2o ciclo Oscilador bidimensional

[Enrique Ortiz Martinez]

Una partícula tiene la libertad de moverse en el plano xy bajo la acción de una fuerza dirigida hacia el origen de magnitud -C ($x$$\hat{x}$+$y$$\hat{y}$)= - Cr. Llamando M a la masa, determinar las ecuaciones x e y del movimiento y resolverlas.

a)¿Cuales son las condiciones para el movimiento en un circulo y cual es el periodo?

b)¿Cuales son las condiciones para el movimiento a lo largo de la linea de 45° con el eje x y cual es el periodo?

Disculpen, a que se refiere con la magnitud en el origen -C ($x$$\hat{x}$+$y$$\hat{y}$)= - Cr

[Richard R Richard]

Re: Oscilador bidimensional

lo que te dicen es que la fuerza depende del valor de la posición y esta relacionada por medio de una constante de valor negativo

esto es

si fuerza es masa por aceleración y aceleración es la segunda derivada de la posición

sobre el eje x tienes $F_x=Ma_x=M\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-Cx$

sobre el eje y tienes $F_y=Ma_y=M\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-Cy$

y vectorialmente

$\vec F=M\vec{a}=M\frac{\partial^2 \vec X}{\partial t^2}=-C\vec X$

escrito en polares $r=\sqrt{x^2+y^2}$

$F=Ma_r=-C r$

todo esto apunta a que resuelvas las ecuaciones diferenciales de segundo grado que dan soluciones sinusoidales

$x=r\sin(\omega t+\phi)$

$y=r\cos(\omega t+\phi)$

con

$\omega =\sqrt{\dfrac CM}\quad \to\quad C=M\omega^2$

la velocidad vendria dada por sus derivadas temporales

$V_x=r\omega\cos(\omega t+\phi)$


$V_y=-r\omega\sin(\omega t+\phi)$

y la aceleración

$a_x=-r\omega^2\sin(\omega t+\phi)$

$a_y=-r\omega^2\cos(\omega t+\phi)$

A) para que se de un circulo debes definir una posición inicial en $t=0$ suponemos $\phi=0$
implica que

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B) para este tipo de movimiento debe partir de alguna posición sobre la recta $y=x$ en $t =0$ por lo que $\phi=45\°$

también la velocidad y la aceleración serán iguales al satisfacer la ecuación $y=x$ si la velocidad es nula caerá directamente hacia el centro siguiendo la recta dicha.


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donde $\sin 45\°=\frac{\sqrt 2}{2}$