Divulgación Problema sobre estrellas binarias girando en torno al centro de masas comun

[inakigarber]

Buenas tardes;
Quisiera plantear este problema que me tiene confundido.
En un sistema binario dos estrellas de masa $m_1$ y $m_2$ separadas una distancia r orbitan alrededor del centro común de masas, demostrar que el periodo de rotación está determinado por la expresión $T^2=\frac{4 \pi r^3}{G(m_1+m_2)}$.
Trato de resolverlo de la siguiente manera.
$r=A+B$ donde A y B son las distancias respectivas al centro de masas común de cada estrella. Entonces tendré;
$m_1A=m_2B$
Dado que las fuerzas centrífuga y gravitatoria de cada estrella serán iguales, tendré;
$F_1=\frac{m_1V_1^2}{A}=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$, despejando me quedará;
$V_1^2=\frac{Gm_2(r-B)}{r^2}$
Por otra parte, de la definición de velocidad obtengo;
$V_1^2=\frac{4 \pi^2 r^2}{t^2}$, donde t es el período;
despejando t mediante una regla de tres;
$t^2=\frac{4 \pi^2 r^4}{G m_2 (r-B)}$
Dado que la otra estrella también gira respecto al centro de masas, podemos calcular de la misma manera el periodo de esta segunda estrella;
$t_2^2=\frac{4 \pi^2 r^4}{G m_1 (r-A)}$
Dado que ambos periodos son iguales, $t=t_2$, entonces;
$t^2=\frac{4 \pi^2 r^4}{G m_2 (r-B)}=\frac{4 \pi^2 r^4}{G m_1 (r-A)}$
No consigo eliminar A y B de estas expresiones.
Por otra parte en la solución aparece el termino $4 \pi$ que sospecho está equivocado ¿No debiera ser $4 \pi^2$?
Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Problema sobre estrellas binarias girando en torno al centro de masas comun

Dado que las fuerzas centrífuga y gravitatoria de cada estrella serán iguales

Permíteme que comience con esta pequeña puntualización: no es necesario que optes por un sistema de referencia no inercial. Basta con que plantees que la fuerza resultante, que es la gravitatoria, es exclusivamente centrípeta, con lo que se cumple la expresión que pones a continuación.

Por otra parte, de la definición de velocidad obtengo;
$V_1^2=\frac{4 \pi^2 r^2}{t^2}$, donde t es el período;

No. Cada estrella describe una circunferencia alrededor del centro de masas. Por tanto, para la estrella 1

$V_1^2=\frac{4 \pi^2 A^2}{t^2}$

Terminaré aclarando que el enfoque más sencillo pasa por reducir el problema a uno de una sola partícula y masa igual a la masa reducida

$G \frac{m_1m_2}{r^2}=\mu r \omega^2=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} r \omega^2$

- - - Actualizado - - -

Me olvidaba: sí, falta el cuadrado en el pi

[Alriga]

Re: Problema sobre estrellas binarias girando en torno al centro de masas comun

Arratsalde on Iñaki, ¿has visto esto?: Tercera Ley de Kepler (órbitas elípticas en general)

Saludos.

[inakigarber]

Re: Problema sobre estrellas binarias girando en torno al centro de masas comun

Ahora si, gracias a vosotros;
Veamos.
$r=a+b$Por otra parte, de la dinámica del centro de masas.
$m_1a=m_2b$Fuerza gravitatoria;
$F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}$Fuerza centrífuga estrella 1;
$F=\frac{m_1 V_1^2}{a}$(aquí me había equivocado)
igualando y despejando la velocidad;
$V_1^2=\frac{G m_2 a}{r^2}$Como $V_1=\frac{2 \pi a}{t}$por lo que $V_1^2=\frac{4 \pi^2 a^2}{t^2}$Igualando ambas velocidades y despejando $t^2$ tendremos;

$$t^2=\frac{4 \pi^2 r^2 a}{G m_2}$$

es aquí donde fui incapaz de seguir.
$a=r-b$, $b=\frac{m_1 b}{m_2}$despejando y poniendo al mismo lado los términos donde aparece a obtengo;
$a=\frac{r m_2}{m_1+m_2}$que sustituyendo en *** obtengo;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Saludos y gracias;