Otras carreras Movimiento angular

[HGDANSRB]

En la figura el ángulo $\dst\theta$ mide la dirección del vector unitario e respecto al eje $\textit{x}$. El ángulo $\theta$ está dado como una función del tiempo por $\dst\theta = 2t^{2} \ rad$. ¿Cuál es el vector $\dst\frac{\mathrm{d\textbf{e}} }{\mathrm{dt} }$ en $t = 4$ s?

Por definición:

$\dst\frac{\mathrm{d\textbf{e}} }{\mathrm{dt}} = \bigg(\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }\bigg)\textbf{n}$


$\dst\textbf{n} = \cos\bigg(\theta + \frac{\pi}{2}\bigg)\textbf{i} + \sin\bigg(\theta + \frac{\pi}{2}\bigg)\textbf{j}$


$\dst\bigg[\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }\bigg]_{t = 4} = \bigg[4t\bigg]_{t = 4} = 16 \ rad/s$


El ángulo $\theta$ se calcula de la siguiente manera:

$\dst\theta = [mod(2t^{2},2\pi)]_{t = 4} = mod(32,2\pi) = 0.5841 \ rad.$


$mod(x,y) \ \ \ (1)$

Con la ecuación $(1)$ se calcula el resto de la división de $x$ entre $y$.

A partir del resultado obtenido para $\theta$, obtenemos lo siguiente:

$\dst\bigg[\frac{\mathrm{d\textbf{e}} }{\mathrm{dt} }\bigg]_{t = 4} = 16\bigg[\cos\bigg(0.5841 + \frac{\pi}{2}\bigg)\textbf{i} + \sin\bigg(0.5841 + \frac{\pi}{2}\bigg)\textbf{j}\bigg] = -8.823\textbf{i} + 13.35\textbf{j} \ \ \ (2)$

El resultado de $(2)$ es la respuesta al problema formulado, aquí esta el porque de la creación de este hilo, me surge la duda de porque utilizar la ecuación $(1)$, es decir el módulo, para calcular el ángulo $\dst\theta$, ya que esta solución la encontré por la red y no logro entender el porque hacerlo de esta manera. Resolví este problema considerando a $\dst\theta = 2t^{2}$ no como radianes si no como grados sexagesimales, aunque el problema explícitamente mencione que son radianes, para calcular $\dst[\theta]_{t = 4}$ y para $\dst\bigg[\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }\bigg]_{t = 4}$ lo considere en radianes, es decir, que el resultado sigue siendo $16 \ rad/s$, para $\dst\theta$ hice lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Este resultado lo convertí a radianes y obtuve:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Este valor lo utilice para calcular $\dst\bigg[\frac{\mathrm{d\textbf{e}} }{\mathrm{dt} }\bigg]_{t = 4}$ y obtuve los siguiente:

$\dst\bigg[\frac{\mathrm{d\textbf{e}} }{\mathrm{dt} }\bigg]_{t = 4} = 16\bigg[\cos\bigg(0.5585 + \frac{\pi}{2}\bigg)\textbf{i} + \sin\bigg(0.5585 + \frac{\pi}{2}\bigg)\textbf{j}\bigg] = -8.4787\textbf{i} + 13.569\textbf{j} \ \ \ (3)$

Si comparamos el resultado de $(2)$ y $(3)$ el resultado es muy parecido, el resultado de $(3)$ lo obtuve antes de conocer el resultado correcto que es el $(2)$ ya que este problema esta en el libro Mecánica para ingeniería Dinámica quinta edición de Bedford y Fowler en la página 66 y la respuesta esta al final del libro, de la manera como lo hice fue como me acerque al valor correcto, convenciéndome de que era correcto mi desarrollo ya que de ninguna otra manera logré acercarme al resultado, pero al encontrar la solución, es evidente que mi desarrollo es incorrecto y sobre todo por que estoy tomando por un lado radianes y por otro lado grados sexagesimales, si alguien por aquí me podría explicar el porque de usar la ecuación $(1)$, ya trate de razonarlo pero no lo comprendo, se lo agradecería.

Tal vez sea mucho texto para esta duda pero trate de explicarme lo más que pude, es mi primera vez por aquí, solo quise ser claro.

[Alriga]

Re: Movimiento angular

Hola, bienvenido a La web de Física. Como nuevo miembro, lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Yo lo veo así:

$\bold e=1 \angle \theta$

$\bold e=\cos \theta \ \bold i + \sin \theta \ \bold j$

$\bold e=\cos 2t^2 \ \bold i + \sin 2t^2 \ \bold j$

$\dfrac{d \bold e}{dt}=-4 t \sin 2t^2 \ \bold i + 4 t \cos 2t^2 \ \bold j$

$\dfrac{d \bold e}{dt} (4)=-16 \sin 32 \ \bold i + 16 \cos 32 \ \bold j=-8.8228 \ \bold i + 13.3476 \ \bold j$

... me surge la duda de porque utilizar ... el módulo, para calcular el ángulo $\dst\theta$, ya que esta solución la encontré por la red y no logro entender el porque hacerlo de esta manera ...

32 radianes son varias vueltas completas y “un trozo” de vuelta. Para conocer ese “trozo” de vuelta es por lo que buscan 32 módulo $2 \pi$

$32 \ \cancel{rad} \times 1 \ vuelta/(2 \pi \ \cancel{rad})=5.09296 \ vueltas=5 \ vueltas + 0.09296 \ vueltas$

$0.09296 \ \cancel{vueltas} \times 2 \pi \ rad/ \cancel{vuelta}=0.5841 \ rad$

$32 \ rad \equiv 0.5841 \ rad$

Es decir que:

$\sin 32 = \sin 0.5841$

$\cos 32 = \cos 0.5841$

Pero todo esto parece una pérdida de tiempo, pues las calculadoras actuales dan directamente el seno y el coseno de 32. (No como cuando yo estudiaba, que no había calculadoras y había que buscarlos en tablas y entonces sí que había que restar vueltas completas antes de ir a las tablas ...)

Saludos.

[HGDANSRB]

Re: Movimiento angular

Cómo no se me ocurrió descomponer el vector $\dst\textbf{e}$ en sus componentes rectangulares y después sustituir $\dst\theta$ en ellas para posteriormente derivarlo y evaluar en $\dst t = 4$, ahora que lo veo esta demasiado simple, y a lo de utilizar el módulo, ahora comprendo por que usarlo, con lo de las vueltas se entiende bastante bien, si doy, por ejemplo, 5 vueltas y media es evidente que la posición del vector sera la misma a que si solo diera media vuelta, da lo mismo si considero las 5 vueltas y media a si solo considero media vuelta, que es precisamente lo que se hace en este problema, se toma solo el residuo, es decir la fracción de vuelta después de pasar por el origen o la referencia, que en este caso es el eje $\dst x$.

Muchas gracias por resolver mi duda, van a ser las 5 de la mañana y no dormía por eso, creo que ya podré dormir tranquilo, ya que la duda esta resuelta y no me gusta quedarme con dudas, gracias de nuevo.

En cuanto a lo de las tablas creo que deberíamos usarlas nuevamente en las escuelas, las calculadoras nos hacen no pensar, cuando se hace manual se comprenden mejor las cosas.

[Alriga]

Re: Movimiento angular

Encantado, buenas noches y felices sueños, saludos.