2o ciclo Sistema de referencia inerciales

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Leyendo un poco un texto, hay un fragmento que no logro entender:

Sea S un sistema inercial, y consideremos otro sistema de referencia S' cuyo origen tiene coordenadas
R(t) respecto de S en cada instante t (siendo t el tiempo medido en S). Supondremos también que en
el instante t los ejes de S' están relacionados con los de S por una transformación lineal (invertible)
A(t).
las coordenadas de una partícula libre respecto de S' en t'=t-to
están dadas por
r'(t')=A(t)(r(t)-R(t)) t=t'+to
r(t) la posición de la partícula respecto a S.

Mi duda está en que no logro imaginarme por qué multiplica por A(t), es decir, si es solo r(t)-R(t) entonces es evidente, pero cuando multiplica por la transformación lineal no logro ver que sea la forma correcta de obtener la posición respecto a S`. Por otro lado, ¿Dentro del paréntesis no debería ser t-to en vez de solo t?

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Re: Sistema de referencia inerciales

A lo mejor te es útil imaginarte $A(t)$ como una rotación (solo será el caso si su determinante es 1, pero el razonamiento es análogo). Quizá también sea interesante olvidarse por un momento de la traslación R(t). Si los ejes de un sistema están rotados respecto del otro mediante la matriz A, entonces la posición de un punto cualquiera medido en el sistema S' será igual al radio-vector medido en S multiplicado (por delante) por la matriz A.

Lo que te dicen es análogo, sólo que al no restringuir las propiedades de A entonces es posible que los ejes de S' no sean ortonormales ni mantengan la escala.

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Re: Sistema de referencia inerciales

¿No sabrás de alguna animación donde se vea más o menos? Es que si tengo una partícula con vector de posición r(t) y quiero saber sus coordenadas respecto a S', lo que me hace A(t) es rotar dicha posición y por tanto las nuevas coordenadas no indicarían la posición de la partícula, sino de la posición rotada.
¿No habría que multiplicarlo por la inversa de la matriz?

Y otra duda, teniendo en cuenta la ley de transformación de la fuerza bajo la transformación de Galileo, tenemos que F`(t`,r`(t),v`(t))=AF(t,r(t),v(t)), donde F' es la fuerza medida en el sistema S' y F en S, y A es una transformación lineal constante, ahora bien en los distintos sistemas yo no veo que la segunda ley de newton tenga la misma forma, solo si A es la matriz identidad, por lo tanto no veo que se cumpla el principio de relatividad de Galileo en todos los sistemas inerciales.

S y S' son SI.

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Re: Sistema de referencia inerciales

¿No sabrás de alguna animación donde se vea más o menos?

No.

Es que si tengo una partícula con vector de posición r(t) y quiero saber sus coordenadas respecto a S', lo que me hace A(t) es rotar dicha posición y por tanto las nuevas coordenadas no indicarían la posición de la partícula, sino de la posición rotada.
¿No habría que multiplicarlo por la inversa de la matriz?

Lo que te dice el enunciado es que A te da la relación de S a S'. Por lo tanto, para transformar una medición hecha en S a otra hecha en S' necesitas multiplicar por A.

No es que A te de la posición rotada (en el caso que A fuera una matriz de rotación, que no tiene porqué serlo; solo lo puse como caso particular más sencillo). Lo que hace A es compensar la rotación de los ejes de S' respecto de los de S.

Y otra duda, teniendo en cuenta la ley de transformación de la fuerza bajo la transformación de Galileo, tenemos que F`(t`,r`(t),v`(t))=AF(t,r(t),v(t)), donde F' es la fuerza medida en el sistema S' y F en S, y A es una transformación lineal constante, ahora bien en los distintos sistemas yo no veo que la segunda ley de newton tenga la misma forma, solo si A es la matriz identidad, por lo tanto no veo que se cumpla el principio de relatividad de Galileo en todos los sistemas inerciales.

S y S' son SI.

Si $\dd A / \dd t \neq 0$ o $\dd^2 R/\dd t^2 \neq 0$, entonces el sistema S' no es inercial (suponiendo que S sí sea inercial). Los sistemas inerciales solo pueden relacionarse entre si por rotaciones constantes, traslaciones constantes y/o cambios de velocidad uniformes. De hecho, la igualdad que has puesto no será cierta en general, la fuerza no sigue la misma transformación que la posición en sistemas no inerciales (puedes comprobarlo derivando dos veces la ecuación original, te saldrán términos de fuerzas ficticias, que tendrán a ver con la aceleración lineal, la aceleración centrípeta y la de Coriolis).

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Re: Sistema de referencia inerciales

Lo que te dice el enunciado es que A te da la relación de S a S'. Por lo tanto, para transformar una medición hecha en S a otra hecha en S' necesitas multiplicar por A.

No es que A te de la posición rotada (en el caso que A fuera una matriz de rotación, que no tiene porqué serlo; solo lo puse como caso particular más sencillo). Lo que hace A es compensar la rotación de los ejes de S' respecto de los de S.

Pues no lo logro ver porque me sigue dando que es la inversa. Sea $(\vec{{e}_{ 1}},\vec{{e}_{ 2}},\vec{{e}_{ 3}})$ `la base de S y $(\vec{{e'}_{ 1}},\vec{{e'}_{ 2}},\vec{{e'}_{ 3}} )$la respectiva base de S'.
Supongamos que tenemos la transformación lineal A de S a S', es decir, $\vec{{e'}_{ i}}=A \vec{{e}_{ i}}$ $i=1,2,3$. Sea $({c}_{1 },{c}_{2 },{c}_{3})$ las coordenadas respecto a S y $({c'}_{1 },{c'}_{2 },{c'}_{3})$ respecto a S'.
Tenemos que $\sum_{i = 1}^3 {c}_{i }\vec{{e}_{ i}}=\sum_{n = 1}^3 {c}_{i } (\sum_{k = 1}^3 {{ ({A}^{-1 })}^{k }}_{ i} \vec{{e'}_{ k}})=\sum_{i,k = 1}^3 {c}_{i } {{ ({A}^{-1 })}^{k }}_{ i} \vec{{e'}_{ k}}$, es decir, ${c'}_{k }=\sum_{i = 1}^3 {c}_{i } {{ ({A}^{-1 })}^{k }}_{ i}$ o en notación vectorial $\vec{c'}={A}^{ -1}\vec{c}$. Me sale la inversa...

- - - Actualizado - - -

Si $\dd A / \dd t \neq 0$ o $\dd^2 R/\dd t^2 \neq 0$, entonces el sistema S' no es inercial (suponiendo que S sí sea inercial). Los sistemas inerciales solo pueden relacionarse entre si por rotaciones constantes, traslaciones constantes y/o cambios de velocidad uniformes. De hecho, la igualdad que has puesto no será cierta en general, la fuerza no sigue la misma transformación que la posición en sistemas no inerciales (puedes comprobarlo derivando dos veces la ecuación original, te saldrán términos de fuerzas ficticias, que tendrán a ver con la aceleración lineal, la aceleración centrípeta y la de Coriolis).

Ya dije que S y S' son sistemas inerciales y que A es una transformación lineal constante, así que la igualdad anterior se mantiene, pongamos también la restricción de que A sea ortogonal. En estas condiciones solo veo que la transformación de Galileo se mantiene si A es la identidad, es decir, que los ejes de S' son los mismos que S.

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Re: Sistema de referencia inerciales

Supongamos que tenemos la transformación lineal A de S a S', es decir, $\vec{{e'}_{ i}}=A \vec{{e}_{ i}}$ $i=1,2,3$. Sea $({c}_{1 },{c}_{2 },{c}_{3})$ las coordenadas respecto a S y $({c'}_{1 },{c'}_{2 },{c'}_{3})$ respecto a S'.

¿Y por qué coges que ${e'}_i = A_{ij} e_j$ y no al revés? Te estás ofuscando en ello cuando el enunciado inicial es suficientemente vago como para que se pueda considerar de una forma o de la otra. Es obvio que las coordenadas se transforman con la matriz inversa respecto de los vectores de la base, pero a cuál de ellas le llames A y a cual le llames $A^{-1}$ es cuestión de convenio.

Ya dije que S y S' son sistemas inerciales

Dijiste que S lo era. En general, S' solo lo será si la transformación cumple determinadas condiciones. Una A(t) o/y una R(t) generales no te llevarán a un S' que sea inercial.

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Re: Sistema de referencia inerciales

¿Y por qué coges que ${e'}_i = A_{ij} e_j$ y no al revés? Te estás ofuscando en ello cuando el enunciado inicial es suficientemente vago como para que se pueda considerar de una forma o de la otra. Es obvio que las coordenadas se transforman con la matriz inversa respecto de los vectores de la base, pero a cuál de ellas le llames A y a cual le llames $A^{-1}$ es cuestión de convenio.

Como dice que es una transformación de S a S' supuse que era evidente que la transformación era de esa manera, así que será convenio.

- - - Actualizado - - -

S y S' son SI.

Dije que ambos eran inerciales.

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Re: Sistema de referencia inerciales

Dije que ambos eran inerciales.

Cito tu primer mensaje del hilo (la negrita y subrayado es mío).

Leyendo un poco un texto, hay un fragmento que no logro entender:

Sea S un sistema inercial, y consideremos otro sistema de referencia S' cuyo origen tiene coordenadas
R(t) respecto de S en cada instante t (siendo t el tiempo medido en S). Supondremos también que en
el instante t los ejes de S' están relacionados con los de S por una transformación lineal (invertible)
A(t).
las coordenadas de una partícula libre respecto de S' en t'=t-to
están dadas por
r'(t')=A(t)(r(t)-R(t)) t=t'+to
r(t) la posición de la partícula respecto a S.

Mi duda está en que no logro imaginarme por qué multiplica por A(t), es decir, si es solo r(t)-R(t) entonces es evidente, pero cuando multiplica por la transformación lineal no logro ver que sea la forma correcta de obtener la posición respecto a S`. Por otro lado, ¿Dentro del paréntesis no debería ser t-to en vez de solo t?

No dice que S' sea inercial. De hecho, no lo será si A(t) no es constante en el tiempo y/o R(t) no es un MRU.

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Re: Sistema de referencia inerciales

No lo especifiqué en el primer mensaje porque no hacían falta esas condiciones para la pregunta, ya para cuando formulé la siguiente duda sí lo dije en el segundo mensaje:

Y otra duda, teniendo en cuenta la ley de transformación de la fuerza bajo la transformación de Galileo, tenemos que F`(t`,r`(t),v`(t))=AF(t,r(t),v(t)), donde F' es la fuerza medida en el sistema S' y F en S, y A es una transformación lineal constante, ahora bien en los distintos sistemas yo no veo que la segunda ley de newton tenga la misma forma, solo si A es la matriz identidad, por lo tanto no veo que se cumpla el principio de relatividad de Galileo en todos los sistemas inerciales.

S y S' son SI.