Avanzado ¿Qué es matemáticamente el espacio-tiempo en la física clásica?

[alexpglez]

Pues esa es mi pregunta. Estaba leyendo "El camino a la realidad" de Penrose y comentaba dos puntos de vista:

1) El espacio-tiempo aristotélico: $\mathbb R^3 \times \mathbb R$, un espacio afín de 4 dimensiones con un sistema de referencia absoluto o privilegiado.

2) El espacio-tiempo Galileano: un fibrado $G$ con base $\mathbb R$ (el tiempo) y como fibra $\mathbb R^3$ (el espacio). Penrose menciona que una manera de incorporar la relatividad galileana al espacio-tiempo es mediante la teoría de fibrados, pero no menciona cómo se hace matemáticamente este fibrado.

Para la mecánica en ausencia de fuerzas, la primera ley de Newton, menciona en definir una conexión afín. (Entiendo más o menos la construcción matemática en variedades de una conexión afín que preserva una métrica, pero no entiendo matemáticamente como se hace en un fibrado).

Para la mecánica con campo gravitatorio, Penrose menciona una construcción matemática que incorpora la idea de que "la masa curva el espacio-tiempo" con el espacio-tiempo Galileano. Pero esto, me gustaría discutirlo más adelante...

¿Cómo se describe geométricamente el espacio-tiempo Galileano y cuál es la construcción exacta de este fibrado que menciona Penrose en su libro? ¿Por qué es errónea la imagen aristotélica del espacio-tiempo?

Gracias, saludos.

[Weip]

Re: ¿Qué es matemáticamente el espacio-tiempo en la física clásica?

Hola. Para concretar lo que dice Penrose en su libro hay que especificar una aplicación $\pi: G\to\mathbb{R}$ continua y exhaustiva cumpliendo que todo punto del espacio total tiene un entorno $U$ tal que $\pi^{-1}(U)$ es homeomorfo a $U\times \mathbb{R}^3$ y este diagrama commuta. La idea es que cada fibra $\pi^{-1}(t)$ es homeomorfa a $\mathbb{R}^3$. Con toda esta información ya tendrías tu fibrado montado. Habría que especificar $\pi$ y los homeomorfismos pero sinceramente nunca he visto definido este fibrado que propone Penrose así que habría que pensarlo.

Por otro lado, entiendo que la imagen aristotélica no es correcta porque justamente no pueden haber sistemas de referencia absolutos, es decir, en este espaciotiempo el movimiento no es relativo.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es matemáticamente el espacio-tiempo en la física clásica?

Hola. Para concretar lo que dice Penrose en su libro hay que especificar una aplicación $\pi: G\to\mathbb{R}$ continua y exhaustiva cumpliendo que todo punto del espacio total tiene un entorno $U$ tal que $\pi^{-1}(U)$ es homeomorfo a $U\times \mathbb{R}^3$ y este diagrama commuta. La idea es que cada fibra $\pi^{-1}(t)$ es homeomorfa a $\mathbb{R}^3$. Con toda esta información ya tendrías tu fibrado montado. Habría que especificar $\pi$ y los homeomorfismos pero sinceramente nunca he visto definido este fibrado que propone Penrose así que habría que pensarlo.

Por otro lado, entiendo que la imagen aristotélica no es correcta porque justamente no pueden haber sistemas de referencia absolutos, es decir, en este espaciotiempo el movimiento no es relativo.

Entonces estamos igual, salvo que no tengo conocimientos de fibrados excepto la definición que me acabas de dar que ya había leído de wikipedia.

Entiendo entonces que para $t \in \mathbb R$ existe un entorno $U_t$ tal que $\pi^{-1}(U_t)$ es homeomorfo a $U_t \times R^3$, es decir que mirando de cerca un $t \in \mathbb R$ el fibrado es un producto cartesiano de toda la vida. Es decir, localmente la imagen es aristotélica, pero globalmente no lo es.

Voy a seguir investigando, a ver si encuentro un poco de luz al asunto. Otra cosa que no entiendo es, qué quiere decir el grupo galileano, parece una curiosidad matemática que las rotaciones, las traslaciones y las transformaciones de Galileo formen un grupo matemático y por tanto le pongan un nombre "Grupo Galileano", pero apuesto a que es fundamental en la teoría de $G$, así como el grupo de Poincaré es importante en relatividad especial (aunque tampoco entiendo por qué...).

PD: Estas cuestiones al leer libros de física nunca las he tenido en cuenta, en física juegan con definir la trayectoria de una partícula directamente como una función vectorial que depende del tiempo, y se guían por la intuición. Matemáticamente es un caos.
Lo peor ocurre cuando jugas con superficies que se mueven en el tiempo y la posición de la partícula depende implícitamente y explícitamente del tiempo $\vec r(u(t),v(t),t)$... y la velocidad $\vec v=\vec r'_u \dot u + \vec r'_v \dot v + \vec r'_t$ tiene una componente viviendo en el espacio tagente a la superficie, y otra que no. Los libros de física llaman a la componente viviendo en el espacio tangente como desplazamiento virtual, mientras que el diferencial de trayectoria se le llama desplazamiento real... y llegan a ideas matemáticas fascinantes usando estas ideas que suscitan el fibrado galileano que nunca formalizaron en ningún momento. Es un caos pero a la vez es fascinante...

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Volviendo al fibrado galileano... la única idea que se me ocurre es el fibrado trivial, $G=\mathbb R \times \mathbb R^3$ y $\pi(t, x)=t$... supongo que a este fibrado no se refiere Penrose .

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Creo que lo que busco es el fibrado afín: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_bundle Imagino que entonces, sólo hay que exigir unas afinidades determinadas, en nuestro caso las transformaciones de Galileo, para construir el fibrado.