1r ciclo Dinámica de Rotación II

[The Higgs Particle]

Una masa $m$ resbala por un casquete esférico de radio $R$. ¿Cuál es la velocidad $\omega$ de la masa cuando se desprende del casquete?

Si $\theta$ es el ángulo que forma la masa con respecto a la posición a la que se encontraba inicialmente, tenemos:

$mg \cos(\theta) - N = \dst m \frac{v_t^2}{R}$


$mg \sin(\theta) = m a_{\tau}$

Cuando se desprende del casquete, $N=0$, por lo que:

$R g \cos(\theta) = v_{t}^2$

Donde esta $v_t$ representa la velocidad de traslación.

Por conservación de la energía:

$E_m(0)=E_m(f) \to mgR = mgR \cos(\theta) + \dst \frac{1}{2}mv_t^2 + \frac{1}{2}I \omega^2$ (1)

donde $I=\dst \frac{2}{5}mr^2$

Pero no tengo muy claro cómo seguir, porque en (1) tengo dos incógnitas: el ángulo y omega.


¿Tendría que hacer esto? Porque no tendría muy claro cómo poner los límites de integración ni cómo integrar la fuerza normal

$\tau_{ext}=I \alpha = I \dst \frac{\dd \omega}{\dd \theta} \cdot \frac{\dd \theta}{\dd t} = I \omega \frac{\dd \omega}{\dd \theta}$


$\tau_{ext} = R (mg \cos(theta) - N)$

Por lo que:

$R(mg \cos(\theta) - N) = I \omega \frac{\dd \omega}{\dd \theta}$

[felmon38]

Re: Dinámica de Rotación II

1º Creo que falta algún dato.
2⁰ La expresión de la energía cinética que pones es la de un sólido rígido en donde I es respecto de su centro de masas. Como se trata de un punto material será cero.
Saludos

[Alriga]

Re: Dinámica de Rotación II

Hola THP, échale un vistazo a este hilo, a ver si te es útil:

Objeto que cae sobre una semiesfera

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación II

$R g \cos(\theta) = v_{t}^2$

Donde esta $v_t$ representa la velocidad de traslación.

Por conservación de la energía:

$E_m(0)=E_m(f) \to mgR = mgR \cos(\theta) + \dst \frac{1}{2}mv_t^2 + \frac{1}{2}I \omega^2$ (1)

la ecuacion 1 la adaptaría a lo que felmon38 te aclara sobre que el momento de inercia de una masa puntual es nulo, en ningún lado se enuncia que es una esfera que desciende rodando, o un disco o cilindro ...

$E_m(0)=E_m(f) \to mgR = mgR \cos(\theta) + \dst \frac{1}{2}mv_t^2 = mgR \cos(\theta) + \dst \frac{1}{2}m\omega^2 R^2$ (1)

luego

$mgR (1-\cos(\theta))= \dfrac{1}{2}m\omega^2 R^2$


$\omega=\sqrt{\dfrac{2mgR (1-\cos(\theta))}{mR^2}}=\sqrt{\dfrac{2g (1-\cos(\theta))}{R}}$


donde $\theta$ sale de reemplazar el resultado de la ecuacion 1 , tal como se resolvio el problema que te paso alriga

$R g \cos(\theta) = v_{t}^2= 2gR (1-\cos(\theta))$


$\cos(\theta) = 2 (1-\cos(\theta))$

$\cos(\theta) = 2 -2\cos(\theta))$

$\cos(\theta)=\dfrac 23$

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación II

Pero en el ejercicio no la tratan como a una partícula puntual, sino que ponen que tiene radio $r$ y un momento de inercia $I = \frac{2}{5}Mr^2$

[felmon38]

Re: Dinámica de Rotación II

¡Pero bueno! Eso se dice THP.
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación II

¡Pero bueno! Eso se dice THP

Perdón, lo incluí en el desarrollo pero no en el enunciado. Mea culpa


En cualquier caso, no tengo muy claro cómo manejar la energía de rotación. La bola cae desde la misma altura (mismo ángulo) que si no estuviera rotando, ¿no?

[felmon38]

Re: Dinámica de Rotación II

Haz el favor de poner el enunciado completo del problema.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación II

Perdón, lo incluí en el desarrollo pero no en el enunciado. Mea culpa

Bueno si el enunciado no esta completo puedes analizar estas opciones ....

Una esfera de masa y radio r resbala rueda por sobre un casquete esférico de radio . ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando se desprende del casquete?

y habria que preguntarse por si $\omega$ es la de rotación de la esfera pequeña [caso A] ($\omega_m$)o es la velocidad angular del centro de masa de la esfera con respecto al casquete esférico [caso B.]($\omega_e$)


si rueda sin deslizar

$$v=\omega_e r=\omega_m R$$

la ecuacion 1 te queda

$$mgR=mg\cos \theta+\frac 12 m v^2+\frac 12 \frac 25 m r^2\omega_m^2+\cancel{mR^2\omega_e^2}$$

analicemos la diferencias,
las energías potenciales no cambian,
la energía cinetica del centro de masas tampoco
agregamos la energía cinetica de rotación de la esfera pequeña sobre su eje
y luego agregamos la energía cinetica de rotación del la esfera sobre la esfera mayor por Steiner( esto no se había hecho en el caso anterior , pero ahora si si estamos hilando muy fino)

de esta formula puedes despejar $\omega$ reemplazando las equivalencias de la formula de "rodadura"

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Y si supones que la esfera desliza sin girar por sobre la otra la ecuación 1 se transforma en

$$mgR=mg\cos \theta+\frac 12 m v^2+mR^2\omega_e^2$$

el ultimo termino surge de considerar la masa no puntual , y también de allí se puede despejar $\omega$y $\theta$

no habría energía de rotación de la esfera sobre si misma ya que desliza.


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Muy diferente seria considerar este enunciado

Una masa y resbala[/STRIKE] y arrastra consigo al casquete esférico de radio sobre el que esa apoyada y lo hace girar. ¿Cuál es la velocidad del casquete de la masa cuando se desprende del casquete?

al estilo del problema http://forum.lawebdefisica.com/threa...-Rotaci%C3%B3n

aqui $v=\alpha R t =\omega R$

con la masa como puntual y suponiendo una masa M al casquete

entonces 1 quedaría

$$mgR=mg\cos \theta+\frac 12 m v^2+\frac 12 \frac 25 M R^2\omega^2+mR^2\omega^2$$

donde aplico steiner a la masa puntual para ser mas puntilloso

como ves para incluir el momento de inercia de la esfera debes suponer que una, otra o ambas giran, para que sea el casquete te deben proporcionar la Masa M que no ha sido mencionada en el enunciado...

En cualquier caso, no tengo muy claro cómo manejar la energía de rotación. La bola cae desde la misma altura (mismo ángulo) que si no estuviera rotando, ¿no?

Observa que el angulo sale cuando igualas la velocidad en la formula de la aceleración centripeta con la que surge del balance de energías si el balance cambia por el agregado de momentos de inercia entonces el angulo será distinto

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación II

Jo, Richard, muchísimas gracias por molestarte tanto.
Es el primer caso que has puesto, en el que resbala mientras va rotando sobre su eje. Lo que no entiendo es por qué has incluido el término $mR^2 \omega^2_e$. No va la velocidad respecto al casquete ya incluida en el $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m (\omega R)^2$?

[Richard R Richard]

Re: Dinámica de Rotación II

Me tome un rato para terminar de convencerme. Y Tienes razón THP la masa m no es solidaria al eje de rotación del casquete entonces ese termino esta demás, solo se usaría entonces con la masa m incluida como parte de un sólido rígido junto al casquete.

$$mgR=mg\cos \theta+\frac 12 m v^2+\frac 12 \frac 25 m r^2\omega_m^2$$

$$mgR(1-\cos \theta)=\frac 12 m v^2+\frac 12 \frac 25 m v^2$$

$$<br /> \cos\theta=\dfrac{(1-\cos \theta)}{\frac 12 +\frac 12 \frac 25}$$

$$\boxed{\cos\theta=\dfrac 58}$$

Si no me equivoco .

[The Higgs Particle]

Re: Dinámica de Rotación II

Muchísimas gracias, Richard. Qué lástima que sólo pueda pulsar el botón de "Gracias" una vez!!
Un saludo