Otras carreras Choque inelástico de satélites

[Xaora]

Hola!
Quería resolver el siguiente problema:
Tenemos dos satélites de diferente masa. Uno de ellos tiene una distancia en el apogeo de 70000 km y en el perigeo de 30000 km. El otro 100000 en el apogeo y 30000 en el perigeo. Si los dos chocan en el perigeo, choque inelástico, ¿cuál es la relación de masas de los dos satélites?
Gracias de antemano por la ayuda.

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico de satélites

hola Xoara confieso que me ha costado , solo porque me equivocaba en una formula pero se llega de un modo sencillo a la respuesta

Sabemos que en las orbitas elipticas la energia mecnica se conserva,
por otro lado que la velocidad radial tanto en el perigeo como el apogeo es nula

llamemos 1 al objeto con apogeo de 70000 km

por lo que la energía mecánica en el perigeo de este objeto puede escribirse como

$$Em_1=\dfrac{L_1^2}{2m_1r_{p1}^2}-\dfrac{GMm_1}{r_{p1}}$$

del mismo modo en el apogeo

$$Em_1=\dfrac{L_1^2}{2m_1r_{a1}^2}-\dfrac{GMm_1}{r_{a1}}$$

igualando las energías

podemos despejar el momento angular

$$L_1^2=GMm_1\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}$$

del mismo modo para el objeto 2

$$L_2^2=GMm_1\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}$$

sabemos que

$$<br /> L=mrv\sin\theta$$

como en el perigeo como en el apogeo el seno del angulo es 1

$$L_1=m_1r_{a1}v_{a1}=m_1r_{p1}v_{p1}$$

$$L_2=m_2r_{a2}v_{a2}=m_2r_{p2}v_{p2}$$

además sabemos que la fuerza centrípeta será igual a la aceleración de la gravedad

$$Fc_{1a}=m_1\dfrac{v_{p1}^2}{r_{p1}}=\dfrac{GMm_1}{r_{p1}^2}$$

$$Fc_{2a}=m_2\dfrac{v_{p2}^2}{r_{p2}}=\dfrac{GMm_2}{r_{p2}^2}$$

de estas formulas

$$v_{p1}^2=\dfrac{GM}{r_{p1}}$$

$$v_{p2}^2=\dfrac{GM}{r_{p2}}$$

si hacemos la relación podemos ir reemplazando formulas sabiendo que los perigeos son iguales $r_{p}=r_{p1}=r_{p2}$ se pueden simplificar

$$\dfrac{L_1^2}{L_2^2}=\dfrac{m_1^2\cancel{r_{p1}^2}v_{p1}^2}{m_2^2\cancel{r_{p2}^2}v_{p2}^2 }=\dfrac{\cancel{GM}m_1\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}}{\cancel{GM}m_2\dfrac{r_{a2}r_{p2}}{r_{a2}+r_{p2}}}$$

realizando los reemplazos de las ecuaciones 10 y 11

$$\dfrac{L_1^2}{L_2^2}=\dfrac{m_1\cancel{^2}}{m_2\cancel{^2}}=\dfrac{\cancel{m_1}\dfrac{r_{a1}\cancel{r_{p1}}}{r_{a1}+r_{p1}}}{\cancel{m_2}\dfrac{r_{a2}\cancel{r_{p2}}}{r_{a2}+r_{p2}}}$$

quedando

$$\boxed{\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}\left[\dfrac{r_{a2}+r_{p}}{r_{a1}+r_{p}}\right]}$$

$$\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{70000}{100000}\left[\dfrac{100000+30000}{70000+30000}\right]=\dfrac{7}{10}\dfrac{13}{10}=\boxed{\dfrac{91}{100}}$$

[arivasm]

Re: Choque inelástico de satélites

además sabemos que la fuerza centrípeta será igual a la aceleración de la gravedad

Evidentemente aquí hay un pequeño error y que debería ser "fuerza centrípeta será igual a la fuerza gravitacional" o "la aceleración centrípeta será igual a la gravedad".

De todos modos, mi objeción es otra: es verdad que la aceleración centrípeta es igual a la gravedad. Lo que ya no es cierto es que el centro de curvatura sea el centro del planeta, de modo que, entiendo, no es verdad que $g=\frac{v^2}{r}$, con $r$ la distancia al centro del planeta (sería cierto si $r$ es el radio de curvatura).

La verdad es que me extraña mucho, pero que mucho, mucho, el enunciado del problema. Cuando lo ví lo primero que pensé es que la misma órbita la puede seguir un humilde tornillo que un objeto de varias toneladas (digamos que "Galileo dixit"). En consecuencia, no encuentro razonable que con tan sólo los datos de los perigeos y apogeos pueda obtenerse la relación de masas de los satélites.

Xaora: ¿has copiado el enunciado literalmente o lo has simplificado?

[Xaora]

Re: Choque inelástico de satélites

El enunciado es literal

[Alriga]

Re: Choque inelástico de satélites

... Lo que ya no es cierto es que el centro de curvatura sea el centro del planeta, ...

En efecto, el centro de curvatura está en la dirección del vector $\vec{\bold a}_c$ del dibujo, no en dirección al foco de la elipse que está en el centro del planeta.

$$v_{p1}^2=\dfrac{GM}{r_{p1}}$$

$$v_{p2}^2=\dfrac{GM}{r_{p2}}$$

Como bien intuye arivasm, la velocidad en el perigeo $v_p$ de una órbita elíptica no cumple esa expresión, (10), (11), sino esta otra:

$v_p^2=\dfrac{GM}{r_p} \cdot \dfrac{2 \ r_a}{r_a+r_p}$

En donde $r_a$ es la distancia en el apogeo y $r_p$ la distancia en el perigeo.

La velocidad en el apogeo $v_a$ de una órbita elíptica:

$v_a^2=\dfrac{GM}{r_a} \cdot \dfrac{2 \ r_p}{r_a+r_p}$

Con estas 2 expresiones, sabiendo G y la masa M de la Tierra es posible calcular $v_{p1} \ , \ v_{a1} \ , \ v_{p2} \ , \ v_{a2}$

Los momentos angulares:

$L_1=m_1 r_p v_{p1}=m_1 r_{a1} v_{a1}$

$L_2=m_2 r_p v_{p2}=m_2 r_{a2} v_{a2}$

Después del choque el momento angular de los dos satélites "pegados", (choque perfectamente inelástico) será $L_1+L_2$

$m_1 r_p v_{p1}+m_2 r_p v_{p2}=m_1 r_{a1} v_{a1}+m_2 r_{a2} v_{a2}$

$$\dfrac{m_1}{m_2} r_p v_{p1}+r_p v_{p2}=\dfrac{m_1}{m_2} r_{a1} v_{a1}+ r_{a2} v_{a2}$$

De esta última expresión (1) es posible calcular $m_1 / m_2$ (a no ser que al ir sustituyendo resulte, que en vez de una ecuación es una identidad )

ACTUALIZADO: Confirmo que la expresión (1) es una identidad y que por lo tanto no conduce a la solución del problema. No lo elimino para evitar que otro crea que esa puede ser una vía de solución y cometa el mismo error.
Empiezo a creer, como arivasm, que el enunciado del ejercicio es un sinsentido.

Saludos.

[Xaora]

Re: Choque inelástico de satélites

Pero aunque sea un choque inelástico la cantidad de movimiento se conserva, verdad? En este caso después del choque los dos satélites se mantendrían unidos y de ahí a lo mejor se podría obtenerlo la relación de masas.

[arivasm]

Re: Choque inelástico de satélites

Habría que disponer de información acerca de las características de la órbita del cuerpo resultante. En mi opinión el que el choque sea inelástico no aporta absolutamente nada.

[IsaacDL]

Re: Choque inelástico de satélites

Para que la conservación del momento lineal te sea útil necesitas saber la velocidad final de la partícula de masa $m_{1}+m_{2}$, y esta solo la puedes obtener con información sobre la nueva órbita, esto es, conociendo por ejemplo sus parámetros $\alpha$ y $\epsilon$. La única otra posibilidad sería que ambas masas fueran iguales y entonces en el choque:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}= (m_{1}+m_{2})v_{f} \rightarrow v_{1}+v_{2}= 2v_{f}$

Y entonces, en este caso, podrías determinar los parámetros de la nueva órbita.

PD: Veo que arivasm se ha adelantado a lo escrito en mi mensaje .

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico de satélites

Hola estuve unos dias fuera y no pude contestar a tiempo

Evidentemente aquí hay un pequeño error y que debería ser "fuerza centrípeta será igual a la fuerza gravitacional" o "la aceleración centrípeta será igual a la gravedad".

oops gracias si, si tienes razon.

La verdad es que me extraña mucho, pero que mucho, mucho, el enunciado del problema. Cuando lo ví lo primero que pensé es que la misma órbita la puede seguir un humilde tornillo que un objeto de varias toneladas (digamos que "Galileo dixit"). En consecuencia, no encuentro razonable que con tan sólo los datos de los perigeos y apogeos pueda obtenerse la relación de masas de los satélites.

De acuerdo si las masas de la órbitas son indiferentes el problema no tiene solución , en realidad el parámetro que define los apogeo y perigeos no es la masa sino la velocidad. Eso es lo que me confundia al principio, y luego con la siguiente metida de pata pensé que lo habia resuelto.

Como bien intuye <strong>arivasm</strong>, la velocidad en el perigeo $v_p$ de una <a href="http://forum.lawebdefisica.com/entries/618-C%C3%A1lculo-de-la-velocidad-en-%C3%B3rbitas-el%C3%ADpticas" target="_blank"><strong>órbita elíptica</strong></a> no cumple esa expresión, (10), (11),.........
Confirmo que la expresión (1) es una identidad y que por lo tanto no conduce a la solución del problema. No lo elimino para evitar que otro crea que esa puede ser una vía de solución y cometa el mismo error.
Empiezo a creer, como arivasm, que el enunciado del ejercicio es un sinsentido.

Saludos.

Si Claro, el error fue asignar una órbita circular para obtener una centrípeta que claramente no tienen que ver con el problema, pero hasta donde lo habia pensado, se me hacia posible resolverlo, pero como bien dicen no se puede.

Habría que disponer de información acerca de las características de la órbita del cuerpo resultante. En mi opinión el que el choque sea inelástico no aporta absolutamente nada.

para mi tampoco aporta.

pero voy por otra variante que primero no supe aprovechar y es la tercer ley de kepler

$Cte=\dfrac{T^2}{S_{mayor}^3}=\dfrac{4\pi ^2}{\omega_1^2S_1^3}=\dfrac{4\pi ^2}{\omega_2^2S_2^3}$

de aca saco que

$$\dfrac{\omega_1^2 }{\omega_2^2}=\dfrac{S_2^3}{S_1^3}$$

$S_1=r_p+c_1=r_p+\dfrac{r_p+r_{a2}}{2}=80000km$


$S_2=r_p+c_2=r_p+\dfrac{r_p+r_{a2}}{2}=95000km$

volviendo a usar parte de la 12

$\dfrac{L_1^2}{L_2^2}=\dfrac{m_1\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}}{m_2\dfrac{r_{a2}r_{p2}}{r_{a2}+r_{p2}}}=\dfrac{m_1^2\cancel{r_p^2}\omega_1^2}{m_2^2\cancel{r_p^2}\omega_2^2}$


usando 16

$<br /> \dfrac{m_1\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}}{m_2\dfrac{r_{a2}r_{p2}}{r_{a2}+r_{p2}}}=\dfrac{m_1^2}{m_2^2}\dfrac{\omega_1^2}{\omega_2^2}=\dfrac{m_1^2}{m_2^2}\dfrac{S_2^3}{S_1^3}$

$\dfrac{\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}}{\dfrac{r_{a2}r_{p2}}{r_{a2}+r_{p2}}}=\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{S_2^3}{S_1^3}$

$<br /> \dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{S_1^3}{S_2^3}\dfrac{\dfrac{r_{a1}}{r_{a1}+r_{p}}}{\dfrac{r_{a2}}{r_{a2}+r_{p}}}=0.543$


será así....

[arivasm]

Re: Choque inelástico de satélites

Ten en cuenta que hablamos de órbitas elípticas.

La expresión $T=2\pi/\omega$ define algo así como una "velocidad angular equivalente". No es cierto que el momento angular sea $L=mr\omega$. Es decir, $L=2\pi mr/T$ no es vaĺida para órbitas no elípticas circulares.

Pensemos en la 3ª ley de Kepler, $\dst T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3$. Si fuese correcta el momento angular sólo dependería del semieje mayor, cuando en realidad también depende del semieje menor (mira, por ejemplo, la página 4 de este pdf: http://www.phy.duke.edu/~lee/P53/sat.pdf)

Sobre el problema se me ocurre que podría ser necesario abordar el caso en que la masa de los satélites no sean despreciables frente a la del cuerpo central. Claro que entonces, siendo rigurosos, estaríamos ante un problema de tres cuerpos, con lo que tampoco cabría hablar de órbitas estables.

[Alriga]

Re: Choque inelástico de satélites

... No es cierto que el momento angular sea $L=mr\omega$. Es decir, $L=2\pi mr/T$ no es vaĺida para órbitas no elípticas ...

No es vaĺida para órbitas no circulares.

Saludos

[arivasm]

Re: Choque inelástico de satélites

Eso era lo que quería escribir. Gracias. Procedo a corregir el gazapo.

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico de satélites

Hola camaradas, vistiendome de zapata , si no la gana la empata, si bien entiendo que la velocidad angular no es constante en toda la elipse, no me termina de cerrar porque puntualmente no es valida la funcion $L=mr_p^2\omega_p$


si entiendo la objeción a que el periodo obedece a la integracion del tiempo sobre la trayectoria y no como una constante que se puede despejar como en la orbita circular,

Así que le seguire dando vueltas al coco,

de tu apunte arivasm veo que $L^2=-2mEb^2$ y que $r_p + r_a = -\dfrac{GMm}{E}$

por lo que

$$L^2=2m^2 \dfrac{GM}{r_p + r_a}b^2$$

$\dfrac{L_1^2}{L_2^2}=\dfrac{m_1\dfrac{r_{a1}r_{p1}}{r_{a1}+r_{p1}}}{m_2\dfrac{r_{a2}r_{p2}}{r_{a2}+r_{p2}}}=\dfrac{2m_1^2 \dfrac{GM}{r_p + r_{a1}}}{2m_2^2 \dfrac{GM}{r_p + r_{a2}}}\dfrac{b_1^2}{b_2^2}$
simplificando

$\dfrac{\dfrac{r_{a1}}{r_{a1}+r_{p}}}{\dfrac{r_{a2}}{r_{a2}+r_{p}}}=\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}\dfrac{{r_{a2}+r_{p}}}{r_{a1}+r_{p}}}=\dfrac{m_1 }{m_2 }\dfrac{r_p + r_{a2}}{r_p + r_{a1}}\dfrac{b_1^2}{b_2^2}$

de donde

$$\dfrac{m_1 }{m_2 }\dfrac{b_1^2}{b_2^2}=\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}$$

$<br /> b^2=S^2-c^2$

$\cancel{b^2= (r_p+\dfrac{r_p+r_{a}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a}}{2})^2}$


$b^2= (\dfrac{r_p+r_{a}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a}}{2}-r_p)^2$

De aquí en adelante las formulas están mal gracias por la aclaración alriga el error proviene de mi mensaje anterior al definir mal la longitud del semieje mayor
de donde

$\dfrac{b_1^2}{b_2^2}=\dfrac{(r_p+\dfrac{r_p+r_{a1}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a1}}{2})^2}{(r_p+\dfrac{r_p+r_{a2}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a2}}{2})^2}$

$$\dfrac{b_1^2}{b_2^2}=\dfrac{r_p^2+r_p(r_p+r_{a1})}{r_p^2+r_p(r_p+r_{a2})}$$

volviendo a 18

$\dfrac{m_1 }{m_2 }=\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}\dfrac{r_p^2+r_p(r_p+r_{a2})}{r_p^2+r_p(r_p+r_{a1})}$



la tercera sera la vencida?

$$\boxed{\dfrac{m_1 }{m_2 }=\left(\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}\right)\left(\dfrac{2r_p+r_{a2}}{2r_p+r_{a1}}\right)}$$

$$\boxed{\dfrac{m_1 }{m_2 }=\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{6+10}{6+7}\right)}=0.861$$

con respecto al choque inelástico, deberia poderse comprobar que el momento angular resultante es la suma de los anteriores.... para probae que l energía cinetica no se conserva creo que hacen falta mas datos, los sentidos de giro al menos

[Alriga]

Re: Choque inelástico de satélites

Richard, observa que si "S" es el semieje mayor de la elipse, (no se le suele llamar así, se le suele llamar siempre "a"), "b" el semieje menor y "c" la distancia del centro al foco de la elipse, la expresión:

$b^2=S^2-c^2$

Es correcta, pero no lo es la siguiente:

$\cancel{b^2= (r_p+\dfrac{r_p+r_{a}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a}}{2})^2}$

Que debería ser:

$b^2=\left ( \dfrac{r_p+r_a}{2} \right )^2-\left ( \dfrac{r_p+r_a}{2}-r_p \right )^2$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Choque inelástico de satélites

Solo quiero aclarar lo oscurecido

y mostrar la enesima manera de no encontrar la solución

sería, luego de hacer las correcciones citadas

de donde

$\dfrac{b_1^2}{b_2^2}=\dfrac{(\dfrac{r_p+r_{a1}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a1}}{2}-r_p)^2}{(\dfrac{r_p+r_{a2}}{2})^2-(\dfrac{r_p+r_{a2}}{2}-r_p)^2}$

$$\dfrac{b_1^2}{b_2^2}=\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}$$

volviendo a 18

$\dfrac{m_1 }{m_2 }=\dfrac{r_{a1}}{r_{a2}}\dfrac{r_{a2}}{r_{a1}}$



lo que lleva la igualdad y a la contradicción del enunciado pues

Tenemos dos satélites de diferente masa.

pero me niego a creer que el perihelio este determinado solo por el valor la masa