2o ciclo Momento angular, dos masas y polea

[elmecama]

Buenas tardes. Necesito pistas para resolver un problema.

Resulta que tenemos el sistema de la figura:




Las condiciones iniciales del sistema son $M$ en reposo y $m$ con una velocidad $v_0$ perpendicular al tramo $OB$, y el ángulo $\varphi$ es cero (las masas están alineadas). El sistema está sobre un plano horizontal y no hay rozamiento, así que no se tiene en cuenta ni la gravedad ni la fuerza de rozamiento.

Tengo que encontrar las ecuaciones de movimiento y hallar la tensión en el hilo.

El problema que tengo es que cuando voy a escribir las ecuaciones teniendo en cuenta cada masa por separado, llego a una contradicción y no sé por qué. Porque, claramente:

$T=M\cdot \ddot r$ donde $r$ es el largo de la cuerda que va de O a A.

Pero, a la vez

$-T=m\cdot \ddot a$, donde $a$ es el largo de la cuerda que va de O a B.

No entiendo qué es lo que me está faltando o qué es lo que estoy haciendo mal... si alguien me puede dar una mano estaré muy agradecida.

Saludos.

[arivasm]

Re: Momento angular, dos masas y polea

En primer lugar, ten en cuenta que la tensión que actúa sobre A está dirigida hacia O, mientras que $r$ es una magnitud creciente en sentido opuesto. Por tanto, la segunda ley aplicada a A será $T=-M\ddot r$.

Ahora bien, encuentro más cómodo manejar para $r$ no la distancia entre O y A, sino la distancia entre O y B, debido a que la complejidad del movimiento no estará en A, sino en B. Permíteme ese cambio, de manera que la ecuación anterior se convierta en $T=M\ddot r$

En segundo lugar, la aceleración de B tiene tanto componentes radiales como angulares, de manera que aplicando la 2ª ley en dichas componentes será, teniendo en cuenta que $a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2$ y que $a_\varphi=2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi$,

$T=-m(\ddot r-r\dot\varphi^2)$
$2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi=0$

Por supuesto, la segunda ecuación simplemente expresa el hecho de que la tensión es una fuerza central, de manera que se conserva el momento angular respecto de O y entonces $r^2\dot\varphi=cte=r_0v_0$