Divulgación G expresado como producto de dos constantes

[Visitante]

Tengo una extraña intuición (que por ahora no viene al caso) y para confirmarla estoy evaluando el "dividir" G (la "constante" de gravitación de Newton) en el producto de dos constantes, de manera que:
G = A.k
en donde k debe tener dimensiones m2/kg y por lo tanto A es una aceleración, en m/s2 (por cierto, ¿cómo pongo superíndices en este editor? es por los cuadrados)
El problema es que no se me ocurre ningún "reparto" arbitrario razonable, ya que tengo mas variables que ecuaciones, y ya se sabe, demasiada libertad...

Por ejemplo, si impongo arbitrariamente que A sea g (9,81 m/s2), pues claro, k sale el cuadrado del radio de la Tierra dividido por su masa, normal...

Hay infinitas combinaciones... pero sólo una válida para lo que busco.
Lo que tengo claro es que k.M (M = masa de la Tierra) tiene que ser muchísimo mayor que el cuadrado del radio de la Tierra.

¿A alguien se le ocurre algo al respecto, con justificación, claro?

Muchas gracias

[chap]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola jamrb . Te dejé un mensaje privado. Podrás verlo en tu panel de
control. Bienvenido.

Mi mejor saludo para tí y para todas las personas que frecuentan el foro.

[Entro]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Si tienes que G es una constante, y tu quieres hacer que G sea un producto de constantes, pues tendrás infinitas posibilidades como has dicho, lo que hace que la elección de una única no tenga mucho sentido. Puesto que esas dos que tu quieres tener siempre apareceran juntas. Al final solo tendrás G....

Si pones que esa A=9.8m/s^2 pues te sale relativo a la tierra, si lo pones con la aceleración de la gravedad en la luna, te saldrá la mása de la luna y su radio... y así sucesivamente....

No tiene mucho sentido eso que planteas.

[Visitante]

Re: G expresado como producto de dos constantes

¡Ya sé cómo poner fórmulas!

Muchas gracias a ambos por la respuesta, especialmente a chap por el mensaje.
Efectivamente, es una absoluta falta de cortesía por mi parte el no explicar un poco el porqué de mi pregunta. La idea era no "contaminar" las respuestas.

Mi intención es expresar la fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo dado de masa M sobre otro cualquiera de masa m del modo siguiente:

$F(r)=A.U(r).m$

Donde $A$ es una aceleración (a determinar) y $U$ es un factor adimensional. Lo que busco es precisamente $U$. Formalmente,

$U(r)=\frac{kM}{r^2}$ , y evidentemente $G=Ak$

De hecho, lo que me interesa es expresar

$U(r)=\frac{1} {(r/L)^2}$ , donde $L=\sqrt{kM}$

Para ser más preciso, el valor que necesito es $L$, pero para ello me hace falta $k$.
Ahora explico por qué...y entonces probablemente me ignoraréis, ya que pensaréis que desvarío.

Como sabemos, para valores muy pequeños de $u$ (Taylor):

$cos(u)=1 - \frac{u^2}{2} <=> u^2=2(1 - cos (u))$

Esto es para $u$ en radianes, o adimensional.

Si $u=r/L$ , entonces, para valores muy pequeños de r respecto a L, se puede aplicar:

$U(r)=\frac{1}{(r/L)^2}=\frac{1}{u^2}=\frac{1}{2(1 - cos(u))}=\frac{1}{2(1 - cos(r/L))}$

(Sí, sé que me falta un 2PI por poner, pero se corregiría en k)

Y casi ya llegamos al final. Con esta expresión:

$F(r)=A.U(r).m=\frac{A}{2(1 - cos(r/L))}.m$

Es decir, que la ley de Newton (inversa al cuadrado de la distancia) es válida para distancias "cortas" (todo es relativo: si L resultase ser la distancia al centro del universo, pues la distancia Tierra-SirioA es "corta"). Quien dice Newton dice Kepler, naturalmente, y viceversa.
Para distancias "largas" (muchas muchas muchas UAs) podría ser inverso a un coseno, es decir, periódico. Y con partes en las que la atracción se anula...y se hace negativa después.

Si habéis llegado hasta aquí y no pensáis que soy idiota, pues ya me doy por satisfecho.

¡Muchas gracias de nuevo!

[Entro]

Re: G expresado como producto de dos constantes

¿Y por qué desarrollas solo el denominador?

Si el denominador es pequeño la fracción es grande...

[Visitante]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Porque precisamente es en el denominador donde está el "meollo" del asunto (es la distancia al cuadrado) y es lo que quizás pudiese ser interpretado de otro modo: para valores de $r$ muy inferiores a $L$, ese denominador se "comporta" como $r$ al cuadrado, con un error muy pequeño especto a mi teoría, y las leyes de Newton y Kepler se cumplen.

Ahora bien, para valores no tan pequeños (es decir, lejos, muy lejos de la masa $M$) pudiese ser que el efecto se fuese pareciendo más a una función de onda.

Y sin atenuación, es decir, que a mucha distancia las masas se siguen "afectando".
Parece lógico pensar que no debe ser asi, ya que entonces estaríamos "sufriendo" el efecto de estrellas lejanas aquí en la Tierra. Pero, ¿y si lo que ocurre es que en todo punto del espacio (conocido) se da condiciones de equilibrio? Es decir, que el sumatorio de todos los campos gravitatorios (función tanto de la distancia al punto, como de la masa del cuerpo) se anula. Eso implicaría una estructura estelar muy definida... diría que cristalina, y el efecto sería una especie de difracción for interferencias.
Ya sé que esto suena cada vez peor...

[Entro]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Primero:

¿Qué es L?¿Qué te determina dicha escala?

Segundo:

El desarrollo es válido para u pequeña, por lo tanto la fórmula esa que tu tienes con el coseno solo vale para u pequeña. Todo lo que digas fuera de ese rango está fuera del límite impuesto por tu hipótesis de u pequeña.

Tercero:

La ley de Newton tal cual funciona muy bien. Además tenemos una generalización, Relatividad General. Y no veo como la forma de una ley tomada en un determinado límite (y más sin saber si ese límite tiene sentido físico alguno) puede determinar la estructura a gran escala.

Creo que partiendo de hipótesis muy tomadas por los pelos quieres sacar conclusiones demasiado generales.

[chap]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola a todos. Para jamrb :

1. Me fascinan las exploraciones independientemente de cuánta
probabilidad de revolver la física tengan. Aunque la probabilidad sea
despreciable igualmente son ejercicios mentales entretenidos.
Gracias jamrb por compartir tus especulaciones.

2. Ahora que mostraste un poco la base de tu idea recordé los intentos
de Boscovich para formular una teoría de las fuerzas, que según
relatan ponía el acento en la gravedad. Nunca leí que usase senos o
cosenos pero pensaba en una función alternante (son incrementos y
decrementos alternativos). Tal vez hayas leido más que yo respecto
a eso y puedas completar la referencia histórica que dejo trunca.

3. Después de enviarte el mensaje privado intenté aplicar yo mismo una
de las ideas que te sugerí a ciegas. Calculé la resta de las integrales
(tiempo diferencial longitud menos longitud diferencial tiempo) usando
ecuaciones Newtonianas. Para M.R.U la resta da cero. Para M.R.U.V.
partiendo del reposo da un tercio de t.x (t= tiempo del recorrido ;
x= longitud del recorrido). Para M.R.U.V. que no parte del reposo da
un tercio de t.x más un término que contiene a la valocidad inicial y
a la acerleración (que es constante). Es decir realmente esa resta de
integrales es distinta para cada tipo de movimiento pero no logré una
aplicación útil de ella.

4. Después analicé un caso de gravedad newtoniana intensa, basado en
lo siguiente. Imagina que un objeto esférico de 50 metros de radio
tuviese una masa semejante a la masa de un planeta. Una esferita de
pocos centímetros de radio y pocos gramos de masa está sostenida fija
por un brazo robot a un kilómetro del cantro del objeto grande. En un
instante el brazo suelta a la esferita y ésta comienza a moverse hacia
el objeto grande. En esta situación es despreciable el efecto de la
esferita sobre el objeto grande y a este último podemos fijar el origen
de coordenadas sin cometer error detectable. Es decir podemos obviar
el tema de la masa reducida del par de objetos pues el centro de masa
del sistema está con exactitud casi total en el centro del objeto
grande. En este movimiento no podemos considerar la aceleración
gravitatoria constante ni siquiera en una aproximación grosera. Hay
que tratarla como variable y expresarla en acuerdo con la ecuación
gravitatoria de Newton. Hice eso y apliqué conservación de la energía
entre cinética y potencial. Noté que el primer paso posible era hallar la
velocidad en función del la longitud recorrida hasta un instante dado.
Que sea el primer paso no significa que sea demasiado sencillo. La
función es la arcotangente trigonométrica de la tangente hiperbólica
de algo y ese algo es una función. Un libro que una dama guardaba en
su biblioteca contenía integrales resueltas del género, pero para usar
una de ellas necesité transformar la mia aplicando dos cambios de
variables sucesivos (una locura).

5. Relaté esas travesuras para permitir que jamrb compruebe el
entretenimiento que puede brindar a otros una inquietud que él planteó
en el foro. La inquietud de jamrb y mi integral laboriosa
probablemente no se relacionen. Pero el entretenimiento que obtuve
debo agradecerlo a jamrb . Van mis gracias.

P.D. : La integral dio en esencia una arcotangente trigonométrica. El
argumento es hiperbólico pero eso no despoja a la función de su
naturaleza principal, que es trigonométrica. La función senoidal que
jamrb incluyó en su análisis tiene entonces la misma naturaleza (no la
misma forma) que la función newtoniana para gravedad intensa...

Mi mejor saludo para todas las personas que frecuentan el foro.

[Visitante]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola chap:

¡Al menos, entretengo!
Me imagino que el mismo problema que te planteaste se puede resolver, en vez por la conservación de energía, por la de Newton, es decir:

$\frac{GM}{r^2}=-\frac{d^2r}{dt^2}$

Ecuación diferencial cuya solución creo recordar (que alguien me corrija si me equivoco, porfa), que o bien era una integral elíptica o bien una ecuacion trascendental del tipo:

$sin(x) - x=\alpha$

Es decir, nada manejable a efectos prácticos. Que soy ingeniero y voy a lo práctico , vaya.

Te propongo un problemilla, a ver si te resulta más fácil resolver esta ecuación y, lo más importante, te da un resultado como Dios manda (me refiero a $x(t)$, claro):

$\frac{K}{cos(a.x) -1}=-\frac{d^2x}{dt^2}$

Bueno, y lo publicas. Mi problema es que tengo súper-oxidado lo de las ecuaciones diferenciales... no es que tenga mucho morro.

Un saludo

[Visitante]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Primero:

¿Qué es L?¿Qué te determina dicha escala?

Pues L, como ya dije, es lo que busco. La escala tiene que ser enorme... pero no sé cuánto.

Segundo:
El desarrollo es válido para u pequeña, por lo tanto la fórmula esa que tu tienes con el coseno solo vale para u pequeña. Todo lo que digas fuera de ese rango está fuera del límite impuesto por tu hipótesis de u pequeña.

No es eso: es que para u pequeña mi propuesta coincide con Newton. Pra u mediana o grande, no se parece en nada. Llámemoslo "extrapolación".

Tercero:
La ley de Newton tal cual funciona muy bien. Además tenemos una generalización, Relatividad General. Y no veo como la forma de una ley tomada en un determinado límite (y más sin saber si ese límite tiene sentido físico alguno) puede determinar la estructura a gran escala.

¡Por supuesto que funciona muy bien!... hasta que te encuentras con anomalías como la Anomalía Pioneer o teorías como que la velocidad de la luz era mayor antes que ahora...

Creo que partiendo de hipótesis muy tomadas por los pelos quieres sacar conclusiones demasiado generales.

Totalmente de acuerdo contigo, de hecho sé que no tengo ningún fundamento, ni siquiera es una hipótesis, es una idea en estado embrionario. Necesito que gente como tú me la rebata o como chap me la agradezca (todavía nadie me la apoya, evidentemente). Para ver si se puede llegar a algo o no.
Te agradezco sinceramente tu opinión.

[chap]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola a todos.

JAM : Intento verificar si al menos capté tu filosofía. Supongo lo siguiente.

1. El exponente 2 en la fórmula de Newton te parece discutible.
2. Te preguntaste si en lugar del 2 podría ir una función y encontrasate
una posibilidad basada en ese desarrollo en serie de Taylor.

Si es así deseo preguntarte si tuviste en cuenta lo siguiente.

a) Con un exponente EXACTAMENTE igual a 2 puedes estar en el centro
de uina esfera de materia de radio infinito sin sentir la gravedad de la
cantidad infinita de materia que te rodea. Esto es simetría esférica con
geometría euclidiana y ecuación de Newton. Si el exponente se apartase
del 2 exacto sentirías al resto del universo en el centro de la esfera. En
electricidad la fórmula de Coulomb tiene la misma propiedad matemática
y por eso es efectiva la jaula de Faraday. (La independencia de lo que
hay fuera de una cavidad es válida para cualquier forma de la cavidad,
no solamente para la esférica).

b) En el caso de la ley de Coulomb hay experimentos que demostraron
la exactitud del exponente 2 con una precisión asombrosa. Ignoro la
precisión en el caso de la fórmula de Newton. Además tienes derecho
a reclamar que no hay razones físicas para dispensar el mismo tratamiento
a las dos fórmulas.

c) A pesar de no haber razones físicas para comparar gravedad y
electromagnetismo permíteme insistir en eso. Toda la electrodinámica
clásica (es decir las 4 ecuaciones básicas y todo lo que se obtenga
de ellas) se puede obtener sin más procedimiento que someter la ley
de Coulomb a los requisitos de la relatividad especial. Es decir
Relatividad especial + Coulomb = electrodinámica clásica, con ondas
incluidas. Las fórmulas de Coulomb y de Newton tienen la misma forma
matemática. Es decir sometiendo la fórmula de Newton a la relatividad
especial deberías obtener algo, que tal vez no se parezca totalmente a
la forma matemática de la electrodinámica pues no conocemos dos signos
para la masa y sí para la carga eléctrica. Nunca he visto ese desarrollo
con la fórmula de Newton pero no creo que falten intentos. Si los intentos
existieron podemos suponer que ocurrió alguna de las dos posibilidades
siguientes. Una es que no hayan dado buen resultado y por eso no se
hayan difundido. Otra es que hayan dado resultados excelentes,
asombrosamente válidos y precisos y que justamente por eso hayan
sido mantenidos en reserva por intereses ajenos a la ciencia. Es decir
la gravitodinámica puede ser una de dos posibilidades : una estupidez o
una teoría precisa y asombrosa.

Ya sabes que me entusiasman los intentos locos. Y como locura, si te
interesa cometer una, me parece mucho más interesante tomar los
desarrollos que obtienen la electrodinámica de la relatividad especial con
la ley de Coulomb y después intentar algo similar, hasta donde sea posible,
con la fórmula de Newton. Una locura así sería más loca que dudar del
exponente 2 y probablemenmte tendría la ventaja de no llegar a
proposiciones indecidibles como la descomposición de G en dos factores
que nadie sabe cómo plantear.

Mi mejor saludo para todas las personas que frecuentan el foro.

[Visitante]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola chap, gracias por interesarte.

1. El exponente 2 en la fórmula de Newton te parece discutible.

No es que me parezca discutible en el sentido de que esté mal ¡por supuesto que no! ¿quién soy yo para discutir algo que ha puesto sondas en el espacio profundo?
No, lo único que digo es que quizás ese "al-cuadrado" sea válido en cierto entorno cerrado, y más allá pueda igual aplicarse otra ley.

Por supuesto (y por lo tanto) no consideré la esfera matemáticamente ideal que sugieres... y que también sugiere el sentido común. Lo intuitivo es precisamente eso: si estamos homogéneamente rodeados de materia (en el sentido de su ditribución espacial) y esta materia influye según una funcion monótona decreciente y par (sobre todo, esto último. Si el exponente fuese -4, -6 ó -200 también se cumpliría lo que dices) pues entonces en el centro todas las fuerzas se anularían.

Lo que no acabo de ver es el ejemplo con la jaula de Faraday (con la ley de Coulomb, por supuesto que sí y luego me extiendo).
En principio, la razón por la que no se transmiten las radiaciones EM en el interior de una jaula de Faraday es porque ésta está hecha de un material conductor y está al potencial de tierra (al mismo de referencia de las ondas exteriores). Tanto para EM dinámica como para estática.

Lo que más me ha motivado de tu respuesta es el hecho de que menciones el paralelismo entre la fuerza electrostática y la gravitacional... con la salvedad del signo: hay cargas positivas y negativas, pero no parece haber masas negativas.

La función coseno es par, aunque no monótona decreciente.
Y oscila, con lo que, dependiendo del origen de coordenadas, puede cambiar de signo.

[chap]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola a todos. Para jamrb : Creo que lo vi en un libro de Carl T. Jonk titulado
Fundamentos de Teoría Electromagnética. El tipo tomaba la ley de Coulomb,
la sometía a la transformación de Lorentz y obtenía una a una todas las
leyes de la electrodinámica sin recurrir a más datos. Es decir esa sola
formulita del cuadrado de la distancia metida dentro de la transformación de
Lorentz lleva al desarrollo de toda la electrodinámica. Es decir toda esa
parte de la física se condensa en la ley de Coulomb si admites la validez de
la transformación de Lorentz. ¿No estará toda una teoría gravitatoria
condensada en la ecuación de Newton si le aplicas la misma transformación?
Por analogía con el nombre de la electrodinámica, si esa teoría gravitatoria
existiese podríamos denominarla gravitodinámica. En internet encontrarás
muchas veces la palabrita pero sin estar acompañada por un desarrollo
teórico. Para peor aparece acompañada por relatos de levitación, platillos
voladores, dimensiones ocultas y toda esa palabrería. Pero si tomas el libro
de Jonk, comprendes cómo se transforma una fuerza dependiente del
cuadrado de la distancia y aplicas ese método a la ley de Newton, tal vez
obtengas algo que merezca ser denominado teoría. Y merecería ese nombre
aunque no concordase con los experimentos, pues habría sido obtenida por
aplicación de reglas matemáticas bien establecidas. ¿Y por qué no lo
haces?, podrías preguntarme. Tengo respuesta para eso. No es lo que me
interesa formular en este momento. Mi inquietud principal actual se
relaciona con la radiación electromagnética, como puedes comprobar en el
hilo que inicié en la sección de electromagnetismo solicitando ayuda para
evaluar un artículo ruso escrito en inglés. Si es tu voluntad agradeceré los
comentarios de ese artículo que puedas aportar. Respecto a la
gravitodinámica creo que sería una experiencia fascinante intentar su
formulación. Te lo sugerí pues exhibes vocación por el análisis clásico de la
gravitación. En cierta forma la Relatividad General es una teoría clásica.
¿Te imaginas lo bonito que sería encontrar analogías entre ambos planteos?
Para animarte agregaré que el desarrollo publicado por Carl T. Jonk es
bastante accesible matemáticamente. Si estoy equivocado y no es Jonk
siempre podemos corregir el error buscando información en algún medio,
pero el desarrollo existe, lo vi y es accesible.

Mi mejor saludo para todas las personas que frecuentan el foro.

[Visitante]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Chap, gracias por tus ideas. Voy a "guglear" lo que me comentas, a ver qué encuentro.

También voy a buscar tu post de EM... ¡espero que no sea una revisión del ruso!

[chap]

Re: G expresado como producto de dos constantes

Hola a todos. Estuve googleando (como sugirió jamrb) el tema de obtener las
ecuaciones de Maxwell a partir de la relatividad y de la ley de Coulomb.
Lo más específico apareció en inglés. Es lo siguiente.

http://everything2.com/e2node/Maxwel...%2520Equations

Adjunto un extracto de la página.

The thing I find most interesting about Maxwell's Equations
is that they can be derived from Coulomb's Law (which gives
the force two charges exert on each other), Einstein's
Special Theory of Relativity, and a few highly-plausible
assumptions (actually I only remember one from when I worked
through this--that total electric charge is an invariant.
Hardly an assumption!).
So how can it be that all those crazy equations above can
be derived from Coulomb's Law. It would take a great deal
of my time to work this out in detail--I can point to a book
by Melvin Schwartz entitled Principles of Electrodynamics for
some guidance, but I recall that his analysis was incomplete.
The basic idea is this. Charge and potential are
relativistically four-vectors: electric charge is coupled
with three vectorial current components and electric
potential is coupled with the three vectorial components of
magnetic potential. For analysis on this, see a book on
relativity (I recommend Gabriel Bergmann's Theory of
Relativity). As an example of what I'm talking about, think
about how the Lorentz Force between two idle charges would
look if you started moving relative to the idle charges. Think
about dV/dx--how does it change? Notice how dx's become dt's!
and V's become magnetic vectorial components. You get forces
like dB/dt! This is really fascinating if you work through it
but I have to go back to work. I might come back and work
through this but if you're interested, do it yourself--it's
rewarding.
Some quick thoughts. Einstein developed relativity after
Maxwell's Equations were developed. But relativity could have
been developed simply based on analysis of light and its
invariant speed, not knowing that light was an electromagnetic
wave. From that, from charge conservation, and from Coulomb's
Law, Maxwell's Equations could have been developed. Imagine
the joy of intentionally discovering Faraday's Law, and even
Ampere's Law intentionally.

Mi mejor saludo para todas las personas que frecuentan el foro.