Choque de pelota, balón y suelo

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

No he prestado atención al cálculo, pero aquí buscamos la diferencia de altura con respecto al punto de partida y allí dan el resultado respecto del suelo,
Aquí la pélota parte a 11.76 m/s desde 45 cm del suelo el centro de la pelota llega a 7.51 m de altura con respecto al suelo, y como aquí piden la diferencia entre la posición inicial a 1.45 m del suelo y la final a 7.51 m , tenemos 6.06m respecto de la posicion inicial
supongo que hay errores de redondeo...

[Xaora]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola, encontré el ejercicio resuelto en un foro:

http://www.docentesconeducacion.es/viewtopic.php?f=92&t=4018&p=29317#p29301

Resulta que los resultados son los mismos que propone arivasm, salvo el apartado b). Me gustaría saber el motivo de esa diferencia.
Un saludo!

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Yo no lo consideraría mala experiencia.

No es agradable comprobar que tu propuesta ha sido inalcanzable para cerca de 600 personas, por mucho que hubiese condicionantes que lo justifiquen.

Desconozco las condiciones y el tiempo que tenían los opositores para hacer este ejercicio, pero hablando mal y pronto: yo no querría tener un profesor que no supiese resolver este ejercicio.

Tenían 3 horas para hacer 8 ejercicios (4 de Física y 4 de Química, eligiendo previamente una de dos opciones de examen -es decir, había dos exámenes con 8 ejercicios cada uno-), algunos de ellos bastante largos, pero sin grandes complicaciones, otros muy sencillos y también algún otro realmente difícil (al menos para mí el peor era uno de Química orgánica, aunque para gustos se pintan colores).

Pero quizá lo peor de todo es la presión de jugarse un puesto de trabajo, de estar ante el culmen de todo un año de preparación (con lo que significa de esfuerzo personal y en bastantes casos económico).

Añádele un calor de mil demonios y unas sillas de pala bastante incómodas. Eso sí, no olvidemos que es una competición, con lo que las dificultades eran exactamente las mismas para todo el mundo.

Imagino que muchas de esas personas que solo fueron capaces de hacer bien el apartado a) harían perfectamente el ejercicio completo si dispusiesen de la tranquilidad de su propia casa. El que no lo hayan hecho no significa que vayan a ser malos profesores.

[Lindilo]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Yo no lo consideraría mala experiencia. El problema no es difícil: el apartado a) es el ejercicio típico que hacen los alumnos de 4º de ESO luego de recibir teoría sobre conservación de la energía. El resto del problema requiere poner algo de atención y aplicar más física de secundaria. Recuerda un poco a problema de olimpiada (2º bach) nivel regional.

Desconozco las condiciones y el tiempo que tenían los opositores para hacer este ejercicio, pero hablando mal y pronto: yo no querría tener un profesor que no supiese resolver este ejercicio.

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Sobresaliente, arivasm.

Pon tu solucion (oculta) en problemas de ingenio. Luego pondré la mia. A ver cual es más corta.

Saludos

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Creo que tengo la solución para el problema de carroza. Siguiendo un enfoque que escribiré en algún tiempo (pues la transcripción posiblemente me llevará lo mío) y que se me ocurrió en un quirófano (¡¡¡gracias carroza!!!) llego a la conclusión que cuento a continuación (estoy tan contento que quiero compartirlo ya!). Además, creo recordar que hay otro hilo por ahí, que abrió carroza, relacionado con este problema.

Tomaré como unidad de velocidad la que poseen balón y pelota cuando llegan al suelo. Por tanto, las expresiones que siguen simplemente hay que multiplicarlas por dicho valor. Definiré $\mu=10$ como el cociente entre la masa del balón y la pelota y $\theta=\arctan\dfrac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}$. Tomo como sentido positivo hacia arriba (el contrario del de Richard -no por fastidiar, sino porque es el que manejé en mi colección de cálculos, que empecé al día siguiente de la ocurrencia-).

La velocidad del balón tras el $n$-simo choque de la pelota contra el balón suelo es

$V_b=-\cos n\theta+\dfrac{1}{\sqrt{\mu}}\sin n\theta$

mientras que la de la pelota es

$v_p=\cos n\theta+\sqrt{\mu}\sin n\theta$

Aún ando dándole vueltas a las condiciones de final de los choques, a partir de esas expresiones, lo que permitiría determinar el número de éstos.

- - - Actualizado - - -

Expongo la base de la idea, que creo que también podría servir para el problema de ingenio de carroza (http://forum.lawebdefisica.com/threads/41057-Rebotes).

En los choques entre la pelota y el balón la conservación del momento lineal implica, al combinarla con la de la energía, que las velocidades resultantes son combinaciones lineales de las incidentes. Además, los coeficientes de dicha combinación dependen únicamente de la relación de masas entre ambos objetos.

Por tanto, si agrupamos en un vector $\vec v$ las velocidades (en realidad las componentes en el SR elegido) de ambos objetos (por ejemplo siendo $v_1$ la velocidad del balón y $v_2$ la de la pelota), lo anterior significa que cada choque entre ambos admite ser descrito por una ecuación matricial $\vec v_n=A\vec v_{n-1}$, donde $A$ es una matriz dependiente de la relación de masas.

De esta manera, la sucesión de choques se corresponde con una expresión de la forma $\vec v_n=A^n\vec v_0$, donde en nuestro caso, si tomamos como unidad de velocidad la de los dos objetos antes del primer choque entre ellos (con los datos de este problema, 4,43 m/s), tenemos que

$\vec v_0=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

Para encontrar de manera explícita $\vec v_n$ tan solo tenemos que diagonalizar la matriz $A=P\Lambda P^{-1}$, de manera que $\vec v_n=P\Lambda^n P^{-1}\vec v_0$

Para que carroza me pueda otorgar el aprobado daré mis resultados, con los datos de este problema: ambos objetos chocan 5 veces, resultando finalmente una velocidad ascendente para el balón de 4,52 m/s y de 3,31 m/s para la pelota. Como consecuencia, el balón asciende hasta unos humildes 4,4 cm por encima de su posición inicial, mientras que la máxima de la pelota queda 44 cm por debajo de la que tenía inicialmente.

Si consigo el aprobado, entonces desarrollaré mi planteamiento en el otro hilo, aunque todavía ando un poco liado con las condiciones de parada del problema (es decir, encontrar la $n$ final).

Añado: acabo de contrastar resultados con los de Richard y veo que son coincidentes, así que, profe, reclamo mi aprobado!

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Correcto por mi parte. A ver qué dice Arivasm (cuando lo resuelva), que es el que te tendría que aprobar las oposiciones.

Dejamos la solución analítica para los problemas de Ingenio.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola carroza ,

Solución: 

efectivamente tenia un 2 demás en mi primer cuadrática ,

la energía cinetica es constante durante los rebotes, ya que la energía potencial al mismo tiempo la consideramos constante

la expresión antes del impacto es

$\dfrac{E_c}M=\dfrac 12 V_Pi^2+\dfrac {10}2 V_Bi^2$

y la expresión luego del impacto es

$\dfrac{E_c}M=\dfrac 12 V_Pf^2+\dfrac {10}2 V_Bf^2$

Rebotes	$V_Pi$	$V_Bi$	$E_ci$	$V_Pf$	$V_Bf$	$E_cf$
1	4,42718872	4,42718872	107,8	11,67167936	2,81730192	107,8
2	11,6716794	2,81730192	107,8	14,67192296	0,18294168	107,8
3	14,671923	0,18294168	107,8	12,33692185	-2,5179428	107,8
4	12,3369218	-2,5179428	107,8	5,515767333	-4,30321172	107,8
5	5,51576733	-4,30321172	107,8	3,311120757	-4,52367637	107,8

luego del quinto rebote el Balón asciende mas rápido que la pelota...

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola, Richard. Tus rebotes no parecen conservar la energia.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola,

Solución: 

a ver si adivino o si algo aprendí ....creo que los rebotes son 3

rebotes	$V_Pi$	$V_Bi$	$V_Pf$	$V_Bf$
1	4,42718872	4,42718872	16,43241235	4,0146709
2	16,4324123	4,0146709	20,68021226	0,59403881
3	20,6802123	0,59403881	1,560502431	-6,54801368

Si los datos cierran, lo que hice es el planteo de la conservación del momento lineal de cada rebote y asignarle y valor fijo a la energía cinetica inicial, que debería conservarse en cada rebote unos 430.2 J, luego resolver una cuadrática para hallar los valores de las velocidades finales, e iterar nuevamente pero con la velocidad de la pelota invertida de signo, ya que ha rebotado contra el piso...
para el cuarto rebote el balón asciende más rápido de lo que lo hace la pelota al descender y no la puede alcanzar cuando vuelva a ascender...

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

En primer lugar, acepto el reto. Otra cosa es que salga airoso del mismo

Eso sí, quiero aclarar que no había ninguna maldad por mi parte (dejando de lado el hecho de que, en todo caso, estaría en quienes lo seleccionaron de entre los 80 que se propusieron!). De algún modo quise conjugar el que fuese asequible a partir de principios generales (es decir, que no requiriese de conocimientos específicos), que sirviese para marcar algo de nivel y también, como ya comenté, que tuviese un cierto escalonamiento en su dificultad, de manera que todo el mundo (no sucedió así) pudiese hacer el apartado a), que el b) fuese accesible a quien se manejase con cierta soltura en los problemas de choque (independientemente de pequeños errores como el que cometió en su momento Richard) mientras que el c) sí tenía trampas ocultas (la ganancia de energía cinética por parte del balón, en el SR del laboratorio).

Bonitos enfoques los que planteas para los apartados b) y c). Además son una muestra más de cómo la claridad de ideas con los principios generales pueden simplificar notablemente los problemas.

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

He vuelto a tener la experiencia (confieso que interesante y positiva en general) de formar parte de un tribunal de oposiciones para profesores de enseñanza secundaria. Y también he vuelto a tener la mala experiencia de proponer un ejercicio que fue seleccionado para formar parte del examen y que nadie resolvió completamente (menos mal que otro de los que propuse también fue seleccionado y sí fue resuelto correctamente por muchas personas).

Obviamente, entiendo que juega un papel importante la escasez de tiempo, los nervios y todas las condiciones que rodean a un examen de esas características. No quisiera que nadie interpretara mis palabras anteriores como una crítica hacia ninguno de los opositores que abordaron el ejercicio (muchos de los cuales hicieron correctamente el apartado a).

Así pues, una vez finalizado el proceso y con la curiosidad por saber qué opináis, dejo aquí el enunciado. Para no influir, no pondré mi forma de resolverlo. Tan solo pondré mis resultados, para que podáis contrastarlos.


"Un experimento sencillo y que suele sorprender al alumnado consiste en dejar caer un balón con una pelota encima: después de la colisión contra el suelo la pelota se eleva bastante más que su posición inicial de partida.

Con el propósito de hacer algunos cálculos al respecto, considere la siguiente situación: una pelota de masa $M$ y 5,0 cm de radio se sitúa encima de un balón de masa $10 M$ y 20 cm de radio. Ambos se dejan caer simultáneamente, partiendo del reposo y con la pelota justo encima del balón, desde una altura de 1,00 m sobre el suelo, medida desde la parte inferior del balón, como se indica en la figura.

[ATTACH=CONFIG]13545[/ATTACH]

Supondremos que la influencia del aire es despreciable, que la colisión entre el balón y el suelo es perfectamente elástica y que los movimientos son estrictamente verticales. Asimismo, supondremos que las colisiones son de duración despreciable, produciéndose la del balón con el suelo antes que la del balón con la pelota, pero con una separación temporal que también es despreciable.

a) ¿Qué velocidad poseerá la pelota en el instante en el que el balón toque el suelo?
b) Si la colisión del balón con la pelota es perfectamente elástica, ¿qué altura máxima alcanzará el centro de la pelota respecto de su posición de partida?
c) Si la colisión del balón con la pelota no es perfectamente elástica, de manera que la altura máxima que alcanza es 2,00 m inferior a la determinada en el apartado anterior, ¿cuánta energía se disipó en esa colisión? (exprese el resultado en función de $M$; recuerde que el choque contra el suelo sigue considerándose elástico).

Dato: $g = 9,8\ \rm m\cdot s^{-2}$."


Mis soluciones son a) 4,43 m/s; b) 5,95 m; c) 14,3 J/kg $M$

Hola. Es un problema bonito, y entiendo por qué mucha gente tendría problemas en hacerlo. Cuesta imaginarse que, durante un instante, el balón ha invertido su movimiento y se dirige hacia arriba, mientras que la pelota sigue hacia abajo.

a) es trivial. $1/2 M v^2 = M g h$, y aquí M puede ser la masa del balon, la masa de la pelota, o la masa de ambas.

b) Yo lo resolvería usando el sistema de referencia del centro de masas. la masa M del balon, tras rebotar, se mueve con velocidad +v (v obtenido de a), mientras que la masa m de la pelota sigue con -v (hacia abajo). El centro de masas se mueve con velocidad (M-m)/(M+m) v , y a partir de aqui calculamos las velocidades relativas con respecto al centro de masas de pelota y balon (-2M/(m+M) v y 2m/(M+m) v respectivamente. El choque elastico no cambia la velocidad del centro de masas, pero invierte las velocidades relativas con respecto a este, que pasan a ser 2M/(m+M)v y -2m/(M+m)v respectivamente.
Reobteniendo las velocidades en el laboratorio, nos da para el balon (M-3m)/(M+m) v y para el balon (3M-m)/(M+m) v. Con esto, tenemos que la pelota tiene una velocidad, tras el choque, que es (3M-m)/(M+m) veces mayor que antes del choque, lo que implica una energia cinética ((3M-m)/(M+m))^2 mayor que antes del choque, lo que implica que llega a una altura ((3M-m)/(M+m))^2 mayor que la altura inicial.

c) Si el choque es inelástico, las velocidades relativas balon-CM y pelota-CM tras el choque no son 2M/(m+M)v y -2m/(M+m)v, sino que son menores. Metemos un factor f de no-elasticidad, y podemos escribirlas como 2M/(m+M) vf y -2m/(M+m) vf. Obtenemos f a partir del dato que nos dan, y obtenemos la energia cinética perdida como E_c = Ec_0 (1-f^2), conde Ec_0 es la energia cinética desde el sistema centro de masas, que es la única que puede modificarse por la no-elasticidad.

Creo que, en justa compensación a sus opositores, y como castigo a su (percibida) maldad, Arivasm debería resolver el problema en el que invertimos pelota y balón: El balon encima, con su masa M=10m, y la pelota debajo, con su masa m.

Y sí, teniendo en cuenta todos los rebotes que puede tener la pelota m entre suelo y balón.

Un saludo

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

en el punto c la velocidad de la pelota sera mayor , que en e caso elástico, es decir ascenderá a mas altura.

Una de las cosas que lía de este ejercicio es el tener que llamar de diferente manera a cada uno de los objetos, para poder diferenciarlos. Entiendo que te refieres al balón.

Efectivamente: puesto que la pelota de tenis alcanza menos altura, eso implica que en el choque adquiere menos velocidad que la que adquirió en el caso elástico. Por tanto, debido a la conservación del momento lineal en el choque, con el balón de fútbol sucede lo contrario: respecto del caso elástico el balón adquiere energía!.

En el cómputo de la variación que pide c) habrá un término de pérdida (la pelota de tenis) y uno de ganancia (el balón de fútbol). El resultado final, la disipación de la energía en el choque, tendrá dos contribuciones de diferente signo.

La pérdida de energía asociada con la pelota de tenis, se calcula directamente con la diferencia de altura máxima entre ambos casos. Para la ganancia de energía asociada con el balón de fútbol hay que pasar antes inevitablemente por la ecuación (3).

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Aha!!! acabo de releer la parte del enunciado , que había obviado.

Tiene sentido, lo que exponen, en el punto c la velocidad de la pelota balon grande inferior sera mayor , que en el caso elástico, es decir ascenderá a mas altura.

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Voy a jugar un poco más a tribunal. Efectivamente, Richard olvidó tomar en consideración que tras el choque (elástico) del balón contra el suelo la velocidad del balón se invierte, pero la de la pelota todavía no. La ecuación (3) debe ser corregida como ha señalado Alriga.

Con respecto a c) me temo que la cosa no pasa por el coeficiente de restitución. Recordemos que la ecuación (3), corregida, debe cumplirse igualmente. A mí me causó sorpresa comprobar qué le ocurre al balón, al compararlo con el caso elástico.