1r ciclo Elasticidad

[Frahan]

Llevo, literalmente, tres días con este problema. Pertenece al tercer tema del famoso Vibraciones y Ondas de A.P.French:

3-7 Un alambre de longitud ${l}_{0}$ se alarga en ${10}^{-3} {l}_{0}$ al colgarle cierta masa. Si se conecta este mismo alambre entre dos puntos A y B, alejados ${l}_{0}$ y situados en el mismo plano y de su punto medio se cuelga la misma masa, ¿cuál es la depresión en dicho punto y la tensión del alambre?

Solución: $y= \frac{l_0} {20} ~~ T=5mg$

Sabiendo que
$\frac{Tension}{Deormacion}=Constante~~~~ (1)$

es decir, la definnición del módulo de Young.
$P = mg$
Deformación = $\frac{\Delta l}{l_0}~~~~ (2)$

Es decir, el factor constante es:
$\frac{mg}{10^{-3}} \approx m10^4~~~~ (3)$

Aplicado a la segunda situación descrita:
$\frac{T'}{^{\Delta l'}/_{l_0}} = m 10^4 ~~~~ (4)$

Por trigonometría siendo alfa el ángulo que forman el alambre y la horizontal:
$2 \sin\alpha~ T' = mg~~~~(5)$

$\dfrac{\frac {\cancel{m}g}{2sin\alpha}}{\frac{\Delta l'}{l_0}}= \cancel{m}10^4 ~~~~(6)$

$\dfrac{g l_0}{2 \Delta l sin \alpha}= 10^4 ~~~~(7)$

Y hasta ahí he llegado. Iba a hallar la depresión por pitágoras, pero me di cuenta que $\Delta l$ no es la misma en las dos situaciones

[Alriga]

Re: Elasticidad

Hola Frahan, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

... Llevo, literalmente, tres días con este problema ...

No te deprimas, tiene truco y si no se ve, es difícil.

Definición del Módulo de Young

$E=\dfrac{F/A}{\Delta L / L}$

$EA=\dfrac{F}{\Delta L / L}$

En el problema cuando le colgamos la masa al extremo

$F=mg$

$\dfrac{\Delta L} L=0.001$

Por lo tanto

$EA=1000 m g$

Cuando colgamos la masa en el punto medio, llamo "x" al nuevo incremento de longitud de la mitad de la cuerda y "T" a la tensión de media cuerda

$EA=\dfrac{T}{\dfrac{x}{\dfrac{L_0}{2}}}$

$1000 m g=\dfrac{T}{\dfrac{x}{\dfrac{L_0}{2}}}$

$$\dfrac x{L_0}=\dfrac T{2000 m g}$$

Y hasta aquí la Física, ahora Geometría



De la semejanza de triángulos podemos establecer la proporción

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$T=\dfrac{mg\Big ( \dfrac{L_0}2+x \Big )}{2 y}$

Y aquí viene el primer truco, despreciamos x frente a $L_0 / 2$

$$T \approx \dfrac{mg L_0}{4 y}$$

Sustituyendo (2) en (1)

$\dfrac x{L_0} \approx \dfrac {L_0}{8000 y}$

$$x \approx\dfrac {L_0^2}{8000 y}$$

Del teorema de Pitágoras podemos establecer:

$y^2=\left (\dfrac{L_0}2+x\right )^2-\left (\dfrac{L_0}2 \right )^2$

$y^2=L_0 x+x^2$

Y aquí viene el segundo truco, despreciamos $x^2$ frente a $L_0 x$

$$y^2 \approx L_0 x$$

Sustituyendo (3) en (4)

$y^2 \approx \dfrac{L_0^3}{8000 y}$

$y \approx \dfrac{L_0}{20}$

Si ahora sustituimos en (2)

$T \approx \dfrac{m g L_0}{4\dfrac{L_0}{20}}$

$T \approx 5 m g$

Para el alargamiento sustituimos en (3) y sale:

$x \approx \dfrac{L_0}{400}$

Estas 2 aproximaciones realizadas, evitan tener que resolver una ecuación de 4º grado:

$y^2=\dfrac{L_0^3}{8000y-2L_0}+\dfrac{L_0^4}{(80000y-2L_0)^2}$

Saludos.

[Frahan]

Re: Elasticidad

Muchísimas gracias. Qué alegría!! Y alivio también
Todo entendido. Nunca se me habría ocurrido aplicar tales, y mucho menos las aproximaciones.
Debería dibujar más.

Mil gracias de nuevo, de verdad.

[Alriga]

Re: Elasticidad

Para ver si el resultado obtenido

$$y \approx \dfrac{L_0}{20}$$

$$T \approx 5 \ m g$$

es suficientemente bueno, se resuelve la ecuación de 4º grado

$y^2=\dfrac{L_0^3}{8000y-2L_0}+\dfrac{L_0^4}{(80000y-2L_0)^2}$

Haciendo el cambio de variable

$u=\dfrac y {L_0}$

$y=u \cdot L_0$

Sustituyendo y simplificando:

$L_0^4 \ \Big (64000000 u^4-32000 u^3+4 u^2-8000 u+1 \Big )=0$

Resolviendo la ecuación por métodos numéricos, (por ejemplo con Newton-Raphson con "semilla" u=1/20=0.05 se obtiene convergencia rápidamente), la solución es:

$u=0.0501252$

Deshaciendo el cambio

$$y=\dfrac{L_0}{19.950045}$$

Por lo tanto con la aproximación de (1) solo hemos cometido un error relativo del 0.25%

Para calcular el estiramiento "x" usamos

$y^2=L_0 x+x^2$

Dividiendo miembro a miembro por $L_0^2$ y haciendo el cambio $v=\dfrac x{L_0}$ se obtiene:

$u^2=v+v^2$

$v^2+v-0.0501252^2=0$

$v=0.00250625$

Deshaciendo el cambio

$x=\dfrac{L_0}{399.002494}$

Para calcular la Tensión usamos:

$T=2000 \ mg \dfrac{x}{L_0}$

Sustituyendo valores

$$T=5.0125 \ mg$$

Que comparado con (2) da también un error del 0.25% Por lo tanto entiendo que las 2 aproximaciones realizadas son aceptables.

PARAMETRO	SIMBOLO	Coeficiente preciso	Coeficiente aproximado
Depresión	y	19,950045	20
Alargamiento	x	399,002494	400
Tensión	T	5,0125	5

Saludos.