2o ciclo Fuerza central dependiente de r

[Visitante]

Supongamos que tenemos una fuerza central independiente del tiempo y de la velocidad:

$\vec{F(\vec{r})}=f(r)\vec{r}/r$

Teniendo en cuenta que

$\frac{\partial g(r)}{\partial \vec{r}}=g`(r)\frac{\partial r}{\partial \vec{r}}=g`(r)\dst\frac{\vec{r}}{ r}$

A partir de esto dice que es claro que la fuerza deriva del potencial

$V(r)=-\int f(r) dr$

No entiendo casi todo el procedimiento. Para empezar ¿$\frac{\partial g(r)}{\partial \vec{r}}$ no es el gradiente de g(r) $\nabla g(r)$? Es solo notación ¿no?
Por otro lado, ¿Por qué $\frac{\partial g(r)}{\partial \vec{r}}=g`(r)\dst\frac{\vec{r}}{ r}$ y $\frac{\partial r}{\partial \vec{r}}=\dst\frac{\vec{r}}{ r}$?
Y a partir de esto ¿Cómo deduce que $V(r)=-\int f(r) dr$?

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

¿$\frac{\partial g(r)}{\partial \vec{r}}$ no es el gradiente de g(r) $\nabla g(r)$? Es solo notación ¿no?

Entiendo que sí, que es tan solo una notación.

¿Por qué $\frac{\partial g(r)}{\partial \vec{r}}=g`(r)\dst\frac{\vec{r}}{ r}$

Ten en cuenta la expresión del gradiente en coordenadas esféricas.

y $\frac{\partial r}{\partial \vec{r}}=\dst\frac{\vec{r}}{ r}$?

Por el mismo motivo de antes. Se trata del gradiente de $r$ en coordenadas esféricas.

¿Cómo deduce que $V(r)=-\int f(r) dr$?

Partamos de la definición de potencial: $\vec F=-\nabla\vec V$. Por otra parte, aplicando la expresión del gradiente de $g(r)$ a $-V(r)$ te queda que $\vec F=-\nabla\vec V=-V'\frac{\vec r}{r}$, luego $V'=-f(r)$ y entonces $V(r)=-\int f(r) \dd r$

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

Ten en cuenta la expresión del gradiente en coordenadas esféricas.

¿Y por qué esta deducción la hace en coordenadas esféricas y no en las cartesianas?

[Ulises7]

Re: Fuerza central dependiente de r

¿Y por qué esta deducción la hace en coordenadas esféricas y no en las cartesianas?

Porque el campo es central.

Ya al plantear el campo lo trata como función del vector de posición. Así que es natural emplear coordenadas esféricas porque por definición ya estás trabajando con r. El sistema además tiene simetría esférica (no depende de $\theta$ ni $\phi$ ) así que sólo te importa la derivada respecto a r (las demás son nulas). Y el gradiente es sencillo.

Uno suele trabajar con las coordenadas más propicias a lo estudiado (donde hayan más simetrías). Se podría haber hecho con cartesianas pero requiere un poco más de cálculos y no ganas nada. Las esféricas son naturales en este caso.

[alexpglez]

Re: Fuerza central dependiente de r

Esféricas o cartesianas tiene que dar lo mismo, es simplemente hacer un cálculo básico.

$\vec \nabla g(r)=g'(r)\vec \nabla r=g'(r)\dst\frac{\vec{r}}{ r}$

Si te sabes el gradiente en esféricas es muy fácil, pues es aplicar la formulita que para nuestro caso dice directamente que: $\vec \nabla g(r)=g'(r)\dst\frac{\vec{r}}{ r}$

Si no te lo sabes, se puede calcular en cartesianas, es simplemente aplicar la regla de la cadena:

$$\vec \nabla g(r(x,y,z))=g'(r(x,y,z))\vec \nabla r(x,y,z)$$

Y calcular aparte el gradiente de $r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ (no debería tener dificultad comprobar que $\vec \nabla r= (\dst \frac{x}{r},\dst \frac{y}{r},\dst \frac{z}{r} )=\dst \frac{\vec r}{r}$).

Saludos

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

Partamos de la definición de potencial: $\vec F=-\nabla\vec V$. Por otra parte, aplicando la expresión del gradiente de $g(r)$ a $-V(r)$ te queda que $\vec F=-\nabla\vec V=-V'\frac{\vec r}{r}$, luego $V'=-f(r)$ y entonces $V(r)=-\int f(r) \dd r$

¿No sería $\vec F=-\nabla V$?

- - - Actualizado - - -

Si te sabes el gradiente en esféricas es muy fácil, pues es aplicar la formulita que para nuestro caso dice directamente que: $\vec \nabla g(r)=g'(r)\dst\frac{\vec{r}}{ r}$

¿Sabes algún sitio donde pueda ver la demostración de esa regla de la cadena? Es la primera vez que la veo, conocía la otra para $\dst \frac{\mathrm{df(x(t),y(t))} }{\mathrm{dt} }$

Y otra duda, por lo que veo el vector de posición r lo pone en coordenadas cartesianas en función del radio y los ángulos$\vec{r}=r(\sin \theta \cos \varphi,\sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$ ¿No sería mejor ponerlo en coordenadas esféricas directamente $\vec{r}=(r,\theta,\varphi)$? Y para cuando quiero calcular el rotacional en coordenadas esféricas qué vector de posición tengo que tener en cuenta para hacer los cálculos ¿El anterior o este último? Por ejemplo, si tengo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] las coordenadas en esféricas serían $(f(r)r,f(r)\theta,f(r)\varphi)$ ¿no?

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[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

¿No sería $\vec F=-\nabla V$?

Sí. Fue un error de tipeo en la primera fórmula, que se repitió al copiar para la segunda. Lo que quería escribir era $\vec F=-\vec\nabla V$

¿Sabes algún sitio donde pueda ver la demostración de esa regla de la cadena?

En realidad no tiene mucho misterio (con lo que tampoco hacía falta liarse con el gradiente en esféricas).

Partamos de $\dst\frac{\partial g(r)}{\partial x}=\frac{\dd g(r)}{\dd r}\frac{\partial r}{\partial x}$. Como $\dst \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$, entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Obviamente es lo mismo con las otras dos coordenadas, y la expresión para el gradiente es inmediata.

Y otra duda, por lo que veo el vector de posición r lo pone en coordenadas cartesianas en función del radio y los ángulos$\vec{r}=r(\sin \theta \cos \varphi,\sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$ ¿No sería mejor ponerlo en coordenadas esféricas directamente $\vec{r}=(r,\theta,\varphi)$?

No sé bien a qué te refieres. Posiblemente sea una forma de hacer una demostración concreta.

Las expresiones en coordenadas esféricas a veces son muy sencillas, pero otras (cuando interviene nabla) son un poco más rollo. De todos modos, conviene conocer estas últimas, o como mínimo saber reconocerlas, pues aparecerán muchas veces en tus estudios.

Y para cuando quiero calcular el rotacional en coordenadas esféricas qué vector de posición tengo que tener en cuenta para hacer los cálculos ¿El anterior o este último? Por ejemplo, si tengo $\vec{F(\vec{r})}=f(r)\vec{r}$ las coordenadas en esféricas serían $(f(r)r,f(r)\theta,f(r)\varphi)$ ¿no?

Sí. Pero eso no significa que el camino más cómodo vaya por ahí. Como antes, no sé muy bien a qué te refieres.

Es muy común trabajar con coordenadas esféricas, pero sin llegar a escribir las componentes de manera explícita, como has hecho tú, sino implícita, como sucede al escribir $\dst\vec\nabla g(r)=g'(r)\frac{\vec r}{r}$. Aunque es una expresión válida para cualquier tipo de coordenadas, está claro que puede visualizarse perfectamente como un tratamiento en coordenadas esféricas, como sugerí con anterioridad.

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

En realidad no tiene mucho misterio (con lo que tampoco hacía falta liarse con el gradiente en esféricas).

Partamos de $\dst\frac{\partial g(r)}{\partial x}=\frac{\dd g(r)}{\dd r}\frac{\partial r}{\partial x}$. Como $\dst \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$, entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Obviamente es lo mismo con las otras dos coordenadas, y la expresión para el gradiente es inmediata.

Me equivoqué al citar, me refería a esta regla de la cadena:

$\vec \nabla g(r(x,y,z))=g'(r(x,y,z))\vec \nabla r(x,y,z)$
[FONT=Verdana]
[/FONT]
[FONT=Verdana]La derivada de g es respecto a r ¿no?
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- - - Actualizado - - -

Partamos de $\dst\frac{\partial g(r)}{\partial x}=\frac{\dd g(r)}{\dd r}\frac{\partial r}{\partial x}$.

Ese paso lo haces teniendo en cuenta la regla que mencionó alexpglez a cada coordenada ¿no?

No sé bien a qué te refieres. Posiblemente sea una forma de hacer una demostración concreta.

Las expresiones en coordenadas esféricas a veces son muy sencillas, pero otras (cuando interviene nabla) son un poco más rollo. De todos modos, conviene conocer estas últimas, o como mínimo saber reconocerlas, pues aparecerán muchas veces en tus estudios.

Es que para hacer el gradiente en coordenadas esféricas el vector de posición debería de estar en coordenadas esféricas y no cartesianas ¿no?

Sí. Pero eso no significa que el camino más cómodo vaya por ahí. Como antes, no sé muy bien a qué te refieres.

Es muy común trabajar con coordenadas esféricas, pero sin llegar a escribir las componentes de manera explícita, como has hecho tú, sino implícita, como sucede al escribir $\dst\vec\nabla g(r)=g'(r)\frac{\vec r}{r}$. Aunque es una expresión válida para cualquier tipo de coordenadas, está claro que puede visualizarse perfectamente como un tratamiento en coordenadas esféricas, como sugerí con anterioridad.

El problema es que tengo que calcular el rotacional en esféricas del vector anterior y por más que lo intente la expresión siempre me queda fea, cuando debería dar 0. En el determinante pongo las coordenadas que antes mencioné y no se va con nada.

Tengo que demostrar que una fuerza central es conservativa si y solo si f(r) es función de r (yo lo he escrito f(r) pero en realidad sería f(t,r,v)) Llevo mucho tiempo tratando de sacarlo pero no hay manera, creo que la clave está en demostrar que el rotacional es cero pero no hay forma.

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Me equivoqué al citar, me refería a esta regla de la cadena:

$\vec \nabla g(r(x,y,z))=g'(r(x,y,z))\vec \nabla r(x,y,z)$

No es una regla de la cadena especial, sino la ordinaria aplicada a la derivación respecto de $r$ y las coordenadas cartesianas:

$\dst \vec\nabla g(r)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)=\left(\frac{\dd g}{\dd r}\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\dd g}{\dd r}\frac{\partial r}{\partial y},\frac{\dd g}{\dd r}\frac{\partial r}{\partial z}\right)=g'\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right)=g'\frac{\vec r}{r}$
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La derivada de g es respecto a r ¿no?

Sí.
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Es que para hacer el gradiente en coordenadas esféricas el vector de posición debería de estar en coordenadas esféricas y no cartesianas ¿no?

El gradiente (de una función escalar) en coordenadas esféricas, obviamente que te da un vector en coordenadas esféricas. Mira la expresión aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Spheri...al_coordinates

El problema es que tengo que calcular el rotacional en esféricas del vector anterior y por más que lo intente la expresión siempre me queda fea, cuando debería dar 0. En el determinante pongo las coordenadas que antes mencioné y no se va con nada.

En la referencia anterior tienes la expresión del rotacional. Fíjate que no se obtiene con la técnica del determinante de toda la vida para productos vectoriales, pues sólo es válida en coordenadas cartesianas. El rotacional en esféricas es más coñazo que en cartesianas.

Tengo que demostrar que una fuerza central es conservativa si y solo si f(r) es función de r (yo lo he escrito f(r) pero en realidad sería f(t,r,v)) Llevo mucho tiempo tratando de sacarlo pero no hay manera, creo que la clave está en demostrar que el rotacional es cero pero no hay forma.

Sea $\vec A=\vec\nabla f(r)=f'(r)\vec r$. Como $\vec r=r\hat r$, $A_r=f'(r)\ r$, $A_\theta=0$, $A_\varphi=0$. Ahora $\vec\nabla\times\vec A=\vec 0$ (no hay más que ver que en el rotacional en esféricas no aparece la derivada de $A_r$ respecto de $r$)

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

En la referencia anterior tienes la expresión del rotacional. Fíjate que no se obtiene con la técnica del determinante de toda la vida para productos vectoriales, pues sólo es válida en coordenadas cartesianas. El rotacional en esféricas es más coñazo que en cartesianas.

Pero se puede calcular con un determinante y también debería salir así.

Sea $\vec A=\vec\nabla f(r)=f'(r)\vec r$. Como $\vec r=r\hat r$, $A_r=f'(r)\ r$, $A_\theta=0$, $A_\varphi=0$. Ahora $\vec\nabla\times\vec A=\vec 0$ (no hay más que ver que en el rotacional en esféricas no aparece la derivada de $A_r$ respecto de $r$)

Pero es que lo que has hecho no veo que demuestre una cosa u otra, por lo que veo supones que A es conservativo y por tanto el rotacional es cero, pero eso es evidente porque el rotacional de un gradiente es nulo.... Voy a reformularlo porque creo que no se me ha entendido bien:
Tenemos la fuerza central
$\vec{F}=F(t,\vec{r},\vec{v})\vec{r}$
Hay que demostrar que esta fuerza central es conservativa si y solo si $F(t,\vec{r},\vec{v})$ es función de r.

[Ulises7]

Re: Fuerza central dependiente de r

Pues ves a la definición de rotacional como determinante pero en coordenadas esféricas que es autoevidente en cuanto lo planteas.

Para hacer el rotacional (gradiente, divergencia y laplaciano también) en otros sistemas de coordenadas que no sean el cartesiano tienes que tener en cuenta los factores de escala. En el caso del esférico son $h_r = 1$, $h_\theta = r$ y $h_\phi = r \sin\theta$.

Ahora mismo no tengo ni idea de hacer determinantes con Latex, te paso enlace del rotacional en esféricas como determinante.

Básicamente es como el rotacional en coordenadas cartesianas pero dividiendo por el producto de los 3 factores de escala correspondiente y añadiendo los factores de escala respectivos a cada vector unitario y su respectiva componente del campo.

Como el campo depende sólo de r, sólo existe de la última fila F(r), por tanto sólo hay que tener en cuenta las derivadas parciales respecto a theta y phi, que de nuevo como sólo dependen de r son 0. Por eso digo que es evidente en cuanto se escribe que los campos centrales tienen rotacional 0, ergo son conservativos y se les puede asociar un potencial escalar.

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

Pero es que lo que has hecho no veo que demuestre una cosa u otra, por lo que veo supones que A es conservativo y por tanto el rotacional es cero, pero eso es evidente porque el rotacional de un gradiente es nulo.... Voy a reformularlo porque creo que no se me ha entendido bien:
Tenemos la fuerza central
$\vec{F}=F(t,\vec{r},\vec{v})\vec{r}$
Hay que demostrar que esta fuerza central es conservativa si y solo si $F(t,\vec{r},\vec{v})$ es función de r.

Tienes razón en que lo que puse es una tontería: el rotacional de un gradiente siempre es nulo.

A ver si ahora entendí el problema: tenemos un vector tal que $\vec F=f(r,\vec v, t)\dfrac{\vec r}{r}$. Tenemos que demostrar que es conservativo aplicándole el rotacional.

Usando coordenadas esféricas: $F_r=f(r,\vec v,t)$, $F_\theta=0$, $F_\varphi=0$. El rotacional es nulo pues en él no aparece $\dfrac{\partial F_r}{\partial r}$, sino las derivadas de $F_\theta$ y $F_\varphi$ respecto de $r$ y derivadas respecto de $\theta$ y $\varphi$ en las que está $F_r$, que es independiente de dichas variables.

Usando coordenadas cartesianas: aunque es matar una mosca de un cañonazo, es cuestión de usar la regla de la cadena. Ahora $F_x=\dfrac{f(r)}{r}x$, $F_y=\dfrac{f(r)}{r}y$, etc. Por comodidad he omitido escribir $\vec v$ y $t$. Además, llamaré $\dst g(r)=\frac{f(r)}{r}$, de manera que $F_x=g(r)x$, etc.

Veamos por ejemplo cómo es una de las derivadas que nos aparecen en el rotacional:

$\dst\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=x\dfrac{\partial g(r)}{\partial y}=x\dfrac{\dd g(r)}{\dd r}\dfrac{\partial r}{\partial y}=x g'(r)\dfrac{y}{r}=g'(r)\dfrac{xy}{r}$

Del mismo modo

$\dst\dfrac{\partial F_y}{\partial x}=g'(r)\dfrac{yx}{r}$

con lo que

$\dst\dfrac{\partial F_x}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial x}=0$

y pasa lo mismo con todas las demás componentes del rotacional.

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

Como el campo depende sólo de r

No cuidado, el campo depende de r y $\vec{r}$, es $f(\vec{r},\vec{v},t)$ lo que depende de r.

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A ver si ahora entendí el problema: tenemos un vector tal que $\vec F=f(r,\vec v, t)\dfrac{\vec r}{r}$

Para que sea más cómodo pongamos $\vec F=f(\vec r,\vec v, t)\vec r$

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T
Usando coordenadas esféricas: $F_r=f(r,\vec v,t)$, $F_\theta=0$, $F_\varphi=0$.

Esta es la parte que llevo un rato dándolo vueltas y la razón por la que creo que no me sale. Las coordenadas no estoy muy seguro de que sean esas, es decir, si $\vec{r}=(r,\theta,\varphi)$ tenemos que las coordenadas son $F_r=f(r,\vec v,t)r$, $F_\theta=f(r,\vec v,t)\theta$, $F_\varphi=f(r,\vec v,t)\varphi$. Esto me trae por el camino de la amargura ya que el rotacional no se anula.

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A ver si ahora entendí el problema: tenemos un vector tal que $\vec F=f(r,\vec v, t)\dfrac{\vec r}{r}$. Tenemos que demostrar que es conservativo aplicándole el rotacional.

A los dos os faltó la otra condición, si el campo es conservativo entonces $f(\vec{r},\vec{v},t)$ depende de r.

[FONT=Verdana]Tomando las coordenadas que dijo arivasm (Que no estoy seguro) He hecho el rotacional e igualado a cero, entonces me da que la derivada parcial de ${F}_{r }$ respecto a [/FONT]$\theta$[FONT=Verdana] y [/FONT]$\varphi$[FONT=Verdana] tiene que ser igual a cero, por tanto, la función $f(t,\vec{r},\vec{v})$ no depende de [/FONT]$\theta$[FONT=Verdana] y [/FONT]$\varphi$[FONT=Verdana], pero no sé cómo demostrar sí o sí que depende de r, puede depender también de t o v y no sé cómo aislarlo.[/FONT][FONT=Verdana]
[/FONT]
[FONT=Verdana]
[/FONT]

[arivasm]

Re: Fuerza central dependiente de r

En el sistema de coordenadas esféricas los versores tienen las siguientes orientaciones:

(en esta imagen, tomada de Wikipedia, a los versores les llaman $\hat a_r$, etc)

Como ves, el vector $\vec r$ no es como tú escribes, $\vec r=r\hat r+\theta \hat\theta+\varphi\hat\varphi$, sino simplemente $r\hat r$

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[FONT=Verdana]la función $f(t,\vec{r},\vec{v})$ no depende de [/FONT]$\theta$[FONT=Verdana] y [/FONT]$\varphi$[FONT=Verdana], pero no sé cómo demostrar sí o sí que depende de r, puede depender también de t o v y no sé cómo aislarlo.[/FONT]

Ten en cuenta que en el rotacional aparecen derivadas parciales respecto de las coordenadas, pero no el tiempo ni las componentes de la velocidad.

[Visitante]

Re: Fuerza central dependiente de r

En el sistema de coordenadas esféricas los versores tienen las siguientes orientaciones:

[ATTACH=CONFIG]13640[/ATTACH]

(en esta imagen, tomada de Wikipedia, a los versores les llaman $\hat a_r$, etc)

Como ves, el vector $\vec r$ no es como tú escribes, $\vec r=r\hat r+\theta \hat\theta+\varphi\hat\varphi$, sino simplemente $r\hat r$

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Ten en cuenta que en el rotacional aparecen derivadas parciales respecto de las coordenadas, pero no el tiempo ni las componentes de la velocidad.

Pero ese es el vector de posición respecto a coordenadas cartesianas, el enunciado no especifica, ¿no podría ser el vector de posición respecto a coordenadas esféricas?
Mmm ¿con esa pista me quieres decir que los tiros no van por el rotacional? Es que lo que has dicho me parece evidente.