Secundaria Energía potencial

[AlexFeynman]

Tengo una duda y seguro que aquí se resolverá. He visto que la fuerza se puede obtener a partir de la energía potencial utilizando la fórmula $F = -dV/dr$ y de la misma manera obtener la energía potencial a partir de la integral de la fuerza. Sin embargo, mi duda es que si en el campo gravitatorio la fuerza es $F = GMm/r^2$ la energía potencial sería $V = GMm/r$ y siempre se le pone un signo menos. Así que no sé si estoy equivocado considerando la fuerza como positiva o si es que la definición a partir de la energía potencial es errónea.

Gracias de antemano.

[Ulises7]

Re: Energía potencial

Tengo una duda y seguro que aquí se resolverá. He visto que la fuerza se puede obtener a partir de la energía potencial utilizando la fórmula $F = -dV/dr$ y de la misma manera obtener la energía potencial a partir de la integral de la fuerza.

Cierto siempre y cuando el campo de fuerzas sea central y dependa por tanto sólo de la distancia r. La expresión general es:

$\vec{F} = -\vec{\nabla} U$

(Déjame utilizar U en lugar de V, porque esta se suele reservar para el potencial).

El operador nabla en coordenadas esféricas con simetría esférica es:

$\vec{\nabla}\equiv \dfrac{\dd}{\dd r}\hat{r}$

Así que en este caso:

$\vec{F} = -\dfrac{\dd U}{\dd r}\hat{r}$

Sin embargo, mi duda es que si en el campo gravitatorio la fuerza es $F = GMm/r^2$ la energía potencial sería $V = GMm/r$ y siempre se le pone un signo menos. Así que no sé si estoy equivocado considerando la fuerza como positiva o si es que la definición a partir de la energía potencial es errónea.

Gracias de antemano.

Tu error está en olvidar el signo menos en la fuerza, recuerda que la fuerza gravitatoria siempre es atractiva, tal y como la has escrito es el módulo de esta pero recuerda que la fuerza es una magnitud vectorial y además del módulo para definirla completamente hay que asignarle una dirección y sentido (un vector), por tanto lo correcto es:

$\vec{F} = - G \dfrac{M m}{r^2} \hat{r}$

O bien:

$\vec{F} = - G \dfrac{M m}{r^3} \vec{r}$

Así que:

$\displaystyle U = -\int \vec{F} \cdot \dd \vec{r} = \int G \dfrac{M m}{r^2} \dd r = G M m \int \dfrac{\dd r}{r^2} = G M m \left (\dfrac{-1}{r} \right ) + C$

Así que la energía potencial gravitatoria es:

$U = -G\dfrac{M m}{r} + C$

Donde C es una cierta constante, se suele escoger como 0 en el infinito. Y en este caso la energía potencial queda como:

$U = -G\dfrac{M m}{r}$

En lugar de determinar C, puedes realizar una integral definida con los límites de integración respectivos, pongamos que partimos del infinito y vamos hasta cierta distancia r, entonces:

$G M m \left (\dfrac{-1}{r} \right )^{r}_{\infty}=G M m \left (\dfrac{-1}{r} \right )$

Y cuadra con lo expuesto anteriormente. Si hubiésemos cambiado el orden de los límites de integración, esto sería el trabajo que habría que realizar para alejar una masa m del campo gravitatorio de M desde la posición r hasta el infinito y fíjate que es -U, como corresponde a la relación del trabajo mecánico con la energía potencial. Quizás sea esto lo que te haya confundido un poco...

[AlexFeynman]

Re: Energía potencial

Muchas gracias Ulises. Me he dado cuenta de que estaba considerando la fuerza como escalar y ahora que has puesto que es en forma vectorial veo que ahí está el error.