Divulgación Problema de objeto lanzado verticalmente en un campo gravitatorio uniforme o no uniforme

[inakigarber]

Buenas noches,
Quiero plantear este problema cuya solución no me coincide.
Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra. Demostrar que la altura máxima alcanzada por el cuerpo es $H=\dfrac{R_t H'}{R_t-H'}$. Donde H' es la altura que alcanzaría sí el campo fuera uniforme.

A mi no me sale, veamos;
a) campo uniforme.

$$E_p=mgH'$$

$$g=\dfrac{GM_t}{R_t^2}$$

$$E_p=m\dfrac{GM_t}{R_t^2}H'$$

b) campo gravitatorio no uniforme;

$$E_p=GM_t m(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{H})$$

Igualando ambas energias;

$$m\dfrac{GM_t}{R_t^2}H'=GM_t m(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{H})$$

dividiendo por $mGM_t$ en ambos extremos;

$$\dfrac{H'}{R_t^2}=\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{H}$$

Despejando H me sale;

$$H=\dfrac{R_t^2}{R_t-H}$$

Lo cual no me coincide con el resultado.

[arivasm]

Re: Problema de objeto lanzado verticalmente en un campo gravitatorio uniforme o no uniforme

Creo que el gazapo es éste:

b) campo gravitatorio no uniforme;

$$E_p=GM_t m(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{H})$$

pues debería ser

$$E_p=GM_t m(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_t+H})$$

[inakigarber]

Re: Problema de objeto lanzado verticalmente en un campo gravitatorio uniforme o no uniforme

Buenas noches;

Así si que sale.

Haciendo $\int_{R_t}^{R_t+H} \dfrac{GmM_t}{r^2}$, integrando y sacando factor común me sale;
$E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_t+H}\right)$
Si el campo fuera uniforme y considerando $g=\dfrac{GM_t}{R_t^2}$
Entonces igualando ambas energías tendríamos;
$\dfrac{GmM_tH'}{R_t^2}=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_t+H}\right)$
Simplificando y despejando, me sale;
$H=\dfrac{H'R_t}{R_t-H'}$
que era el resultado buscado.

Saludos y gracias.