) \ cos \beta = P_2}$

5 _ $\dst \cancel{cos \beta = \frac{P_2}{T - m \ r_2 \ \alpha}}$

$\dst T cos \beta + m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha = P_2$

$\dst (T + m \ r_2 \ \alpha) \ cos \beta = P_2$

5 _ $\dst cos \beta = \frac{P_2}{T + m \ r_2 \ \alpha}$

Reemplazando el seno de beta de la (4) en la (1), y sumando los cuadrados de la (4) y la (5) queda

1 _ $\dst \cancel{\frac{I \alpha + T \ r_2}{r_1} - T \ \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}= M \ r_1 \ \alpha}$

1 _ $\dst \frac{T \ r_2 - I \alpha}{r_1} - T \ \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}= M \ r_1 \ \alpha$

$\dst \cancel{\left( \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 + \left( \frac{P_2}{T - m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 =1}$

$\dst \left( \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 + \left( \frac{P_2}{T + m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 =1$

Dejo para que revisen lo hasta aquí echo, y si esta bien y si alguno encuentra la solución a este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas le quedaría infinitamente agradecido, aunque me parece que se complica un poco para ser un problema de secundaria.

Aprovechando el mensaje de felmon38 les dejo un dibujo que estaba preparando para el caso de beta variable:

Gracias.

s.e.u.o.

Suerte !

PD: edite el mensaje porque me había equivocado en un signo cuando reemplace la aceleración lineal de m en el eje y en la formula 5.

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Observo que hay tres situaciones teóricas pasado cualquier transitorio de tiempo

1) $F_r>\mu_e (Mg+T_y) =\mu_e (Mg+T\cos \beta)$

condición de rodadura cuyo máximo se tiene cuando $\beta =0$

es decir cuando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

estoy de acuerdo que $\beta$ sera constante (si el cable es ideal) y que las aceleraciones horizontales de los dos cuerpos no pueden ser iguales , ya que largo del cable ira alargándose por lo tanto

abra una diferencia de aceleraciones igual $\alpha R_{ext}\sin \beta$ que es variable si $a_x\neq a_y$

entonces mientras la fuerza que aplica el movimiento de descenso calculada en base a la aplicación de los momentos $F_a=\dfrac{MR_g^2\alpha+R_{ext}T<br /> }{r_T}<br />$

entonces mientras [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que creo que es donde se centra el problema

luego

2) la condicion ideal hubiese querido plantear yo $F_r=F_a=\mu_e (Mg+T_y)$ con la corrección de Broegan sobre las aceleraciones aplicando similar criterio


3) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

la condición de rozamiento dinámico también hallara un equilibrio con otro $\beta$ que tambien es variable si $a_x\neq a_y$


para extraer conclusiones ...como sería entonces si $\beta$ no es constante y las aceleraciones no son iguales... pues ya me he mareado y no sabría como plantear el caso osea son esa las ecuaciones ni una mas ni una menos

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Breogan, de acuerdo con tus ecuaciones, aunque tengamos que admitir que se trata de una solución particular, adecuando las condiciones iniciales para la condición β=Cte. . En general β será variable.
Saludos

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Primero gracias por responder Richard.

.......pero básicamente las formulas son las mismas ................

Aunque en una 1º mirada nuestras ecuaciones pueden parecer iguales, tienen algunas diferencias.
Por lo pronto en tus ecuaciones se mantiene la igualdad entre las aceleraciones lineales de la masas M y m, mientras que en mis ecuaciones se suponen distintas; y vos asumís que la fuerza de rozamiento es $\dst F_r = \mu \ N$ siendo tu incógnita la reacción N y yo digo que $\dst F_r \leqslant \mu \ N$ asumiendo que tanto Fr y N son dos incógnitas independientes.

Ahora voy a plantear las ecuaciones que definen los vínculos, condición de rodadura sin deslizamiento y cinemática de la cuerda.

RODADURA SIN DESLIZAMIENTO

$$\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$$

CINEMATICA DE LA CUERDA

La aceleración de cualquier punto de la cuerda, respecto del punto en que la cuerda se despega del cilindro, esta dado por el ritmo en que se modifica la variación de la longitud de esta:

$\dst a_C = r_2 \ \alpha$

en la dirección de la cuerda, por lo cual la podemos descomponer según los ejes x e y:

$\dst a_{x_C} = a_C \ sen \beta$

$\dst a_{y_C} = a_C \ cos \beta$

y si ahora la referimos a un SR fijo al piso nos quedan dos ecuaciones que nos dan las aceleraciones de la masa m:

$\dst a_{x_m} = a_{x_{CGM}} - a_C \ sen \beta$

$\dst a_{x_m} = r_1 \ \alpha - r_2 \ \alpha \ sen \beta$

$$\dst a_{x_m} = (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$$

$$\dst a_{y_m} = - r_2 \ cos \beta \ \alpha$$

Con estas ecuaciones se completan las ocho ecuaciones con ocho incógnitas, transcribo:

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$

2 _ $\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1 = I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$
[FONT=Verdana]
[/FONT]6 _ $\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$[FONT=Verdana]
[/FONT]
7 _ $\dst a_{x_m} = (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$

8 _ $\dst a_{y_m} = - r_2 \ cos \beta \ \alpha$

Como las hago directamente en el editor, publico y después las reviso y edito.
Se aceptan criticas e ideas.
Si estas ecuaciones están bien en otro mensaje continuamos y despejamos las incognitas.

s.e.u.o.

Suerte !

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Hola Broegan

He hecho un corrección pues no tome el momento que impulsa a la rueda hacia delante por rozamiento...

pero básicamente las formulas son las mismas


pues $T_x=|T|\sin \beta=T\sin \beta$ es una forma diferente de presentar las incognitas.

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Me he pensado lo de la aceleración horizontal ...si no es fija entonces lo que sera fijo es es ángulo de descenso de la cuerda...de momento no lo tengo claro ...que opinan

El angulo de la cuerda respecto de la vertical $\beta$ depende del tiempo, solo hace falta imaginarse que cuando comienza el movimiento este angulo es nulo y empieza a crecer con el tiempo.
Sin embargo podemos deducir o intuir que pasado el tiempo suficiente este angulo alcanzara un valor máximo, no se intuir si dicho valor es alcanzable o es un limite asintotico. Peor es que no puedo aseverar que a partir de alcanzar dicho valor, $\beta$ permanezca sea constante ; por lo cual para mi se debe plantear la solución matemática para resolver estas dudas.

Voy a tratar de plantear parte de las ecuaciones a partir del diagrama de cuerpo libre.
Lo 1º a tener en cuenta es que dado que la cuerda no tiene masa resulta que:

$\dst T_1 =T_2 =T$

BALANCES EN LA MASA M

EJE x

$$\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$$

EJE y

$$\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$$

MOMENTOS

$$\dst F_r \ r_1 - T \ r_2 = I \alpha$$

BALANCES EN LA MASA m

EJE x

$$\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$$

EJE y

$$\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$$

MOMENTOS

Como m se considera una masa puntual no hay balances de momentos respecto del CG de este

Las incógnitas son un total de ocho: $\dst F_r ; \ T ; \ \beta ; \ a_{x_{CGM}} ; \ R_A ; \ \alpha ; \ a_{xm} ; \ a_{ym}$, y tenemos cinco ecuaciones.
Ahora hay que plantear las ecuaciones de vinculo considerando que no hay deslizamiento.

s.e.u.o.

Suerte

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Me he pensado lo de la aceleración horizontal ...si no es fija entonces lo que sera fijo es es ángulo de descenso de la cuerda...de momento no lo tengo claro ...que opinan

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Este es un problema muy lindo para realizarlo con el menor numero de suposiciones posibles, entre ellas creo que suponer que ambas masas están sometidas a la misma aceleración en el eje x es un error, ya que a priori me parece que esta va a depender de los valores de la masa m, el momento de inercia total, y de los radios del cuerpo.

No tengo mucho tiempo, así que dejo los diagramas de cuerpo libre para que los revisen, y corrijan los errores, y mañana la seguimos:

Algunas aclaraciones al dibujo y su Física:

$\dst R_A$ reacción del piso en el punto A

$\dst F_r \ \leqslant \ \mu \ R_A$ Fuerza de rozamiento para que no haya deslizamiento

$\dst T_1 = T_2$ Porque la cuerda no tiene masa

$\dst \beta$ Angulo de la cuerda con la vertical

En principio hay que reducir las fuerzas al CG de cada cuerpo, y también establecer una ecuación de vinculo entre el angulo rotado por el cuerpo de masa M y el desplazamiento del cuerpo de masa m.

También podría ser interesante ver si es posible resolverlo por energías.
Por ahora nada mas.

s.e.u.o.

Suerte !

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Creo que las ecuaciones necesarias son estas

sobre la masa m

$$\dst \sum F_x=T_x=ma_x$$

$$\dst \sum F_y=-T_y+m g=ma_y$$

sobre el disco M

$$\dst \sum F_x=\mu N -T_x=Ma_x$$

$$\dst \sum F_y=Mg+T_y-N=0$$

equilibrio de momentos

$$\cancel{\dst \sum M=T\times R_{ext}=I\alpha= MR_g^2\alpha}$$

$$\dst \sum M=T\times R_{ext}-\mu N r_T=I\alpha= MR_g^2\alpha$$

con

$$|T|=\sqrt{T_x^2+T_y^2}$$

$$\alpha=\dfrac{a_x}{r_T}$$

donde
$R_g=$radio de giro=0.4m
$r_T=$radio de tambor=0.25m
$R_{ext}=$radio del disco=0.5m

por ahí van los tiros creo ...7 ecuaciones y 7 incognitas así que hay solución

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

ℝ³, creo que el enunciado da como dato el I del disco respecto de su centro: M.0,4²
Saludos