1r ciclo Canica en un fluido a aceleración constante

[miquix]

Hola a todos, tengo un problema con un ejercicio. Me informan que una canica dentro de un fluido tiene una aceleracion proporcional a la velocidad, tal que a=-3v . La canica entra en el fluido a una v=v_0
Me piden a, v i s en funcion del tiempo.

La velocidad y aceleracion son sencillas, basta integrar para hayar la velocidad y luego sustituir la velocidad en a para tener la aceleracion.

El problema me surge en el espacio. Que no me concuerda la solucion mia con la del problema.

$\int_{x_o}^{x}dx = \int_{t_o}^{t} \frac{v_o}{-3 } {e}^{-3t }(-3)dt$

esta integral me da problemas al quedarme en el primer termino x-x_o y no se como encontrarlo

[Alriga]

Re: Canica en un fluido a aceleración constante

Hola miquix bienvenido a La web de Física, como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

$a=-3v$

$\dfrac{dv}{dt}=-3v$

$\dfrac{dv}{v}=-3 \ dt$

$\dst \int_{v_0}^v \dfrac{dv}{v}=-3\int_{t_0}^t dt$

$\ln v - \ln v_0=-3 t$

$v(t)=v_0 \ e^{-3t}$

$v=\dfrac{dx}{dt}$

$\dst x(t)=\int v_0 \ e^{-3t} \ dt$

$$x(t)=-\dfrac{v_0}{3} e^{-3t}+k$$

La constante de integración "k" no puedes determinarla si no te dan otra condición inicial además de la que ya te han dado de $v(0)=0$

Puedes suponer por ejemplo $x(0)=0$ y determinar la k:

$0=-\dfrac{v_0}3+k$

$k=\dfrac{v_0}3$

Sustituyendo:

$$x(t)=\dfrac{v_0}3 \Big ( 1-e^{-3t} \Big )$$

Este ejercicio no es más que resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea y de coeficientes constantes:

$\ddot x+3 \dot x=0$

Si se resuelve directamente esta ecuación mediante el método de las raíces del polinomio característico se obtiene:

$x(t)=c_1+c_2 \ e^{-3t}$

En donde se ve claramente que hay 2 constantes arbitrarias, luego para determinar unívocamente cuál es la función x(t) , como es una ecuación diferencial de SEGUNDO orden, son necesarias 2 condiciones iniciales.

Saludos.

[miquix]

Re: Canica en un fluido a aceleración constante

Muchas gracias, solo una duda me surge. Porque en la integracion del espacio no se integra desde $x_0$ hasta x?

Me respondo solo... porque no hay variable x! A diferencia que la integracion de v, en que si aparece la variable y puedes integrar entre límites.

Vaya error de novato.. por eso no me cuadraba.
Gracias de nuevo

[Alriga]

Re: Canica en un fluido a aceleración constante

... una duda me surge. Porque en la integracion del espacio no se integra desde $x_0$ hasta x? ...

Naturalmente que puedes hacerlo, y sale lo mismo porque ambos procesos de cálculo son equivalentes:

$dx=v \ dt$

$\dst \int_{x_0}^x dx=\int_{t_0}^t v_0 \ e^{-3t} \ dt$

$\Big [x \Big ]_{x_0}^x=-\dfrac{v_0}3 \ \Big [e^{-3t}\Big ]_{t_0}^t$

$x-x_0=-\dfrac{v_0}3 \Big ( e^{-3t} - e^{-3t_0} \Big )$

Para determinar unívocamente la función x(t) te falta una condición inicial $(t_0, \ x_0)$

Si supones como en el post #2 que en $t_0=0$ es $x_0=0$

Obtienes lo mismo que en ese post #2

$x=\dfrac{v_0}3 \Big ( 1-e^{-3t} \Big )$

Si con la velocidad hubieses usado el método de la constante de integración obtendrias:

$\dst \int \dfrac{dv}{v}=-3\int dt$

$\ln v=-3 t+k$

Aplicando la condición inicial:

$\ln v_0=-3 \cdot 0+k$

$k=\ln v_0$

$\ln v - \ln v_0=-3 t$

Que es lo mismo que obteníamos en el post 2# Como ves, es lo mismo poner la condición inicial en los límites de integración, que usarla para calcular la constante de integración después de integrar.

Saludos.