Otras carreras Velocidad de un cohete

[alberto5456]

Un saludo a todos

Como estáis todos. Comunidad, me han dejado un problema de relatividad que no he podido analizar correctamente y me confundo, si me podéis ayudar estaría muy agradecido.

Un cohete que se mueve en el espacio vació tiene una rapidez de 3000 m/s con respecto a la tierra. Se encienden sus motores y estos empiezan a expulsar gases en dirección opuesta al movimiento del cohete con una rapidez de 5000 m/s con respecto al cohete. ¿Cual es la rapidez del cohete respecto a la tierra una vez que su masa se ha reducido a la mitad de la masa que tenia antes de encender los motores?

Muchas gracias por vuestra atención

[Alriga]

Re: Velocidad de un cohete

Hola alberto5456 bienvenido a La web de Física, en primer lugar, como nuevo miembro lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El problema no es de Relatividad, ya que las velocidades en juego (3 ó 5 km/s) son despreciables respecto de la velocidad de la luz de 300.000 km/s

ACTUALIZADO: El problema se resuelve como explica arivasm en el post #3

Es un problema de conservación del momento lineal.

1) Situación inicial: Cohete de masa m va a 3000 m/s hacia la derecha

$p_i=m \cdot 3000$

2) Situación final: Cohete de masa m/2 va a velocidad v hacia la derecha y gases de masa m/2 van a velocidad 5000 m/s hacia la izquierda

$p_f=\dfrac m 2 \cdot v-\dfrac m 2 \cdot 5000$

Conservación de la cantidad de movimiento:

$p_i=p_f$

$m \cdot 3000=\dfrac m 2 \cdot v-\dfrac m 2 \cdot 5000$

Despejando la velocidad sale:

$\cancel{v=11000 \ m/s}$

Para comprobar si tiene sentido aplicar la Relatividad, vamos a calcular el Factor de Lorentz con la velocidad obtenida por arivasm en el pos #3:

$\gamma=\dfrac 1 {\sqrt{1-\dfrac{6.47^2}{300000^2}}}=1.0000000002$

El factor de Lorentz difiere de la unidad en menos de una milmillonésima, por lo que no tiene sentido aplicar la Relatividad al problema, puesto que admite solución lo suficientemente precisa usando mecánica newtoniana

Saludos.

[arivasm]

Re: Velocidad de un cohete

Tengo dudas de que el ejercicio se haga como ha indicado Alriga, pues la velocidad de los gases, de 5 km/s, es relativa al cohete, no al sistema de referencia ligado a la Tierra. Entiendo que se resuelve empleando la ecuación del cohete, de Tsiolkovski: el aumento en la velocidad del cohete, si los gases se emiten respecto de él con una velocidad $v_g$, según podemos obtener inmediatamente integrando la ecuación $v_g\dd m=m\dd v$ (aplicada instantáneamente a un sistema ligado al cohete -con lo que, al ser un SRI respecto del de Tierra, el $\dd v$ es el mismo en este último-), es $\Delta v=v_g\ln (m_0/m)$, de manera que en este caso sería $\Delta v=v_g\ln 2$, es decir, de 3,47 km/s, con lo que la velocidad final del cohete será de 6,47 km/s.

El motivo por el que resulta un valor notoriamente menor que el de Alriga es el siguiente: la velocidad de los gases relativa al sistema de Tierra es cada vez menor, a medida que el cohete gana velocidad.