1r ciclo Choque de pelota, balón y suelo

[arivasm]

He vuelto a tener la experiencia (confieso que interesante y positiva en general) de formar parte de un tribunal de oposiciones para profesores de enseñanza secundaria. Y también he vuelto a tener la mala experiencia de proponer un ejercicio que fue seleccionado para formar parte del examen y que nadie resolvió completamente (menos mal que otro de los que propuse también fue seleccionado y sí fue resuelto correctamente por muchas personas).

Obviamente, entiendo que juega un papel importante la escasez de tiempo, los nervios y todas las condiciones que rodean a un examen de esas características. No quisiera que nadie interpretara mis palabras anteriores como una crítica hacia ninguno de los opositores que abordaron el ejercicio (muchos de los cuales hicieron correctamente el apartado a).

Así pues, una vez finalizado el proceso y con la curiosidad por saber qué opináis, dejo aquí el enunciado. Para no influir, no pondré mi forma de resolverlo. Tan solo pondré mis resultados, para que podáis contrastarlos.


"Un experimento sencillo y que suele sorprender al alumnado consiste en dejar caer un balón con una pelota encima: después de la colisión contra el suelo la pelota se eleva bastante más que su posición inicial de partida.

Con el propósito de hacer algunos cálculos al respecto, considere la siguiente situación: una pelota de masa $M$ y 5,0 cm de radio se sitúa encima de un balón de masa $10 M$ y 20 cm de radio. Ambos se dejan caer simultáneamente, partiendo del reposo y con la pelota justo encima del balón, desde una altura de 1,00 m sobre el suelo, medida desde la parte inferior del balón, como se indica en la figura.

Supondremos que la influencia del aire es despreciable, que la colisión entre el balón y el suelo es perfectamente elástica y que los movimientos son estrictamente verticales. Asimismo, supondremos que las colisiones son de duración despreciable, produciéndose la del balón con el suelo antes que la del balón con la pelota, pero con una separación temporal que también es despreciable.

a) ¿Qué velocidad poseerá la pelota en el instante en el que el balón toque el suelo?
b) Si la colisión del balón con la pelota es perfectamente elástica, ¿qué altura máxima alcanzará el centro de la pelota respecto de su posición de partida?
c) Si la colisión del balón con la pelota no es perfectamente elástica, de manera que la altura máxima que alcanza es 2,00 m inferior a la determinada en el apartado anterior, ¿cuánta energía se disipó en esa colisión? (exprese el resultado en función de $M$; recuerde que el choque contra el suelo sigue considerándose elástico).

Dato: $g = 9,8\ \rm m\cdot s^{-2}$."


Mis soluciones son a) 4,43 m/s; b) 5,95 m; c) 14,3 J/kg $M$

[NaCl]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Te digo como lo resolvería con palabras

a) Por la conservación de la energía se puede saber la velocidad que alcanza la pelota a cualquier altura.
b) Como la colisión es perfectamente elástica la velocidad del balón simplemente cambia de signo. Ahora sería resolver una colisión de 2 partículas en la cual conocemos las velocidades iniciales y queremos conocer las finales. Aplicando la conservación del momento y la de la energía (por que también es una colisión elástica) podemos obtenerlas. Solo quedaría calcular la altura de la pelota, que lo podemos hacer ya que conocemos su velocidad y posición iniciales.
c) La energía disipada sería la diferencia entre la energía potencial gravitatoria asociada a la altura alcanzada en el apartado anterior y la alcanzada en este.

A mi nunca me hicieron el experimento ese en clase así que he mirado en internet a ver si lo encontraba y lo he hecho. Es la leche todo lo que sube la bola, parece un cohete
https://www.youtube.com/watch?v=2UHS883_P60

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

En primer lugar, muchas gracias por tu respuesta.

Coincido con a) y b), aunque a) tiene su pequeña trampita, en la que cayó bastante gente: los radios no importan lo más mínimo.

Donde discrepo es con tu c). Reducir solo la energía de la pelota implica alterar la conservación del momento lineal en el choque con el balón: si la velocidad del balón tras el choque con la pelota es la misma que en b) entonces la de la pelota tras dicho choque volvería a ser la misma que en b), lo que implicaría la misma altura que en ese caso.

Aclaro que el ejercicio lo propuse con la idea de que tuviese una dificultad escalonada, así como que requiriese de una cierta claridad de ideas. Por ejemplo, hubo bastante gente que se echó a hacer el apartado a) por cinemática: primero calcular cuánto tarda en caer el balón y después trasladar ese resultado a la caída de la pelota. El único problema de ese enfoque es que consume un tiempo innecesario, frente a darse cuenta de que, si el aire no influye, como nos enseñó Galileo, ambos cuerpos caen exactamente a la vez, con lo que se trata de determinar qué velocidad posee la pelota (y el balón) después de caer 1 m.

Aprovecho para contar que hay por la red quien ha hecho esto mismo con un hámster y un balón de fitness (y no veáis el cachondeo que armaron con este vídeo y mi problema algunos de mis compañeros de tribunales):

[NaCl]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Tienes razón sobre la c). Lo que creo que habría que hacer entonces es, como conocemos la altura que alcanza la pelota podemos calcular usando la conservación de la energía la velocidad que tenía cuando se produce el choque. Ahora tenemos las 2 velocidades iniciales y una de las velocidades finales. Aplicando la conservación del momento lineal podemos calcular la velocidad que nos falta y ya podríamos calcular la variación de energía.

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

mi respuesta, aunque no aspire a profesor

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la verdad es que el punto a

se resuelve por energías , igualando la potencial inicial a la cinetica al momento del impacto

$$\frac 12 mv^2=mg\Delta h$$

de donde

$$v=\sqrt{2g\Delta h}=4.43m/s<br />$$

El punto b nunca lo resolvi ni siquiera en la carrera de ingeniería (por nada en particular , supongo que no se dio la oportunidad), por eso me desafíe a entregarte una respuesta.

supongo que hay que plantear la conservación del momento lineal y la de la energía cinetica por ser choques perfectamente elásticos, pero claro como se reparten entre ambos cuerpos es el tema....

$$Mv+10Mv=Mv_{1f}+10Mv_{2f}$$

$$\frac 12 Mv^2+\frac 12 10Mv^2=\frac 12 Mv_{1f}^2+\frac 12 10Mv_{2f}^2$$

lo voy haciendo mientras escribo el latex tal cual un examen

$$11v=v_{1f}+10v_{2f}$$

$$11v^2=v_{1f}^2+ 10v_{2f}^2$$

despejando$v_{1f}$ y reemplazando 3' en 4'

$11v^2=\left[11v-10v_{2f}\right]^2+ 10v_{2f}^2$

$0=-20v\, v_{2f}+110v_{2f}^2$

de donde $v_{2f}=0.804m/s$

y $v_{1f}=40.64m/s$

con esa velocidad alcanza una altura de

$\Delta h=\dfrac{v_{1f}^2}{2g}=84 m$

que no coincide con tu resultado así que he pifiado....


y el c lo encaro por la perdida de energía potencial , que no solo debe ser de la pelota sino del balón también, por lo que si el coeficiente de restitución es el mismo para ambos cuerpos el total es 11 veces la pérdida de la pelota sola

$\Delta E=M 11\cdot 2\cdot g=M 215.6 J/kg$

aqui no tengo claro donde esta el yerro

y de otro modo revisando la wikipedia llego a 53.25 M J/kg usando el coeficiente de restitución como $C_R=\sqrt{\dfrac{\Delta h-2m}{\Delta h}$ pero como la altura la tengo mal ....

me vuelvo a casa bochado desde Rusia en la primera ronda...no me salva ni Messi.

He visto que hay transferencia de momento lineal entre ambos balones en el video , que no se como es matematicamente la transferencia, Gracias , bonito Problema, Saludos

[Alriga]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Para Richard:

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No tengo tiempo de LaTeX, mi mujer se me lleva de compras, pero creo que el quid de la cuestión es que cuando el balón grande inicia su movimiento hacia arriba y choca con la pelota pequeña, ésta todavía viaja hacia abajo, pues no se "ha enterado" que el balón grande ha chocado contra el suelo. Con ello tu ecuación (3) queda:

$10Mv-Mv=Mv_{1f}+10Mv_{2f}$

Supongo que a partir de aquí ya deberá salir.

Por otro lado, comprueba que la energía cinética del lado izquierdo de tu ecuación (4) entiendo que debe ser también simplemente $(M+10M) g h$ que es la potencial inicial.

Perdón por las prisas, saludos.

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Voy a jugar un poco más a tribunal. Efectivamente, Richard olvidó tomar en consideración que tras el choque (elástico) del balón contra el suelo la velocidad del balón se invierte, pero la de la pelota todavía no. La ecuación (3) debe ser corregida como ha señalado Alriga.

Con respecto a c) me temo que la cosa no pasa por el coeficiente de restitución. Recordemos que la ecuación (3), corregida, debe cumplirse igualmente. A mí me causó sorpresa comprobar qué le ocurre al balón, al compararlo con el caso elástico.

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Aha!!! acabo de releer la parte del enunciado , que había obviado.

Tiene sentido, lo que exponen, en el punto c la velocidad de la pelota balon grande inferior sera mayor , que en el caso elástico, es decir ascenderá a mas altura.

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

en el punto c la velocidad de la pelota sera mayor , que en e caso elástico, es decir ascenderá a mas altura.

Una de las cosas que lía de este ejercicio es el tener que llamar de diferente manera a cada uno de los objetos, para poder diferenciarlos. Entiendo que te refieres al balón.

Efectivamente: puesto que la pelota de tenis alcanza menos altura, eso implica que en el choque adquiere menos velocidad que la que adquirió en el caso elástico. Por tanto, debido a la conservación del momento lineal en el choque, con el balón de fútbol sucede lo contrario: respecto del caso elástico el balón adquiere energía!.

En el cómputo de la variación que pide c) habrá un término de pérdida (la pelota de tenis) y uno de ganancia (el balón de fútbol). El resultado final, la disipación de la energía en el choque, tendrá dos contribuciones de diferente signo.

La pérdida de energía asociada con la pelota de tenis, se calcula directamente con la diferencia de altura máxima entre ambos casos. Para la ganancia de energía asociada con el balón de fútbol hay que pasar antes inevitablemente por la ecuación (3).

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

He vuelto a tener la experiencia (confieso que interesante y positiva en general) de formar parte de un tribunal de oposiciones para profesores de enseñanza secundaria. Y también he vuelto a tener la mala experiencia de proponer un ejercicio que fue seleccionado para formar parte del examen y que nadie resolvió completamente (menos mal que otro de los que propuse también fue seleccionado y sí fue resuelto correctamente por muchas personas).

Obviamente, entiendo que juega un papel importante la escasez de tiempo, los nervios y todas las condiciones que rodean a un examen de esas características. No quisiera que nadie interpretara mis palabras anteriores como una crítica hacia ninguno de los opositores que abordaron el ejercicio (muchos de los cuales hicieron correctamente el apartado a).

Así pues, una vez finalizado el proceso y con la curiosidad por saber qué opináis, dejo aquí el enunciado. Para no influir, no pondré mi forma de resolverlo. Tan solo pondré mis resultados, para que podáis contrastarlos.


"Un experimento sencillo y que suele sorprender al alumnado consiste en dejar caer un balón con una pelota encima: después de la colisión contra el suelo la pelota se eleva bastante más que su posición inicial de partida.

Con el propósito de hacer algunos cálculos al respecto, considere la siguiente situación: una pelota de masa $M$ y 5,0 cm de radio se sitúa encima de un balón de masa $10 M$ y 20 cm de radio. Ambos se dejan caer simultáneamente, partiendo del reposo y con la pelota justo encima del balón, desde una altura de 1,00 m sobre el suelo, medida desde la parte inferior del balón, como se indica en la figura.

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Supondremos que la influencia del aire es despreciable, que la colisión entre el balón y el suelo es perfectamente elástica y que los movimientos son estrictamente verticales. Asimismo, supondremos que las colisiones son de duración despreciable, produciéndose la del balón con el suelo antes que la del balón con la pelota, pero con una separación temporal que también es despreciable.

a) ¿Qué velocidad poseerá la pelota en el instante en el que el balón toque el suelo?
b) Si la colisión del balón con la pelota es perfectamente elástica, ¿qué altura máxima alcanzará el centro de la pelota respecto de su posición de partida?
c) Si la colisión del balón con la pelota no es perfectamente elástica, de manera que la altura máxima que alcanza es 2,00 m inferior a la determinada en el apartado anterior, ¿cuánta energía se disipó en esa colisión? (exprese el resultado en función de $M$; recuerde que el choque contra el suelo sigue considerándose elástico).

Dato: $g = 9,8\ \rm m\cdot s^{-2}$."


Mis soluciones son a) 4,43 m/s; b) 5,95 m; c) 14,3 J/kg $M$

Hola. Es un problema bonito, y entiendo por qué mucha gente tendría problemas en hacerlo. Cuesta imaginarse que, durante un instante, el balón ha invertido su movimiento y se dirige hacia arriba, mientras que la pelota sigue hacia abajo.

a) es trivial. $1/2 M v^2 = M g h$, y aquí M puede ser la masa del balon, la masa de la pelota, o la masa de ambas.

b) Yo lo resolvería usando el sistema de referencia del centro de masas. la masa M del balon, tras rebotar, se mueve con velocidad +v (v obtenido de a), mientras que la masa m de la pelota sigue con -v (hacia abajo). El centro de masas se mueve con velocidad (M-m)/(M+m) v , y a partir de aqui calculamos las velocidades relativas con respecto al centro de masas de pelota y balon (-2M/(m+M) v y 2m/(M+m) v respectivamente. El choque elastico no cambia la velocidad del centro de masas, pero invierte las velocidades relativas con respecto a este, que pasan a ser 2M/(m+M)v y -2m/(M+m)v respectivamente.
Reobteniendo las velocidades en el laboratorio, nos da para el balon (M-3m)/(M+m) v y para el balon (3M-m)/(M+m) v. Con esto, tenemos que la pelota tiene una velocidad, tras el choque, que es (3M-m)/(M+m) veces mayor que antes del choque, lo que implica una energia cinética ((3M-m)/(M+m))^2 mayor que antes del choque, lo que implica que llega a una altura ((3M-m)/(M+m))^2 mayor que la altura inicial.

c) Si el choque es inelástico, las velocidades relativas balon-CM y pelota-CM tras el choque no son 2M/(m+M)v y -2m/(M+m)v, sino que son menores. Metemos un factor f de no-elasticidad, y podemos escribirlas como 2M/(m+M) vf y -2m/(M+m) vf. Obtenemos f a partir del dato que nos dan, y obtenemos la energia cinética perdida como E_c = Ec_0 (1-f^2), conde Ec_0 es la energia cinética desde el sistema centro de masas, que es la única que puede modificarse por la no-elasticidad.

Creo que, en justa compensación a sus opositores, y como castigo a su (percibida) maldad, Arivasm debería resolver el problema en el que invertimos pelota y balón: El balon encima, con su masa M=10m, y la pelota debajo, con su masa m.

Y sí, teniendo en cuenta todos los rebotes que puede tener la pelota m entre suelo y balón.

Un saludo

[arivasm]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

En primer lugar, acepto el reto. Otra cosa es que salga airoso del mismo

Eso sí, quiero aclarar que no había ninguna maldad por mi parte (dejando de lado el hecho de que, en todo caso, estaría en quienes lo seleccionaron de entre los 80 que se propusieron!). De algún modo quise conjugar el que fuese asequible a partir de principios generales (es decir, que no requiriese de conocimientos específicos), que sirviese para marcar algo de nivel y también, como ya comenté, que tuviese un cierto escalonamiento en su dificultad, de manera que todo el mundo (no sucedió así) pudiese hacer el apartado a), que el b) fuese accesible a quien se manejase con cierta soltura en los problemas de choque (independientemente de pequeños errores como el que cometió en su momento Richard) mientras que el c) sí tenía trampas ocultas (la ganancia de energía cinética por parte del balón, en el SR del laboratorio).

Bonitos enfoques los que planteas para los apartados b) y c). Además son una muestra más de cómo la claridad de ideas con los principios generales pueden simplificar notablemente los problemas.

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola,

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a ver si adivino o si algo aprendí ....creo que los rebotes son 3

rebotes	$V_Pi$	$V_Bi$	$V_Pf$	$V_Bf$
1	4,42718872	4,42718872	16,43241235	4,0146709
2	16,4324123	4,0146709	20,68021226	0,59403881
3	20,6802123	0,59403881	1,560502431	-6,54801368

Si los datos cierran, lo que hice es el planteo de la conservación del momento lineal de cada rebote y asignarle y valor fijo a la energía cinetica inicial, que debería conservarse en cada rebote unos 430.2 J, luego resolver una cuadrática para hallar los valores de las velocidades finales, e iterar nuevamente pero con la velocidad de la pelota invertida de signo, ya que ha rebotado contra el piso...
para el cuarto rebote el balón asciende más rápido de lo que lo hace la pelota al descender y no la puede alcanzar cuando vuelva a ascender...

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola, Richard. Tus rebotes no parecen conservar la energia.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Hola carroza ,

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efectivamente tenia un 2 demás en mi primer cuadrática ,

la energía cinetica es constante durante los rebotes, ya que la energía potencial al mismo tiempo la consideramos constante

la expresión antes del impacto es

$\dfrac{E_c}M=\dfrac 12 V_Pi^2+\dfrac {10}2 V_Bi^2$

y la expresión luego del impacto es

$\dfrac{E_c}M=\dfrac 12 V_Pf^2+\dfrac {10}2 V_Bf^2$

Rebotes	$V_Pi$	$V_Bi$	$E_ci$	$V_Pf$	$V_Bf$	$E_cf$
1	4,42718872	4,42718872	107,8	11,67167936	2,81730192	107,8
2	11,6716794	2,81730192	107,8	14,67192296	0,18294168	107,8
3	14,671923	0,18294168	107,8	12,33692185	-2,5179428	107,8
4	12,3369218	-2,5179428	107,8	5,515767333	-4,30321172	107,8
5	5,51576733	-4,30321172	107,8	3,311120757	-4,52367637	107,8

luego del quinto rebote el Balón asciende mas rápido que la pelota...

[carroza]

Re: Choque de pelota, balón y suelo

Correcto por mi parte. A ver qué dice Arivasm (cuando lo resuelva), que es el que te tendría que aprobar las oposiciones.

Dejamos la solución analítica para los problemas de Ingenio.

Saludos