Secundaria Braquistocrona y aceleración en función de la posición

[BlackCamilo]

Hola, soy nuevo en el foro y observe que hay una buena comunidad que de pronto me podia ayudar en mi problema. Bueno en primer lugar, mi problema esta basado en lo que seria la braquistocrona, y lo que busco en mi investigacion es comparar con otras curvas mediante las derivadas y mostrar que (por lo menos) la cicloide es la curva del descenso mas rapido. Para sacar la aceleracion en funcion del tiempo use los principios basicos del plano inclinado y logre lo siguiente:

a(x)=sen(arctan(f´(x)))*9.81

Siendo f´(x) la derivada de una funcion, por lo que queria saber como podria sacar la funcion o la ecuacion de la velocidad en funcion de la posicion y si es posible sacar el tiempo en funcion de la posicion.

PD: Asumo que tras haber sacado la aceleracion mediante plano inclinado, su pendiente y que la masa fuese 1Kg, la curva o el problema se convirtio en un movimiento rectilinio con aceleracion variable. Muchas gracias de atemano por sus ayudas.

[Richard R Richard]

Re: Aceleracion En Funcion De La Posicion

Hola Bienvenido al foro!!!!! Como nuevo miembro quiza te sea útil leer consejos para recibir ayuda en forma efectiva


Si supones una forma de la pendiente de la curva que describe la partícula que desciende

$y=y(x) \quad \to \quad 0=y(0)$


El tiempo de caída lo calculas con $T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+(y'(x))^2}{2gx}}\dd x$

y el espacio recorrido con $s=\dst \int_{0}^{H} \sqrt{1+(y'(x))^2}\dd x$


para demostrar una función es la braquistócrona o la curva con menor tiempo de descenso, debes derivar esa función e igualarla a cero, chequear que esa posición corresponde a un mínimo de la función y

luego puedes graficar la función uniendo los extremos de la curva ubicados en $(0,0)$ y $(H,y(H))$ para aquella unción en que $T$ es mínimo.

Referencias

https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona
https://www.uam.es/personal_pdi/cien...3/APmodII1.pdf

[BlackCamilo]

Re: Aceleracion En Funcion De La Posicion

Hola Richard, primero gracias por tu ayuda, y considerare el metodo que me dijiste porque no lo habia pensado como alternativa a mi investigacion, pero refiriendome otra vez a lo que mencione en el comiezo, queria saber si podria sacar la funcion de la velocidad en funcion de la posicion y el tiempo en funcion de la posicion. Te describire mi proceso con una cuadratica:
F(x)={x}^{2}
F´(x)=2x

Como ya tenemos la derivada, tenemos las pendientes en todos los puntos x de la funcion cuadratica por lo que con arctan(2x) deberia ser posible cambiar el valor de la pendiente por un angulo y esto usarlo en un plano inclinado sabiendo que;

{F}_{x}=sen(\theta)*W

Siendo {F}_{x} la fuerza paralela a la curva(o la fuerza en x sabiendo que el marco de referencia es paralelo a el plano), y W el peso, asi que asumiendo que la masa del objeto en el plano inclinado es de 1Kg, W=1g, igualmente pasa con la fuerza en x pero con la acelaracion, {F}_{x}=1a, asi que podemos asumir con la funcion de la derivada que existen infinitos planos inclinados, cada uno con su pendiente o angulo que esta dado por la derivada por lo que:

a=sen(arctan(2x))*9.81

Asi que tengo lo que es la aceleracion en cada punto de x, y teniendo esto, la forma de la curva ya no importa, por lo que se puede asumir que el movimiento es rectilineo pero con la aceleracion variable.

Hasta ese punto considero que no tengo errores en las formulas, pero el problema es que como mi objetivo es demostrar que la cicloide es la curva del descenso mas rapido entre otras curvas como la cuadratica, de una forma diferente haciendo uso de este analisis. Por lo que creo que solo con la aceleracion no se puede demostrar que es la mas rapida, sino que con la velocidad media, asumiendo que aquella que tenga mayor velocidad media es la mas rapida, pues podria comparar las curvas y llegar a que la cicloide es la mas rapida.

Espero que hayas entendido mi punto, igual muchas gracias tu aporte, de pronto dejo de aferrarme a esta forma y me voy por el camino que mencionaste en mi investigacion. Muchas gracias y espero tu ayuda. Otra vez gracias de antemano por sus ayudas.

[Richard R Richard]

Re: Aceleracion En Funcion De La Posicion

Te describire mi proceso con una cuadratica:
F(x)={x}^{2}
........

Siendo {F}_{x} la fuerza paralela a la curva(o la fuerza en x sabiendo que el marco de referencia es paralelo a el plano), y W el peso,.

Disculpa , F es una función para describir la trayectoria de la partícula $y=F(x)$ o es la fuerza que actúa sobre la partícula, que es función directa de la posición$F(x)=Kx^2<br />$ con $K=1N/m^2$ ?


Si fuera el primer caso, deberías usar el método que te pasado en mi post anterior para hallar el tiempo de caida,

pero si F es una fuerza que actúa sobre la particular que depende exclusivamente de la posición , recuerda que la aceleración es siempre por la segunda ley de Newton $a=\frac{\partial ^2x}{\partial t^2}=\frac Fm$

quiza te sirva de guía los puntos 7 y 8 de

http://forum.lawebdefisica.com/conte...dimensi%C3%B3n

si no vuelve a preguntar que intento por las mías darte mejor respuesta

[BlackCamilo]

Braquistocrona y aceleracion en funcion de la posicion

Hola, tengo dos preguntas sobre este problema, el primero es que se supone que la formula para calcular el tiempo de caida de un objeto describiendo el recorrido de una curva es el siguiente:

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+(y'(x))^2}{2gx}}\dd x$

Pero cuando encuentro tanto el tiempo del medio segmento de la cicloide que tiene los extremos en (0,0) y ($\pi$,2), y el de la cuadratica $\frac 2 {{\pi}^{2}} x$, modificada para pasar por ambos extremos asi como la cicloide. Pues cuando encuentro esto en lo que seria la ecuacion del tiempoo de la braquistocrona, el resultado menor me da con la cuadratica. Asi que queria saber cual es el debido proceso. Y por otro lado, sabiendo que tengo la ecuacion de aceleracion en funcion de la posicion:

$a=\sin({\tan}^{-1}(y'(x))) (9.81)$

Siendo $y'(x)$ la derivada de una funcion cualquiera, cual seria la ecuacion que defina la velocidad en funcion de la posicion y si es posible el tiempo en funcion de la posicion. Muchas gracias por su ayuda, y un saludo.

- - - Actualizado - - -

Uy que pena Richard, pensé que me había tocado que comenzar otro hilo. Bueno pues sobre el artículo que me mencionaste, no se porque no me cargan las ecuaciones, solo me carga la imagen del final, igualmente gracias. Por otro lado, la F(x)=y(x) en la suprime ras ecuaciones, peor en la que pongo F_x es la fuerza del componente en x del que es paralela al plano inclinado. Esto y el anterior comentario responden a lo que me preguntaste, gracias.

[Richard R Richard]

Re: Braquistocrona y aceleracion en funcion de la posicion

H no se porque no me cargan las ecuaciones, solo me carga la imagen del final, igualmente gracias.

si usas un movil para entrar en le foro usa la versión de PC en la configuración del navegador, al menos así veo yo todas las formulas desde el mio,

luego amplio tus preguntas, cuando ande con un poquito mas de tiempo.

define como es la función cuadratica , y(x)=? tu dices que $y =x^2$ da menor tiempo que la braquistocrona?

Hola, tengo dos preguntas sobre este problema, el primero es que se supone que la formula para calcular el tiempo de caida de un objeto describiendo el recorrido de una curva es el siguiente:

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+(y'(x))^2}{2gx}}\dd x$

Pero cuando encuentro tanto el tiempo del medio segmento de la cicloide que tiene los extremos en (0,0) y ($\pi$,2), y el de la cuadratica $\frac 2 {{\pi}^{2}} x$, modificada para pasar por ambos extremos asi como la cicloide. Pues cuando encuentro esto en lo que seria la ecuacion del tiempoo de la braquistocrona, el resultado menor me da con la cuadratica.

Pues no deberia ser así, seguro hay algun error, si quieres y puedes intenta cargar las formulas mas importantes de tu desarrollo para ver donde esta la falla.

[BlackCamilo]

Re: Braquistocrona y aceleracion en funcion de la posicion

Bueno, la cuadratica que use es como te dije $y=\frac 2 {{\pi}^{2}} x$ debido a que tiene que pasar por los puntos (0,0) y por ($\pi$,2) asi que segun la ecuacion del tiempo, con la cuadratica deberia ser:

$T=\dst\int_0^\pi\sqrt{\dfrac{1+{(\frac 4 {{\pi}^{2}} x)}^{2}}{2gx}}\dd x$

Y esa integral me da $T= 0.9104$

Y por otro lado con la cicloide, con sus ecuaciones parametricas que son:

$x(t)=t-\sin(-t)$
$y(t)=1-\cos(-t)$

En donde por lo tanto el radio del circulo que la genera es 1, y ademas esta el negativo en las variables para que sean concavas arriba las cicloides.
Asi que con eso, sacando la derivada de una parametrica la cual es:

$\frac{y'(t)}{x'(t)}}$

Pues con este proceso nos da lo siguiente:

$T=\dst\int_0^\pi\sqrt{\dfrac{1+{(\frac {\sin(x)} {\cos(x) +1})}^{2}}{2gx}}\dd x$

En donde esto me da $T=5.4851$ y pues es mucho mayor, tambien lo intente hacer con la formula de longitud de curva de las ecuaciones parametricas pero seguia dando mayor que la cuadratica. Podrias mostrar tu proceso para resolver esto Muchas gracias

[Richard R Richard]

Re: Aceleracion En Funcion De La Posicion

Lo que intentas es

$y'(x)=\dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{\dfrac{\partial y}{\partial t}}{\dfrac{\partial x}{\partial t}}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}}$

si

$y'(t)=-\sin(-t)$

$x'(t)=1+\cos(-t)$

entonces $y'(x)=\dfrac{-\sin(-t)}{1+\cos(-t)}$

pero tu has puesto directamente

$y'(x)=\dfrac{-\sin(x)}{1+\cos(x)}$ y no es correcto $x\neq -t$

debes hallar $t(y)$ o $t(x)$ y reemplazar su valor en la integral


fijate que la wikipedia pone ( salvo signos)


$\dst{\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} =<br /> \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1} }<br />$

[BlackCamilo]

Re: Braquistocrona y aceleracion en funcion de la posicion

Y por otro lado, sabiendo que tengo la ecuacion de aceleracion en funcion de la posicion:

$a=\sin({\tan}^{-1}(y'(x))) (9.81)$

Siendo $y'(x)$ la derivada de una funcion cualquiera, cual seria la ecuacion que defina la velocidad en funcion de la posicion y si es posible el tiempo en funcion de la posicion. Muchas gracias por su ayuda, y un saludo.

Primero pues muchas gracias, intentare mañana resolverlo teniendo en cuenta esos factores, pense que se podia remplazar de una la variable. Por otro lado, sabrias como encontrar la ecuacion de la velocidad a partir de la formula de arriba? En serio, muchas gracias por toda tu ayuda.

[Alriga]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

Hola BlackCamilo, no he seguido mucho el hilo, pero te aporto lo siguiente por si te puede ser útil:

Creo que deberías restringir tu estudio a curvas por debajo de la línea recta, curvas cóncavas como la curva roja de la imagen. Si no lo haces y estudias también curvas por encima de la recta, convexas como la azul de la imagen, la cosa se te complica, puesto que en algunas de esas curvas el móvil que desciende puede despegar y salir volando antes de llegar al punto inferior.



La demostración de la condición de "despegar y salir volando" la encontrarás aquí: Caída deslizando por una cúpula: condición de despegue

Saludos.

[BlackCamilo]

Re: Aceleracion En Funcion De La Posicion

Si

$y'(t)=-\sin(-t)$

$x'(t)=1+\cos(-t)$

entonces $y'(x)=\dfrac{-\sin(-t)}{1+\cos(-t)}$

pero tu has puesto directamente

$y'(x)=\dfrac{-\sin(x)}{1+\cos(x)}$ y no es correcto $x\neq -t$

debes hallar $t(y)$ o $t(x)$ y reemplazar su valor en la integral


fijate que la wikipedia pone ( salvo signos)


$\dst{\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} =<br /> \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1} }<br />$

Primero refiriendome a Algira, gracias por tu comentario, mi investigacion si la hare con curvas con ese tipo de concavidad, por ejemplo la cuadractica, la exponencial, la cicloide invertida y una lineal que no tiene concavidad, asi que muchas gracias por tu aporte.

Por otro lado, Richard, queria saber si sabes como hacer ese proceso de la derivada que sea en funcion de x en vez de t, porque sinceramente no logro entender el proceso. Asi que si me pudieras ayudar con aquello, muchas gracias.

Y ultima cosa y perdon por la insistencia, pero saben como es pasar esta ecuacionde aceleracion en funcion de la posicion a velocidad, aunque haya visto la imagen del articulo que me mandaste, RIchard, no logro entender totalmente:

$a(x)=\sin({\tan}^{-1}(\frac{4x}{{\pi}^{2}})) 9.81$

$v(x)=?$

Gracias

[Alriga]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

… saben cómo es pasar esta ecuación de aceleración en función de la posición a velocidad, aunque haya visto la imagen del artículo que me mandaste, RIchard, no logro entender totalmente:
$a(x)=\sin({\tan}^{-1}(\frac{4x}{{\pi}^{2}})) 9.81$
$v(x)=?$

BlackCamilo, observa que la expresión:

$a(x)=\sin({\tan}^{-1}(\frac{4x}{{\pi}^{2}})) 9.81$

es irrelevante, puesto que NO es en general la aceleración de un objeto que desliza por una curva general. La aceleración del móvil cuando desciende deslizando por una curva arbitraria va cambiando de dirección en cada instante, por lo tanto es una magnitud VECTORIAL. En general la aceleración será:

$\vec{\bold a}(x)=a_x(x) \ \hat i+a_y(x) \ \hat j$

Solo a partir de la expresión vectorial de la aceleración es posible obtener la velocidad. Dicho de otra manera, aunque tuvieses correcta la expresión general del módulo de la aceleración a(x), ello solo no te permite hallar el módulo de la velocidad v(x), (excepto en un movimiento rectilíneo)

Por otro lado, hallar el módulo de la velocidad por consideraciones energéticas es muy fácil. Considera una curva arbitraria

$y=y(x)$

Que desciende desde el punto $y_0$

$y(x=0)=y(0)=y_0$

Como en este dibujo



$m g \ [y_0 - y(x)]=\dfrac 1 2 \ m \ [v(x)]^2$

$v(x)=\sqrt{2 \ g \ [y_0 - y(x)]}$

Pero esto es solo el módulo de la velocidad, el vector velocidad es:

$\vec{\bold v}(x)=\sqrt{2 \ g \ [y_0 - y(x)]}\cdot \cos \ [\arctan \ y'(x)] \ \hat i+\sqrt{2 \ g \ [y_0 - y(x)]}\cdot \sin \ [\arctan \ y'(x)] \ \hat j$

Y a partir de aquí no es trivial hallar el tiempo transcurrido. Te aconsejo que sigas el camino que te ha indicado Richard en el post #2. Piensa que si ese es el camino que figura en los libros, es porque no hay otro camino más fácil.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

El paso de una expresión en función de t a una en función de x esta desarrollado en los 2 artículos de referencias que pase en mi primer post


https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona
https://www.uam.es/personal_pdi/cien...3/APmodII1.pdf

de la expresion

$y'(x)=\dfrac{-\sin(-t)}{1+\cos(-t)}$

se llega a

$y'(x)=\sqrt{\dfrac{2C}{x}-1}$


por lo que el tiempo mínimo te sale con la resolución de la integral

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\dfrac{2C}{x}-1}\right)^2}{2gx}}\dd x$

revisa los artículos para reemplazar el valor de C que surge de escoger un punto de la curva $(x,y,t )$y hallar $y'$ de ese punto para reemplazar en

$<br /> C=\dfrac{1}{\sqrt{2gy}{\sqrt{1+y'^2}}} <br />$

ten especial cuidado con la función ya que es

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left |\dfrac{2C}{x}-1\right |}{2gx}}\dd x$

no puedes hacer

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2C}{x}-1}{2gx}}\dd x$

directamente sin haber demostrado que $\dfrac{2C}{x}>1$ porque en ese caso tienes una raíz de número negativo.....

Con más tiempo repasaré el desarrollo de la velocidad en función de la posición, siempre que lo necesité recurrí a ese artículo, que me sirvió de guía

Saludos

[BlackCamilo]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

Muchas graciaqs a ambos, despues de todo pues ya considere y voy a usar el proceso que es a partir de la ecuacion de euler lagrange porque me sirve mas para realizas mi trabajo, asi que muchas gracias por todo su apoyo, seguire todos los consejos que me dieron, gracias.

[Alriga]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

https://www.uam.es/personal_pdi/cien...3/APmodII1.pdf

por lo que el tiempo mínimo te sale con la resolución de la integral

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\dfrac{2C}{x}-1}\right)^2}{2gx}}\dd x$

Richard, aquí hay algo que no cuadra pero no acierto a ver qué es, debe haber algún error en el pdf de la UAM porque la integral:

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\dfrac{2C}{x}-1}\right)^2}{2gx}}\ \dd x$

es divergente, sea cual sea el valor de "C" positivo y sea cual sea el valor de "H" positivo ???

Para comprobarlo, por ejemplo calcula la integral para el caso real sencillo C=1 y H=1

¿Ves tú donde está el error?

Gracias y saludos.