1r ciclo Planteamiento de un problema de cinemática

[Visitante]

Hola, he estado dándole vueltas un tiempo y creo que necesitaría ayuda con una parte del planteamiento de un problema, es este:

Nos encontramos en la orilla de un rio y queremos llegar al muelle que hay justo enfrente, el agua se mueve a una velocidad V_a =cte

Consideramos dos maneras de cruzar el rio:

-(1)Apuntando a contracorriente ( este método lo entiendo, es simple, el problema viene con el siguiente)

-(2)Apuntando al muelle: mantener la proa del barco apuntando directamente al muelle en todo el trayecto

Suponemos que el barco se mueve a V_b=cte relativa al agua, que es más rápida que la velocidad v_a de la corriente relativa a la orilla
n=v_b/v_a(mayor o igual) 1

Que método nos llevará al muelle más rápido y por cuanto?
No se como plantear el problema, la parte (2) para que haya una v del agua que no cambie la trayectoria, ya que ha de apuntar al muelle todo el tiempo)

Muchas gracias!!

[Lindilo]

Re: Ayuda con el planteamiento de un problema de cinemática

Sin pensar mucho llego a un sistema de 2 EDO que no sé resolver:

$v_a-v_b f(x,y) = \frac{dx}{dt}$
$v_b f(x,y) = \frac{dy}{dt}$
$x(0) = 0 \,\,\,\,\,\, y(0) = 0$
con $f(x,y) = sen( arccos( \frac{h-y}{\sqrt{x^2+(h-y)^2}}) )$

$h$ es la anchura del río
Se puede resolver el sistema o hay algún truco para hacerlo de otra forma más fácil?

[Richard R Richard]

Re: Ayuda con el planteamiento de un problema de cinemática

Se puede resolver el sistema o hay algún truco para hacerlo de otra forma más fácil?

$\sin (\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$

pero tampoco te queda fácil , son un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer grado,

- - - Actualizado - - -

en todo momento la direccion apunta hacia el punto de llegada es decir desde una posicion arbitraria x,y

$\sin\alpha =\dfrac{L-y}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}$

$\cos\alpha =\dfrac{x}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}$

$\tan\alpha =\dfrac{L-y}{x}=\dfrac{v_y}{v_x}$

luego la velocidad con respecto a la orilla sera

$v_x=v_a-v\cos\alpha=v_a-v\dfrac{x}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}$

$v_y=v\sin\alpha=v\dfrac{L-y}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}$

oi bien si $v=cte$ entonces$v_y=\sqrt{v^2-v_x^2}=\sqrt{v^2-v_y^2\dfrac{x^2}{(L-y)^2}}$

el sistema de ecuaciones queda

$x'=v_a-v\dfrac{x}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}$

$y'=v\dfrac{L-y}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}$

que creo tiene solución solo por métodos numéricos... tipo Runge Kutta

[Visitante]

Comparación de velocidades

Hola, estoy teniendo muchos problemas en un ejercicio, lo único que me queda para resolverlo es, comparar dos velocidades, me explico

Tenemos las dos velocidades, solo queremos comparar las velocidades del eje x las cuales he calculado y son:

$\left\vert{\vec{{v}_{1 }}} \right\vert{}=A\sqrt{1-{\left( \frac{B}{A } \right)}^{2 }}$

$\left\vert{\vec{{v}_{2 }}} \right\vert{}=Acos\varphi$

Sabiendo que $A>B$ y ambos son constantes y son otras velocidades de las cuales dependen $\vec{{v}_{1 }}$ y $\vec{{v}_{2 }}$

Sabemos también que $\varphi$ en la trayectoria en la que estamos comparando la velocidad, irá de $0\to\frac{\pi}{ 2}$

El problema viene que cuando intento sacar la velocidad de $\left\vert{\vec{{v}_{1 }}} \right\vert{}$ mediante la integral definida en $0\to\frac{\pi}{ 2}$ :

$A\left\vert{-cos\varphi} \right\vert{}$(definida en $0\to\frac{\pi}{2 })$=$A\left(-cos\left(\frac{\pi}{2 } \right) +cos\left(0 \right) \right)=A$

Teniendo que $\bar{v}=A$ ya puedo comparar esta velocidad con la otra, pero el problema es que es ilógico que de este resultado, ya que la velocidad A, solo se alcanza en un punto de la trayectoria, (cuando $\varphi=0$, en todos los demás puntos de $(0,\frac{\pi}{ 2}]$, la velocidad media va a ser menor que A, no entiendo entonces porque cuando calculo la velocidad media me da A, cuando la velocidad será siempre menor que A en todo instante menos en $\varphi=0$

No se si me habré explicado correctamente pero llevo unas cuantas semanas con este problema y me cuesta mucho ir sacando las cosas, muchas gracias!

[Richard R Richard]

Re: Comparación de velocidades

No se entiende muy bien lo que estas buscando

Tenemos las dos velocidades, solo queremos comparar las velocidades del eje x las cuales he calculado y son:

$\left\vert{\vec{{v}_{1 }}} \right\vert{}=A\sqrt{1-{\left( \frac{B}{A } \right)}^{2 }}$

$\left\vert{\vec{{v}_{2 }}} \right\vert{}=Acos\varphi$

las velocidades así definidas son constantes con el tiempo y con la posicion que problema hay en ello

Sabiendo que $A>B$ y ambos son constantes y son otras velocidades de las cuales dependen $\vec{{v}_{1 }}$ y $\vec{{v}_{2 }}$

esto no lo entiendo o es poco claro , podrías explayarte mejor?

Sabemos también que $\varphi$ en la trayectoria en la que estamos comparando la velocidad, irá de $0\to\frac{\pi}{ 2}$

pero en que tramo de la trayecoria varia de $0\to\frac{\pi}{ 2}$ no esta definido.... creo que es mejor que pongas elenunciado del problema talcual te lo han dado, para que veamos en que te lias

El problema viene que cuando intento sacar la velocidad de $\left\vert{\vec{{v}_{1 }}} \right\vert{}$ mediante la integral definida en $0\to\frac{\pi}{ 2}$ :

$A\left\vert{-cos\varphi} \right\vert{}$(definida en $0\to\frac{\pi}{2 })$=$A\left(-cos\left(\frac{\pi}{2 } \right) +cos\left(0 \right) \right)=A$

si no tengo la primitiva de la integral no tengo idea de lo que hablas, como ayudarte entonces...

Teniendo que $\bar{v}=A$ ya puedo comparar esta velocidad con la otra, pero el problema es que es ilógico que de este resultado, ya que la velocidad A, solo se alcanza en un punto de la trayectoria, (cuando $\varphi=0$, en todos los demás puntos de $(0,\frac{\pi}{ 2}]$, la velocidad media va a ser menor que A, no entiendo entonces porque cuando calculo la velocidad media me da A, cuando la velocidad será siempre menor que A en todo instante menos en $\varphi=0$

Ahora lo que buscas es comparar que , velocidades medias, trayectorias, aceleraciones,

recuerda que una definición de velocidad media puede ser $\overline v =\dst\dfrac{\int_0^T v(t) \dd t}{T}$

con algunos reemplazos de variables puedes ajustar esa integral a funciones que además varían con la posición, no solo con el tiempo.... y dependiendo del tipo de aceleraciones si es posible que la velocidad media sea igual a la velocidad instantánea en al menos un punto de la trayectoria o mas,

No se si me habré explicado correctamente pero llevo unas cuantas semanas con este problema y me cuesta mucho ir sacando las cosas, muchas gracias!

lo dicho es mejor que pongas todo el enunciado...

[Visitante]

Re: Comparación de velocidades

las velocidades así definidas son constantes con el tiempo y con la posicion que problema hay en ello

La primera si es constante, pero la segunda variará en el tiempo, si puede que sea lo mejor poner aqui el eninciado:


Estamos atracados en la orilla de un rio donde el agua se mueve uniformemente con velocidad [TEX]\vec{\vec{{v}_{r }}}[TEX]. Queremos llegar hasta el puerto, que está enfrente de nosotros en el otro lado del rio. Consideramos dos maneras de dirigirse al muelle:

(a) Apuntando a contracorriente: dirigiendo un curso constante con la proa de la lancha apuntando contracorriente, de manera que el barco mantiene una orientación fija y se desplaza en línea recta.

(b) Apuntando al puerto: manteniendo la proa de la lancha apuntando directamente al muelle durante todo el tralyecto.

Que método nos llevará antes al puerto y por cuanto?
Suponemos que la lancha se mueve a velocidad constante [TEX]\vec{\vec{{v}_{l}}}[TEX] relativa al agua y que es más rápida que la corriente del rio relativa a la orilla: $n=\frac{{v}_{ r}}{{v}_{l } }<1$.

(Se que el resultado va a ser que (a) será más rápida pero tengo que demostrarlo...)





Ahora voy a explicar lo que he ido haciendo poco a poco para ver si he llegado a un buen punto:

He pensado que para ver cual llegará antes podemos comparar las velocidades en el eje x, y por tanto la que mayor velocidad tenga es la que llegará antes:

(a)Este es sencillo, esquematizado:


Por lo que tendíamos :

$\vec{{v}_{ a}}={v}_{r }+{v}_{ l}=({v}_{ l}cos\phi)\hat{\imath}+({v}_{r }+{v}_{ l}sen\phi)\hat{\jmath}$

Si quisiera dejarlo en función de las dos velocidades, sin tener en cuenta el ángulo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
${v}_{ a}=\left( {v}_{ l} \sqrt{1-{\left( \frac{{v}_{r }}{ {v}_{ l}} \right)}^{2 }}\right)\hat{\imath}+\left({v}_{r }+\frac{{v}_{ r}}{ {v}_{l }} \right)\hat{\jmath}$

Vale esa sería la primera velocidad,

(b) Esta es la complicada, si nos paramos a mirar como se comporta segun el enunciado, podemos llegar a la conclusión de que se moverá más o menos asi:

Donde expresaremos la componente ${v}_{l }$ en coordenadas polares (para que apunte a (0,0) todo el rato), y ${v}_{r }$ en cartesianas, que será más sencillo:

${v}_{ b}={v}_{ l} \bar{{u}_{ n}}+{v}_{r }\hat{\imath}$

Para poder compararlo, pasamos todo a cartesianas usando la propiedad: $\bar{{u}_{n }}=\left( cos\theta\right)\hat{\imath}+\left(sen\theta \right)\hat{\jmath}$

Nos queda: ${v}_{b }=\left({v}_{ l}cos\theta \right)\hat{\imath}+\left( {v}_{r }+{v}_{l }\sin\theta \right)\hat{\jmath}$

Ya tenemos las dos velocidades, ahora tendríamos que comparar las velocidades en el eje x, la que sea mayor, teniendo en cuenta que ${v}_{ r}<{v}_{r }$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

${v}_{ {b}_{ x}}={v}_{ l}cos\theta$

Y aqui es donde me he quedado, se que $\theta$ empezará en $\theta=0$ y acabará en $\theta=\frac{\pi}{ 2}$, por la trayectoria.

Muchisimas gracias, de verdad y perdón por las molestias, espero haberme explicado bien

[Richard R Richard]

Re: Ayuda con el planteamiento de un problema de cinemática

Hola, si te quedan dudas sobre como resolver un problema aun con la ayuda recibida, o bien si esta no sacia a tus intereses , sigue preguntando en el mismo hilo, incluso veo ahora que este hilo
Vectores en coordenadas polares y cartesianas

esta relacionado con este mismo hilo.

el primero de los casos conoces $|v|$ y la velocidad de cruce es $\vec v=\sqrt{|v|^2-v_r^2}\,\vec i-v_r\vec j$


el tiempo de cruce e saldria de $t_1=\dfrac{L^2+(v_rt_1)^2}{|v|}$

osea $t_1=\dfrac{L}{\sqrt{|v|^2-v_r^2}}$

en el segundo caso es mas complejo , y sigues pensando que puedes hallar una expresion analitica( función) que te permita hallar el tiempo $t_2$ para luego comparar ambos tiempos, pero como te hemos dicho antes, no creo que exista tal función y solo puedes calcular ese tiempo por metodos numericos, no analiticos, a menos que si exista tal función y yo la desconozca y que algún otro forero te la brinde. Por ahora,solo puedo ponerme a pensar alguna otra forma alternativa de darle solución


Por un lado la longitud de cualquier curva la puedes medir paramétricamente con

$s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx$

el tema es que hay que hallar la función $f'=\frac{\partial y}{\partial x}$ entre y $L$ para integrarla, y tendrias el total de la longitud que como lo recorres a velocidad constante, si es mayor que $L$ entonces te llevara mas tiempo en recorrerlo, así que debes demostrar que $s>L$

entiendo que



$s = \dst\int_{0}^{L} \sqrt{1 + \left [ \dfrac{L-y}{x} \right ] ^2} \, dx$

hay que librarse de esa y ... o algo hago mal..lo reviso luego ahora al trabajo

entiendo que al final deberías resolver

$s = \dst\int_{0}^{L} \sqrt{1 +\dfrac{1}{x^2} } \, dx$

$s= \dfrac{x\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^2 }} \left( \sqrt{1 +x^2} -\log\left ( \sqrt{1 +x^2}+1\right )+log x\right )}{\sqrt{1 +x^2}}\big|^L_0$

$s= \dfrac{L\sqrt{1 +\dfrac{1}{L^2 }} \left( \sqrt{1 +L^2} -\log\left ( \sqrt{1 +L^2}+1\right )+log L\right )}{\sqrt{1 +L^2}}$

puedes ver analiticamente que $s>L$ por lo tanto $t_2>t_1$

Saludos