Otras carreras Movimiento Curvilineo en Polares

[iaanmartinez]

Hola, el problema dice así "El brazo ranurado gira(pivota) en O y gira en sentido contrario a las agujas del reloj con velocidad angular (w) constante, entorno a la leva circular, la misma está fija y el centro montado excentricamente, determinar módulo de la velocidad y módulo de la aceleración del vástago a en pi/2 y pi"

Bueno, les dejo una imágen de la situación, están las respuestas incluidas.
Les cuento mi problema en partícular, es que no puedo o no logro mejor dicho hallar una función r(theta) tal que cumpla el movimiento de A (la particula en el vástago), porque una vez que tenga esa función el problema está practicamente solucionado, es aplicar calculo diferencial y listo.
Agradezco cualquier aporte, saludos!

Actualizado:
Me di cuenta que para cuando pide la celeridad a 90° ocurre que trazando una recta desde O hasta la circunferencia (vertical) formamos un triangulo rectangulo, el cual tiene de catetos "e" que es constate, "b" que es constante y r, que varía con el ángulo. Bueno a partir de esto sé que para 90° $r=\sqrt{{b}^{2}-{e}^{2}}$ . Luego utilizo este r en la ecuación de velocidad:

$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\times\hat{{e}_{r}}+r\times\frac{d\theta}{dt }\times\hat{{e}_{\theta}}$, reemplazando r y sabiendo que la velocidad angular es cte se tiene:
$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d({b}^{2}-{e}^{2})}{dt}\times\hat{{e}_{r}}+\sqrt{{b}^{2}-{e}^{2}}\times\\omega\times\hat{{e}_{\theta}}$

A partir de ahí no puedo seguir. No entiendo como derivar $r={b}^{2}-{e}^{2}$ respecto de t.

[felmon38]

Re: Movimiento Curvilineo en Polares

¿Puedes aclarar lo de la partícula en el vástago?
Saludos

[Alriga]

Re: Movimiento Curvilineo en Polares

$\bold r=x \ \bold i+ y \ \bold j$

$x=r \cos \theta$

$y=r \sin \theta$

Y la condición a cumplir es que el extremo del vector r ha de estar sobre la circunferencia de radio b:

$(r \cos \theta -e)^2+(r \sin \theta)^2=b^2$

Operando, si no me equivoco:

$r^2-2re \cos \theta +e^2-b^2=0$

Resolviendo la ecuación de 2º grado:

$r=e \cos \theta \pm \sqrt{e^2\cos^2 \theta-(e^2-b^2)}$

Sustituyendo para $\theta=0$ o/y para $\theta=\pi$ se ve que el signo del +/- debe ser el positivo, luego:

$$\boxed{r(\theta)=e \cos \theta + \sqrt{b^2-e^2 \sin^2 \theta}}$$

$\theta=\omega \ t$

$$\boxed{r(t)=e \cos \omega t + \sqrt{b^2-e^2 \sin^2 \omega t}}$$

Si se necesitan las coordenadas rectangulares, en función de $\theta$ éstas son:

$x=(e \cos \theta + \sqrt{b^2-e^2 \sin^2 \theta} \ ) \cos \theta$

$y=(e \cos \theta + \sqrt{b^2-e^2 \sin^2 \theta} \ ) \sin \theta$

Supongo que a partir de aquí ya no tendrás problemas para acabar el ejercicio, saludos.

[iaanmartinez]

Re: Movimiento Curvilineo en Polares

¿Puedes aclarar lo de la partícula en el vástago?
Saludos

felmon38,digamos, para que lo entiendas te pongo otro ejemplo, el vástago vendría a ser como un cilindro hidraulico que se mueve sobre la curva dada cambiando la longitud del cilindro. No se si me explico. Saludos y gracias

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Supongo que a partir de aquí ya no tendrás problemas para acabar el ejercicio, saludos.

Si!! Te dió igual que a mi Alriga, te cuento como pude hacerlo yo: Plantie un esquema de la situación y utilice el teorema del coseno para sacar r en función de theta,b, y e.
Se llega a lo mismo, pero tu razonamiento creo es mucho más fácil, relacionaste los dos triángulos rectángulos y sale.

Por otro lado, me di cuenta que expresar r(theta) no tiene mucho sentido ya que a la hora de hacer la segunda derivada se torna todo muy complicado (desde el punto de vista algebraico, claro). Por lo tanto preferí expresar r implicitamente y derivar, aplicando la regla de la cadena y sabiendo cuales son las componentes de la velocidad y la aceleración en polares, evaluar el ángulo (o mejor dicho, los ángulos) y despejar cada componente, con el valor de cada componente luego efectuamos el módulo y listo. Se llega a la respuesta.

Agradezco tu tiempo! Un saludo y que tengas un buen día.