1r ciclo Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

[Fortuna]

Buenas tardes.

Estoy leyendo sobre algoritmos de simulación de sistemas gravitacionales de N-cuerpos.

Moving Stars Around
A Preliminary Version of what will expand into Volumes 1,2,3 of the series The Art of Computational Science

La verdad es que el libro está muy claro y explica muy bien y en detalles la problemática tanto en conste computacional, como en errores.

El problema que tengo es que dice:

The jerk can be computed through straightforward differentiation of Newton’s gravitational equations Eq. 5.2

$\vec{a}_{i}=G\sum_{j \ne i}\dfrac{M_j}{r_{ji}^2}\hat{r}_{ji}}$

$\vec{J}_{i}=G\sum_{j\ne i}M_{j}\left(\dfrac{\vec{v}_{ji}}{r_{ji}^{3}}-3\dfrac{(\vec{r}_{ji}\cdot\vec{v}_{ji})\vec{r}_{ji}}{r_{ji}^{5}}\right)$

El producto escalar que aparece me sorprendió. Intento deducir esa fórmula y no me sale exactamente igual. Los pasos que doy:

$\vec{g}_{i}=\sum_{j\ne i}\dfrac{Gm_{j}}{r_{ji}^{2}}\hat{r}_{ji}$

$\vec{J}_{i}=\dfrac{d}{dt}\vec{g}_{i}=\sum_{j\ne i}\dfrac{d}{dt}\dfrac{Gm_{j}}{r_{ji}^{2}}\hat{r}_{ji}=G\sum_{j\ne i}m_{j}\dfrac{d}{dt}\dfrac{\hat{r}_{ji}}{r_{ji}^{2}}=G\sum_{j\ne i}m_{j}\dfrac{r_{ji}^{2}\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})-\hat{r}_{ji}\dfrac{d}{dt}(r_{ji}^{2})}{r_{ji}^{4}}$

Calculo el primer sumando:

$\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\vec{r}_{ji}}{r_{ji}}=\dfrac{\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}}{r_{ji}^{2}}\Rightarrow r_{ji}^{2}\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})=\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}$

Y para el segundo, lo expreso como producto escalar

$\dfrac{d}{dt}r_{ji}^{2}=\dfrac{d}{dt}(\vec{r}_{ji}\cdot\vec{r}_{ji})=2\vec{r}_{ji}\cdot\vec{v}_{ji}$

Reemplazando y operando:

$\vec{J}_{i}=G\sum_{j\ne i}m_{j}\dfrac{\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}-\hat{r}_{ji}(2\vec{r}_{ji}\cdot\vec{v}_{ji})}{r_{ji}^{4}}=$

$=G\sum_{j\ne i}m_{j}\dfrac{\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}-\dfrac{\vec{r}_{ji}}{r_{ji}}(2\vec{r}_{ji}\cdot\vec{v}_{ji})}{r_{ji}^{4}}=$

$=G\sum_{j\ne i}m_{j}\dfrac{\vec{v}_{ji}r_{ji}^{2}-r_{ji}v_{ji}\vec{r}_{ji}-\vec{r}_{ji}(2\vec{r}_{ji}\cdot\vec{v}_{ji})}{r_{ji}^{5}}=$

$=G\sum_{j\ne i} m_{j} \left(\dfrac{\vec{v}_{ji}}{r_{ji}^{3}}-\dfrac{(r_{ji}v_{ji}+2 \vec{r}_{ji}\cdot\vec{v}_{ji})}{r_{ji}^{5}} \vec{r}_{ji} \right)$

Y el problema es que ambas expresiones coincidirían si y sólo si los vectores $\vec{r}_{ji}$ y $\vec{v}_{ji}$ siempre fueran paralelos.

Intuyo que la expresión de la derivada indica que así es, puesto que partimos sin especificar velocidades y por tanto las velocidades que salen son referidas al propio vector posición, pero como las velocidades y posiciones relativas en general nos son paralelas, no comprendo de dónde sale es supuesto o no entiendo como sale esa expresión.

Gracias de antemano.

Saludos.

[arivasm]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Calculo el primer sumando:

$\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\vec{r}_{ji}}{r_{ji}}=\dfrac{\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}}{r_{ji}^{2}}\Rightarrow r_{ji}^{2}\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})=\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}$

Creo que ése es el paso que das incorrecto: no es lo mismo $\dst\vec v=\dfrac{\dd \vec r}{\dd t}$, que es correcto (obviamente) que $\dst v=\dfrac{\dd r}{\dd t}$, que es incorrecto.

$\dst\frac{\dd r}{\dd t}$ es la componente radial de la velocidad, luego la puedes determinar proyectando la velocidad sobre el vector de posición: $\dst\frac{\dd r}{\dd t}=\frac{\vec r\cdot\vec v}{r}$

[Richard R Richard]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Tenia preparada parte de la siguiente respuesta pero al no estar seguro no me anime, ahora viendo el aporte de arivasm , veo que iba a señalar lo mismo pero sin saber que aportar como lo correcto.


En su momento programe una simulación planetaria utilizando el método de Runge Kutta, y tuve buenos resultados, también al programar la desviación de la luz por gravedad usando ecuaciones de curvatura de espacio y tiempo.

aunque si lo que estas leyendo viene de

http://www.artcompsci.org/kali/vol/n...lem/title.html leo que trabajan ya con este método.

o bien http://www.maths.ed.ac.uk/~heggie/lecture3.pdf aporta la misma fórmula con el 3 directamente.


De haber algún error en la deducción intuyo que estaria aqui

$\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\vec{r}_{ji}}{r_{ji}}=\dfrac{\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}}{r_{ji}^{2}}\Rightarrow r_{ji}^{2}\dfrac{d}{dt}(\hat{r}_{ji})=\vec{v}_{ji}r_{ji}-v_{ji}\vec{r}_{ji}$
.

[Fortuna]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Gracias a los dos.

Con la aclaración de @arivasm ya me sale lo mismo.

@Richard estaba con este tutorial Moving Stars Around pero me parecen muy útiles los enlaces que pones.

En realidad el método que usaré es

6th and 8th Order Hermite Integrator for N-body Simulations
Keigo Nitadori & Junichiro Makino


Mi intención es hacer un cluster stelar abierto primero, probando diferentes condiciones iniciales y veremos hasta donde se puede llegar.

@Richard , ya que has trabajado la desviación de la luz por la materia, me gustaría información sobre cómo obtener una distribución de masas a partir de la desviación observada por la luz. Supongo que primero es seguir tus pasos (¿podré?) y luego estudiar "algo" de óptica (si es que me dan las neuronas de sí).

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Lo que hice en visual basic, fue estudiar la forma de la geodésica creada por una única masa, aquí en el foro he preguntado como hacer para sumar las curvaturas provenientes de dos masas, no obtuve la respuesta que esperaba, o mas bien preguntar bien lo que queria y resulta que no hay una métrica mas allá de la de Schwarzchild, para obtener las geodésicas.
Siempre he pensado que las curvaturas se suman y restan como cualquier otro vector componente a componente, pero nadie me lo ha confirmado, ni he buscado literatura para profundizar lo que para mi era curiosidad.
Si te puedo dar una mano, cuenta conmigo.


He sobrevolado leyendo el método, $a_{ij}=A_{ij}$. ?????NO?

ya que has trabajado la desviación de la luz por la materia, me gustaría información sobre cómo obtener una distribución de masas a partir de la desviación observada por la luz. Supongo que primero es seguir tus pasos (¿podré?) y luego estudiar "algo" de óptica (si es que me dan las neuronas de sí).

Saludos.

Estuve pensando esto que dices, cuando la luz llega a los ojos, o al telescopio, vemos una pequeña porción de lo realmente emitido en su momento, ya que estamos viendo cosas que han sucedido hace muchísimo tiempo, remontar la historia de la emisión, es decir precisar el lugar y momento en que fueron emitidos los fotones, y que interacciones gravitatorias modificaron su curso hasta llegar nuestros detectores, no es tarea fácil. Es lo inverso a lo que yo he hecho.

Para procurar esa información dado que la luz en este instante ha llegado a esta posición, en que posición estaba en el instante t-h, donde h es el paso que le des al algoritmo, la desviación de las geodesias de esa luz dependerá de

en primer lugar de la distribución de masas locales, estrellas y planetas, ya sabemos que el sol curva el espaciotiempo, pero con tamaña masa solo lo hace en 1.75 segundos de arco cuando los rayos pasa casi rozando su superficie. http://rsta.royalsocietypublishing.o...20/571-581/291

luego la que la galaxia entera le provoca, también la proximidad a estrellas muy masivas y luego el cúmulo de de galaxias a la que pertenece. Ej cruces de Einstein, anillos, etc

pero te repito , la deflexión de la luz por gravedad, hay que calcular las geodesias de la mayoría de los cuerpos celestes que la circundan al momento de su paso, y que obviamente son las que hoy observamos alrededor del curso, por lo que no es solo modelar la trayectoria de la luz sino la de todos esos objetos, Es mas fácil usando ecuaciones diferenciales, basadas en las leyes de newton , que con las de la relatividad general, que te repito no se como sumar los efectos de N masas puntuales o una distribución espacial al mismo tiempo.

Además hay que estudiar el efecto de la expansión del universo en la frecuencia recibida, si se puede estimar la distancia desde la que partió....

Entonces para obtener la distribución de masas al momento de partir, no queda mas remedio que integrar los efectos de todo lo que circunda sobre la luz y entre esos objetos entre sí , interpolando y extrapolando las trayectorias y posiciones actuales.

No creo que te aporte mucho mas de lo que intuyo ya conoces.

[Fortuna]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Lo que hice en visual basic, fue estudiar la forma de la geodésica creada por una única masa, aquí en el foro he preguntado como hacer para sumar las curvaturas provenientes de dos masas, no obtuve la respuesta que esperaba, o mas bien preguntar bien lo que queria y resulta que no hay una métrica mas allá de la de Schwarzchild, para obtener las geodésicas.
Siempre he pensado que las curvaturas se suman y restan como cualquier otro vector componente a componente, pero nadie me lo ha confirmado, ni he buscado literatura para profundizar lo que para mi era curiosidad.
Si te puedo dar una mano, cuenta conmigo.

- - - Actualizado - - -

He sobrevolado leyendo el método, $a_{ij}=A_{ij}$. ?????NO?

Si te refieres a la aceleración, sí.
Corrijo:
Leyendo y comprobando veo que las letras con mayúsculas son las nuevas derivadas y las que llevan minúsculas son las antiguas. Imagino que es para reutilizar parte del cálculo y hacer las expresiones más sencillas y menos costosas. Si expandes el código, utilizando lo calculado y las definiciones de $\alpha$, y $\beta$ llegas a la misma expresión. Lo he hecho sólo para el $J$ y el $S$, pero me imagino que para ocurre igual para $C$


De todos modos no tengo claro que método seguir. Más que la evolución individual de cada estrella y sus trayectorias exactas, lo que quiero es la distribución de masas y velocidades en función de r, al cabo del tiempo, que es lo que se puede medir y no tener pérdidas (o ganancias) de energía y momento angular, que es lo que me ha ha pasado en mi versión alfa. (en cambio el momento sólo presentaba errores de redondeo, ya que $f_{ij}=-f_{ji}$)

Sin tener ni p. idea sobre curvaturas te diría que sí, que si son vectores se podrán sumar, pero como las ecuaciones de campo no son lineales, la curvatura producida por dos masas, en distinta posición, no será la suma de las curvaturas formadas por cada una. De todos modos, siempre se podrá integrar numéricamente.[/ni p. idea]


Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Si fuera un modelo a escala reducida, planetaria por así decirlo, la influencia del retraso en el tiempo del vector $a_{ij}$ sería despreciable, pero en escalas mas grandes el efecto de considerar la acción de la gravedad como instantánea con respecto a la posición actual del objeto j interpreto lleva resultados erróneos, es decir , hay que tener en cuenta que la dirección de $a_{ij}$ es la dirección que tenia $\dfrac{r_{ij}}c$ segundos antes, y no la actual , lo mismo para $a_{ji}$ es decir la gravedad es una onda que viaja a velocidad c, por lo que la dirección de la aceleración de la gravedad coincide con la dirección de la luz proveniente del objeto, y no de la posición actual, no se si se entiende.
es por ello que las posiciones hoy observadas son las que se deben usar tanto en $r_{ij}$ como en $a_{ij}$,

pero la posición actual del sol por ejemplo no te sirve para calcular $a_{ji}$, en Alfa Centauri, tienes que saber donde estaba el sol hace 4.2 años luz atrás.... ante esas cuestiones , yo en particular desistí, si bien es fácil calcularlo pero hay que tener bien en claro donde se coloca el sistema de referencia común a ambos o que cosa lo es... la velocidad tangencial de los objetos sobre la velocidad de la luz es un buen indicador de la diferencia de angulo entre la posición actual observada y entre $a_{ij}$ y $a_{ji}$

no alcanzo a ver si el modelo realmente aplica $f_{ij}=-f_{ji}$ como dices o aplica alguna condición de Delay temporal....

[Fortuna]

Re: Deducción del jerk (movimiento repentino, derivada de la aceleración ) en el problema de N-Cuerpos.

Si fuera un modelo a escala reducida, planetaria por así decirlo, la influencia del retraso en el tiempo del vector $a_{ij}$ sería despreciable, pero en escalas mas grandes el efecto de considerar la acción de la gravedad como instantánea con respecto a la posición actual del objeto j interpreto lleva resultados erróneos, es decir , hay que tener en cuenta que la dirección de $a_{ij}$ es la dirección que tenia $\dfrac{r_{ij}}c$ segundos antes, y no la actual , lo mismo para $a_{ji}$ es decir la gravedad es una onda que viaja a velocidad c, por lo que la dirección de la aceleración de la gravedad coincide con la dirección de la luz proveniente del objeto, y no de la posición actual, no se si se entiende.
es por ello que las posiciones hoy observadas son las que se deben usar tanto en $r_{ij}$ como en $a_{ij}$,

pero la posición actual del sol por ejemplo no te sirve para calcular $a_{ji}$, en Alfa Centauri, tienes que saber donde estaba el sol hace 4.2 años luz atrás.... ante esas cuestiones , yo en particular desistí, si bien es fácil calcularlo pero hay que tener bien en claro donde se coloca el sistema de referencia común a ambos o que cosa lo es... la velocidad tangencial de los objetos sobre la velocidad de la luz es un buen indicador de la diferencia de angulo entre la posición actual observada y entre $a_{ij}$ y $a_{ji}$

Que va!. Es justo al revés. Los desajustes se producen justo cuando la aceleración es grande, cuando se acercan mucho dos estrellas. No es un problema de física, es un problema matemático, mala resolución de las ecuaciones de movimiento con pasos finitos sin aplicar las aproximaciones adecuadas. Bajando el $dt$ (el $h$ de Runge Kutta) mejora el resultado. Pero dependiendo del método esta mejora es proporcional a $dt,dt^2,\cdots dt^n$ (todo esto lo he sabido después de ver que no me funcionaba el método).

Pero, es más, en estos modelos, se supone que la interacción gravitatoria es instantánea, son modelos newtonianos. Dudo que los programas científicos empleen retrasos en la propagación de la luz o cuestiones relativistas. Aunque creo que para el caso de escalas superiores a las galácticas, sí aplican la expansión del universo. Quitando este efecto de expansión, como la velocidad de la interacción gravitatoria es igual a la velocidad de la luz, cada estrella "siente" la atracción gravitatoria tal y como la "ve".

En tu programa, que ya emplea métodos de Runge Kutta, que recuerdo haber estudiado en su día, y que son buenas formas de integración de ecuaciones diferenciales, funciona bien porque casi toda la masa está centrada en el Sol y se pueden considerar un problema de 2 cuerpos, con alguna minúscula perturbación debida al resto de planetas. Si la masa del Sol la repartes entre todos los planetas, (y también tendrías que ajustar las velocidades iniciales para dejar el problema con la misma energía total) fallará antes, (digamos unos cientos de millones de años) si las distancias son cortas, por ejemplo en UA que si los alejas a pc. (claro, que en este caso probablemente no queden ligados gravitacionalmente).

no alcanzo a ver si el modelo realmente aplica $f_{ij}=-f_{ji}$ como dices o aplica alguna condición de Delay temporal....

Funciona porque lo construyes así. Una vez que calculas contribución a la aceleración de la estrella i por la estrella j no vuelves a calcular la contribución de la aceleración de la estrella j por la estrella i, sino que usas los cálculos ya hechos cambiados de signo y la relación de masas $\dfrac{M_i}{M_j}$. El número de interacciones que calculas es $\dfrac{N(N-1)}{2}$ En el caso más simple es escribir (chapuzeado y resumiendo para mayor legibilidad)

 for (i = 0; i <= MaxStars; i++){
    for (j = i + 1; j <= MaxStars; j++){
       ...
       aij =G*mj/rij^2
       ai+=aij
       aji=-G*mi/rij^2
       aj+=aji
       ...
  }
}

PD.
Ahora veo que has modificado el texto de un post anterior. Lo leo y seguimos si es necesario.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Lo que hice en visual basic, fue estudiar la forma de la geodésica creada por una única masa, aquí en el foro he preguntado como hacer para sumar las curvaturas provenientes de dos masas, no obtuve la respuesta que esperaba, o mas bien preguntar bien lo que queria y resulta que no hay una métrica mas allá de la de Schwarzchild, para obtener las geodésicas.
Siempre he pensado que las curvaturas se suman y restan como cualquier otro vector componente a componente, pero nadie me lo ha confirmado, ni he buscado literatura para profundizar lo que para mi era curiosidad.
Si te puedo dar una mano, cuenta conmigo.


He sobrevolado leyendo el método, $a_{ij}=A_{ij}$. ?????NO?



Estuve pensando esto que dices, cuando la luz llega a los ojos, o al telescopio, vemos una pequeña porción de lo realmente emitido en su momento, ya que estamos viendo cosas que han sucedido hace muchísimo tiempo, remontar la historia de la emisión, es decir precisar el lugar y momento en que fueron emitidos los fotones, y que interacciones gravitatorias modificaron su curso hasta llegar nuestros detectores, no es tarea fácil. Es lo inverso a lo que yo he hecho.

Para procurar esa información dado que la luz en este instante ha llegado a esta posición, en que posición estaba en el instante t-h, donde h es el paso que le des al algoritmo, la desviación de las geodesias de esa luz dependerá de

en primer lugar de la distribución de masas locales, estrellas y planetas, ya sabemos que el sol curva el espaciotiempo, pero con tamaña masa solo lo hace en 1.75 segundos de arco cuando los rayos pasa casi rozando su superficie. http://rsta.royalsocietypublishing.o...20/571-581/291

luego la que la galaxia entera le provoca, también la proximidad a estrellas muy masivas y luego el cúmulo de de galaxias a la que pertenece. Ej cruces de Einstein, anillos, etc

pero te repito , la deflexión de la luz por gravedad, hay que calcular las geodesias de la mayoría de los cuerpos celestes que la circundan al momento de su paso, y que obviamente son las que hoy observamos alrededor del curso, por lo que no es solo modelar la trayectoria de la luz sino la de todos esos objetos, Es mas fácil usando ecuaciones diferenciales, basadas en las leyes de newton , que con las de la relatividad general, que te repito no se como sumar los efectos de N masas puntuales o una distribución espacial al mismo tiempo.

Además hay que estudiar el efecto de la expansión del universo en la frecuencia recibida, si se puede estimar la distancia desde la que partió....

Entonces para obtener la distribución de masas al momento de partir, no queda mas remedio que integrar los efectos de todo lo que circunda sobre la luz y entre esos objetos entre sí , interpolando y extrapolando las trayectorias y posiciones actuales.

No creo que te aporte mucho mas de lo que intuyo ya conoces.

Ostras, el artículo es de 1919. Recuerdo haber leído que el propio Einstein hizo los cálculos como si el fotón tuviera masa y aplicara las leyes de Newton para ver como se curvaba su trayectoria y las comparó con las que se obtienen por curvatura del espacio. Me suena que el resultado era que la desviación era el doble aplicando relatividad general que suponiendo que el fotón tiene masa.

Joer! pero si es el artículo de Sr Eddington que analiza los datos tomados de la expedición que mediría la desviación la famosa desviación de la luz durante el eclipse del 29 de mayo de 1929!.

(1) The path is uninfluenced by gravitation.
(2) The energy or mass of light is subject to gravitation in the same way as ordinarymatter. If the law of gravitation is strictly the Newtonian law, this leads toan apparent displacement of a star close to the sun’s limb amounting to 0"*87outwards.
(3) The course of u, ray of light is in accordance with Einstein’s generalised relativitytheory. This leads to an apparent displacement of a star at the limb amountingto 1"*75 outwards.

Si no me equivoco, 0.87 x 2=1.74 que es casi el 1.75
_____________

Respecto a lo que me comentas, estoy casi convencido de que no es tan complicado como lo planteas y que los efectos relativistas sólo se aplican en dos situaciones. En las cercanías de un agujero negro, y en las lentes gravitacionales. La expansión creo que se trata como un factor de escala y sólo afecta a grandes distancias. En el caso de lentes gravitacionales, ni idea y espero que tampoco se tan complejo.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, he encontrado respuesta a una de tus dudas en la entrada de wikipedia Gravitational lensing formalism

In situations where general relativity can be approximated by linearized gravity, the deflection due to a spatially extended mass can be written simply as a vector sum over point masses. In the continuum limit, this becomes an integral over the density $\rho$, and if the deflection is small we can approximate the gravitational potential along the deflected trajectory by the potential along the undeflected trajectory...

Saludos.