Divulgación Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

[inakigarber]

Buenas tardes, planteo este problema que no me sale, a ver donde me equivoco.
Sea una figura como la siguiente;

Demostrar que el valor máximo de $|g_x|$, tiene lugar en las posiciones $\pm al \sqrt{2}$para este campo.
Dado que la figura es simétrica respecto al eje x, las componentes del campo sobre el eje y se anulan, por tanto solo debe considerarse la proyección sobre el eje x;
A mi me sale;

$$g_x=\frac{2GM}{r^2}cos\theta$$

como $cos\theta=\frac{r}{x}$ y por otra parte $r^2=a^2+x^2$, entonces me sale;

$$g_x=\frac{2GM}{x \sqrt{a^2+x^2}}$$

Como se trata de localizar el o los puntos máximos recurro a las derivadas;
$\dfrac{dg}{dx}=\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$
Siendo;
$U=2GM$, $U'=0$
$V=x \sqrt{a^2+x^2}$, $U'=\dfrac{a^2+2x^2}{a^2+x^2}$
Esto me sale;

$$\dfrac{g}{x}=\dfrac{-2GM\dfrac{a^2+2x^2}{a^2+x^2}}{x^2(a^2+x^2)}=0$$

Como esta debe valer cero;

$$0=-2GM\dfrac{a^2+2x^2}{a^2+x^2}$$

$0=a^2+2x^2$
$|2x^2|=|a^2|$
de lo cual obtendría;

$$\boxed{x=\pm \dfrac{a}{\sqrt{2}}}$$

Valor que no coincide, por lo que seguro estoy equivocado.
¿Como lo veis?

[Al2000]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Pusiste el coseno "al revés", lo correcto es x/r...

[inakigarber]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Algún día puede que invente una nueva forma de entender la trigonometría. Donde tendré mi cabeza.

[inakigarber]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Resolviendo el problema graficando con una hoja excel, me sale un gráfico como este;

Pero intentando resolverlo matematicamente. Al tratar de resolver la derivada del campo y hacerla igual a cero (como en el cálculo de máximos y mínimos) y simplificando. Me sale;
$\dfrac{dg_x}{dx}=(x^2+a^2)^3-3x=0$. Ecuación que no consigo resolver.
¿Es correcta la gráfica y la ecuación a la que llego?
Y aun no siendo correcta ¿cómo podría resolver esta ecuación?
Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Yo creo que el ejercicio es mucho más simple si manejas como incógnita el ángulo $\theta$. Como $r=a/sin\theta$, $\dst g_x=2 G \frac{M}{a^2}\sin^2\theta\cos\theta$. Por tanto, se trata de encontrar el ángulo que maximiza la función $\sin^2\theta\cos\theta$, lo que es muy sencillo. El resto es un poco de trigonometría.

[Al2000]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Apartando lo que te puntualiza Antonio, probablemente tengas un error en la derivada. El campo queda

$$g = 2 G M \frac x {(a^2 + x^2)^{3/2}}$$

y la derivada respecto de $x$ para hallar el máximo es

$$\frac {dg}{dx} = 2 G M \frac {(a^2 + x^2)^{3/2} - \frac 3 2 x (a^2 + x^2)^{1/2} (2 x)}{(a^2 + x^2)^3} = 2 G M \frac {\sqrt {a^2 + x^2}(a^2 + x^2 - 3x^2)}{(a^2 + x^2)^3}$$

y para que esa expresión valga cero, deberá cumplirse que

$$a^2 - 2 x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed {x = \pm \frac {\sqrt 2} 2 a}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

$\dfrac{dg_x}{dx}=(x^2+a^2)^3-3x=0$. Ecuación que no consigo resolver.

esta ecuacion es incorrecta has derivado mal

debes llegar a

$\dfrac{dg_x}{dx}=Cte(x^2+a^2)^{\frac32}-3x^2(x^2+a^2)^{\frac12}=0$

El resto del desarrollo es tal cual te lo posteo Al ( me lo ahorro de de escribir) en el ultimo mensaje $x=\pm \dfrac a{\sqrt2}$

y segun arivasm $x \tan \theta=a$

$\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}=\frac{\partial k\sin^2\theta\cos\theta}{\partial \theta}=0$

$k2\cos^2\theta\sin\theta-k\sin^3\theta=0$


$2\cos^2\theta-\sin^2\theta=0$


$\cos^2\theta=\sin^2\theta$

$2=\tan^2\theta$

$\pm \sqrt 2=\tan\theta$

entonces

$x=\pm\dfrac {a}{\sqrt 2}$

[Alriga]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Iñaki, por si le queires echar un vistazo, hay un problema parecido pero con cargas eléctricas aquí: http://forum.lawebdefisica.com/threa...en-distancia-r

Saludos.

[inakigarber]

Re: Problema de determinación del punto de campo gravitatorio máximo.

Gracias por vuestras respuestas.
Estos días he tenido un poco apartado este problema. Lo curioso es que lo había resuelto bien desde el principio. Un signo que no se veía bien me hizo confundir $\pm al \sqrt{2}$ esto por esto $a/ \sqrt{2}$. De manera que lo había estado haciendo bien desde el principio. De todos modos no me di cuenta hasta bastante después de leer vuestros post. Por completar lo que comentaba Arisvam.
La condición de campo máximo se dará cuando la derivada con respecto al ángulo se cero. Entonces tendremos;
$0=d(Sen^2\theta Cos\theta)$
Haciendo $A=Sen^2\theta$. $A'=2Sen\theta Cos\theta$ y $B=Cos\theta$, $B'=-Sen\theta$
$0=2 Cos^2\theta Sen\theta-Sen^3\theta$
$0=2Cos^2\theta Sen^2\theta$, Como $Cos^2\theta+Sen^2\theta=1$
De aquí me salen $Cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , $Sen\theta=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$, $Tg\theta=\sqrt{2}$ y $\boxed{x=\dfrac{a}{\sqrt{2}}}$
que era lo correcto a pesar de que me empeñara en leerlo mal.
Saludos, gracias y perdón por las molestias.