1r ciclo Pendulo matematico

[Guerrero Sierra Paulina]

Un péndulo matemático de 24.7 cm de longitud realiza oscilaciones amortiguadas.

¿Cuánto tiempo tardara la energía de las oscilaciones de este péndulo en disminuir 9.4 veces?

Resolver este problema para el caso en que el decremento logarítmico de amortiguación tiene los valores siguientes:

a) $\lambda =$$0.01$

b) $\lambda =$$1$

[Alriga]

Re: Pendulo matematico

Hola Paulina, bienvenida a La web de Física. Como miembro reciente, por favor, échale un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El período que tendría el péndulo si no estuviese amortiguado:

$T_0=2 \pi \sqrt{\dfrac l g}=2 \pi \sqrt{\dfrac{0.247}{9.81}}=0.997 \ s$

$\omega_0=\dfrac{2 \pi}{T_0}=6.3021 \ s^{-1}$

Para el péndulo amortiguado se cumple:

$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\dfrac{1}{\tau^2}}$

Por definición de decremento logarítmico de amortiguación $\lambda$, su relación con la constante de tiempo $\tau$, es:

$\tau=\dfrac{T}{\lambda}$

Sustituyendo:

$\dfrac{2 \pi}{T}=\sqrt{\omega_0^2-\dfrac{\lambda^2}{T^2}}$

Si no me equivoco despejando el período T:

$T=\dfrac{\sqrt{4 \pi^2+ \lambda^2}}{\omega_0}$

La amplitud:

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La energía es proporcional al cuadrado de la amplitud:

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$\dfrac{E}{E_0} = exp \left (- \dfrac{2 \ \lambda \ t}{T} \right )$

$\dfrac{E}{E_0}=\exp \left ( \dfrac{- 2 \lambda \ \omega_0 \ t}{\sqrt{4 \pi^2 + \lambda^2}} \right )$

Despejando el tiempo:

$t=- \dfrac 1{ 2 \lambda \ \omega_0} \sqrt{4 \pi^2 + \lambda^2} \ \ln{\dfrac{E}{E_0}}$


a)

$\omega_0=6.3021 \ s^{-1}$

$\dfrac{E}{E_0}=\dfrac{1}{9.4}$

$\lambda=0.1$

$t=11.17 \ s$


b)

$\omega_0=6.3021 \ s^{-1}$

$\dfrac{E}{E_0}=\dfrac{1}{9.4}$

$\lambda=1$

$t=1.13 \ s$

Saludos