1r ciclo Problema con ejercicio cinemática. Transformaciones de Galileo

[RJS]

Hola buenas, tengo algunos problemas a la hora de resolver el siguiente ejercicio y agradecería mucho un poco de ayuda:

Dos barcas se encuentran en el mismo punto de la orilla de un río de anchura D, cuyasaguas llevan una velocidad constante V0. Ambas barcas van equipadas de un motor queles hace moverse a velocidad constante Vmotor . Se propone una competición entreambas barcas para ver quién tarda menos tiempo en recorrer una distancia D(equivalente a la anchura del río) de ida y vuelta de tal manera que los recorridospropuestos sean los siguientes:

Barca A. Cruza el río hasta la otra orilla en viaje de ida y vuelta, de talmanera que el vector desplazamiento de la barca sea siempreperpendicular a la orilla del río.
Barca B. Recorre la distancia D de forma paralela a la orilla siguiendo ladirección de la corriente del río y luego regresa en la misma dirección alpunto de partida.

Como puede apreciarse el espacio recorrido por ambas barcas es 2D.

1. ¿Cuál de las dos barcas tarda menos tiempo?
2. ¿Por qué?
3. A la vista del tiempo tardado por ambas barcas, ¿Se podría determinarla velocidad de la corriente del río?.

[Alriga]

Re: Problema con ejercicio cinemática. Transformaciones de Galileo

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A)

$v_1=\sqrt{v_m^2-v_0^2}$

$$t_1=\dfrac{2D}{\sqrt{v_m^2-v_0^2}}$$

Si medimos la distancia en unidades “D” y la velocidad del motor en unidades $v_0$ de velocidad de la corriente del río

$$t_1=\dfrac{2}{\sqrt{v_m^2-1}}$$

B)

$t_2=\dfrac D{v_m+v_0}+\dfrac D{v_m-v_0}$

$$t_2=\dfrac{2D v_m}{v_m^2-v_0^2}$$

$$t_2=\dfrac{2 v_m}{v_m^2-1}$$

Comparemos la función $t_1(v_m)$ con la función $t_2(v_m)$

Naturalmente debe ser $v_m > v_0$ o lo que es lo mismo, $v_m > 1$ para que las barcas puedan vencer la corriente.

Si hacemos $t_1=t_2$ ecuaciones (2)=(4) obtenemos la ecuación

$\dfrac{2}{\sqrt{v_m^2-1}}=\dfrac{2 v_m}{v_m^2-1}$

Operando

$v_m^2-1=v_m^2$

Que es incompatible, (no hay solución) Por lo tanto si la ecuación (2) y la (4) no se cortan para $v_m > 1$, eso significa que una es siempre mayor que la otra.

Probemos un valor, por ejemplo $v_m=2$ para ver cuál es mayor.

$t_1=\dfrac 2 {\sqrt 3}=1.15$

$t_2=\dfrac 4 3=1.33$

Por lo tanto será siempre $t_1 < t_2$ (Tiempo perpendicular orilla menor que paralelo orilla)

... A la vista del tiempo tardado por ambas barcas, ¿Se podría determinarla velocidad de la corriente del río? ...

No entiendo muy bien a qué se refiere, puede estar preguntando 3 cosas:

1) Si conocemos $v_m$ , "D" y uno cualquiera de los tiempos, ya sea $t_1$ o $t_2$ despejamos bien en (1) o bien en (3) para obtener la velocidad del río.

2) Si no conocemos $v_m$ y conocemos "D" y los dos tiempos $t_1$ y $t_2$ formamos un sistema de 2 ecuaciones con (1) y (3) para obtener las 2 incógnitas desconocidas, que son la velocidad del río y la velocidad del motor.

3) Si conocemos $v_m$, $t_1$ y $t_2$ entonces formamos un sistema de 2 ecuaciones con (1) y (3) para obtener las 2 incógnitas que faltan, que son la velocidad del río y la anchura del río "D"

Saludos.