Otras carreras Caida libre con fuerza viscosa

[physicsnoob]

Buenas gente.

Me han asignado un problema de caída libre, pero la diferencia es que incluye la viscosidad del aire, y pues consigo no entiendo como terminarlo de resolver. El problema es el siguiente:

Se deja caer una esfera desde una azotea alta. El aire ejerce una fuerza de arrastre DV^2 dirigida hacia arriba. Encontrar la velocidad terminal. Densidad del aire=1.0 Kg/m^3. Radio de la esfera 10cm

De ahí solo se me ocurre que usando la segunda ley de Newton puedo llegar a lo siguiente, Fv-Fg = mg, pero aquí se llega a una ecuación diferencial y la verdad no se como solucionarlas. Lo único que se es que al solucionarla, se llega a hallar una función que me da la posición con respecto al tiempo. No se si halla otra manera de solucionar el problema, pero si me pueden ayudar les quedaría muy agradecido.

Saludos.

[Alriga]

Re: Caida libre con fuerza viscosa

2ª ley de Newton

$P-F_r=m \ a$

$m g-D v^2=m \ a$

La aceleración es

$a=\dfrac{dv}{dt}$

Sustituyendo

$m g-D v^2=m \dfrac{dv}{dt}$

La velocidad terminal $v_T$ es cuando la velocidad ya no varía, (la aceleración es cero), es decir cuando:

$a=\dfrac{dv}{dt}=0$

Sustituyendo:

$m g-D \ v_T^2=0$

Despejando la velocidad:

$v_T=\sqrt{\dfrac{m g}{D}}$

Saludos.

[physicsnoob]

Re: Caida libre con fuerza viscosa

Pero una duda, para esa formula final que me has dado es necesaria la masa de la esfera, y pues... en el problema dado no hallo o no están los datos suficientes para encontrar la masa, no se si me este equivocando en algo o si haya otra manera de encontrar la velocidad terminal. Oye y me falto agregar algo, entiendo que cuando actúan las fuerzas viscosas hay un punto en que la velocidad no cambia, pero la aceleración de todas maneras sigue siendo la de la gravedad ¿verdad?. Con eso quiero llegar a que la aceleración creo que no es 0, no se si este equivocado.

¡Muchas gracias por vuestra ayuda!

[Alriga]

Re: Caida libre con fuerza viscosa

Necesitas más cosas, además de la masa de la esfera que es imprescindible.

Habitualmente esa constante D se evalúa como:

$D=\dfrac 1 2 C_D \cdot \rho A$

$\rho$ es la densidad del aire que te lo dan, $1 \ kg/m^3$

El área proyectada A es $A=\pi r^2$ siendo r = 0.01 m el radio de la esfera

Y tampoco te dan el coeficiente aerodinámico, que para una esfera es de $C_D \approx 0.47$

Actualizado:

entiendo que cuando actúan las fuerzas viscosas hay un punto en que la velocidad no cambia, pero la aceleración de todas maneras sigue siendo la de la gravedad ¿verdad?. Con eso quiero llegar a que la aceleración creo que no es 0, no se si este equivocado.

No te líes. Sobre el cuerpo actúa siempre la fuerza de gravedad, pero no está sometido siempre a la aceleración de la gravedad. Sobre tí, de pié en el suelo, actúa la fuerza de la gravedad de la Tierra, pero no estás acelerando a 9.8 m/s^2 tu aceleración es cero.

En el cuerpo que cae la velocidad terminal se alcanza cuando la fuerza gravitatoria (peso) del cuerpo hacia abajo se compensa con la fuerza de rozamiento hacia arriba de forma que la resultante es CERO y por lo tanto la aceleración que es la fuerza resultante dividida por la masa también ha de ser CERO y no 9.8 m/s^2

Saludos.

[physicsnoob]

Re: Caida libre con fuerza viscosa

Te lo agradezco mucho Alriga, a veces por esa duda como la anterior se me dificultan los exámenes , pero gracias a vuestros ejemplos en el foro puedo desarrollar un poco mas mi lógica y razonamiento en la física.

Saludos.