2o ciclo Laplaciano y delta de Dirac

[Visitante]

Tengo el siguiente ejercicio que dice:
Aplicando el teorema de Gauss a una esfera centrada en el origen, probar la identidad

$\Delta (\frac{1}{ r})=-4\pi \delta(\vec{r})$

Siendo $\delta(\vec{r})$ la delta de Dirac. Deducir que tanto el potencial gravitatorio como el electrostático verifican la ecuación de Poisson

$\Delta \Phi =4\pi \alpha \rho$

Con $\alpha = G$ para el potencial gravitatorio y $\alpha = -k$ para el eléctrico. En particular, el potencial gravitatorio (resp. electrostático) verifica la ecuación de Laplace $\Delta \Phi = 0$ en cualquier región del espacio en que no haya masas.

Este problema viene al principio de mis apuntes de mecánica clásica y vamos, no entiendo cómo pretenden que resuelva este problema sin explicarme qué es la delta de Dirac.
He intentado algunas cosas como desarrollar el laplaciano en coordenadas esféricas de 1/r pero al hacerlo me da 0 cosa que no veo posible.
De todos modos, no entiendo qué es la delta de Dirac, lo he intentado leer en Wikipedia pero vamos.
¿Alguna idea de cómo se hace?

[pod]

Re: Laplaciano y delta de Dirac

He intentado algunas cosas como desarrollar el laplaciano en coordenadas esféricas de 1/r pero al hacerlo me da 0 cosa que no veo posible.

Puede que te extrañe, pero lo has hecho bien, ¡felicidades! O, por lo menos, lo mejor que puedes hacer con lo que sabes ahora.

Solo te falta un detalle: darte cuenta que el cálculo que has hecho no funciona cuando $r\to 0$. En este límite, alguno de los pasos que has hecho no es válido por que aparece una divergencia.

Explicar con todo detalle qué es la delta de Dirac va un poco más allá y, como diría Fermat, no me cabe en este margen. Habría que introducir un concepto llamado "distribución" o "función generalizada". Sí que te daré una idea intuitiva, la función de Dirac es una especie de función que es cero en todas partes excepto en $r = 0$. En $r=0$ tiende a infinito, de forma que la integral de la delta en cualquier intervalo que contenga el cero siempre es uno,

$$\int_a^b \!\!\dd r\ \delta(r) = 1\ , \qquad a < 0 < b.$$

Probablemente puedas completar la demostración tomando integrales de la lapaciana y utilizando los teoremas integrales.

Fíjate que toda la delta está "concentrada" en un punto; es cero en todas partes pero en el origen tiende a infinito, de forma que se mantiene la integral. Eso es precisamente lo que ha lace útil en Física, por lo menos una de las propiedades. Por ejemplo, la distribución de carga de una partícula puntual es una delta de Dirac. Sabemos que el potencial de una partícula puntual es proporcional es 1/r, y por las leyes de Maxwell el laplaciano del potencial es la densidad de carga. Lo que tienes que demostrar es que un potencial 1/r proviene de una distribución de carga puntual.

[Ulises7]

Re: Laplaciano y delta de Dirac

Para complementar la explicación de pod te recomiendo que te leas a partir de la página 46 del Griifiths: Introduction to Electrodynamics. Lo explica muy claro y con ejercicios y la relación con el potencial electrostático de una carga puntual.

La verdad es que es increíble cómo en algunos libros introductorios se te pide o se da por supuesto la delta de Dirac sin explicarte nada. Yo hasta que no vi la explicación clara del Griffiths no me aclaré un poco porque en la mayoría de libros es soltarte la definición de la función de distribución y pa'lante.