Otras carreras Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio

Una cadena uniforme de longitud total $a$ tiene una posición $0<b<a$ y está pendiendo por el extremo de una mesa sin rodamiento. Probar que si la cadena parte del reposo, el tiempo que tarda en deslizarse totalmente sobre la mesa es:


$\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{a}{g}}\ln \left(\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)$

Me han sugerido que [FONT=verdana]divida en dos la cadena, siendo el punto de partición el punto en donde cambia de dirección la cadena. Obviamente debo aplicar la segunda ley de Newton a cada parte y tener en cuenta que en todo momento, la aceleración del centro de masa de la parte horizontal de la cadena (parte de la cadena que esta sobre la mesa) coincide con la aceleración del extremo que esta sobre la mesa y que la aceleración del centro de masa de la parte vertical de la cadena.

Pero no me resulta del todo claro.


Saludos[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

si resuelves el problema estatico, por la segunda ley de Newton llegas a que la aceleración de la cadena en funcion de la poscion b es

$a_o=g\dfrac{a-b}{a}$

lo que convierte a $a_o$ en una aceleración en función de la posición b que es funcion del tiempo para hallar b(t)

$a_{(b)}=\dfrac{\partial^2 b}{\partial t^2}=g-\dfrac g a b_{(t)}$

esta es una ecuación diferencial que se resuelve usando los puntos 7 y 8 de

https://forum.lawebdefisica.com/cont...dimensi%C3%B3n

si no le hayas la forma pregunta de nuevo que lo desarrollo mas completo

[cristianoceli]

Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

si resuelves el problema estatico, por la segunda ley de Newton llegas a que la aceleración de la cadena en funcion de la poscion b es

$a_o=g\dfrac{a-b}{a}$

lo que convierte a $a_o$ en una aceleración en función de la posición b que es funcion del tiempo para hallar b(t)

$a_{(b)}=\dfrac{\partial^2 b}{\partial t^2}=g-\dfrac g a b_{(t)}$

esta es una ecuación diferencial que se resuelve usando los puntos 7 y 8 de

https://forum.lawebdefisica.com/cont...dimensi%C3%B3n

si no le hayas la forma pregunta de nuevo que lo desarrollo mas completo

Lo intentaré

Saludos

- - - Actualizado - - -

Perdona Richard me he atascado ¿Podrias por favor desarrollarlo mas completo?


Saludos

[Richard R Richard]

Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

partes de
$a_{(b)}=\dfrac{\partial^2 b}{\partial t^2}=g-\dfrac g a b_{(t)}$

luego usas el desarrollo 8 que te menciones en el link

$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd v}{\dd t}&=g-\dfrac g a b_{(t)}\\<br /> \frac{\dd v}{\dd b}\frac{\dd b}{\dd t}&=g-\dfrac g a b_{(t)}\\<br /> v\frac {\dd v}{\dd b}&=g-\dfrac g a b_{(t)},\\<br /> v\dd v&=g-\dfrac g a b_{(t)}\dd b,\\<br /> \int_{v_0}^v v\dd v&=\int_{b_0}^b g-\dfrac g a b_{(t)}\dd b,\\<br /> \end{aligned}<br />$

$\begin{aligned}<br /> \frac 1 2 (v^2-v_0^2)&= \int_{b_0}^b g-\dfrac g a b_{(t)}\dd b,\\<br /> v_{(b)}&=\sqrt{v_0^2+2\int_{b_0}^b g-\dfrac g a b_{(t)}\dd b},\\<br /> v_{(b)}&=\sqrt{2g(b-b_0)-\dfrac g a b^2}.<br /> \end{aligned}<br />$

pues $v_0=0$ y usando el punto 6

$\begin{aligned}<br /> \frac{\dd b}{\dd t}&=v_{(b)},\\<br /> \dd t&=\frac{\dd b}{v_{(b)}},\\<br /> \int_0^{t(a)} \dd t&=\int_{b_0}^a\frac{\dd b}{v_{(b)}},\\<br /> t(a)&=\int_{b_0}^a\frac{\dd b}{v_{(b)}},\\<br /> t(a)&=\int_{b_0}^a\frac{\dd b}{\sqrt{2g(b-b_0)-\dfrac g a b^2}}.<br /> \end{aligned}<br />$

te dejo a ti que resuelvas la integral, y te fijes si reemplazando las condiciones de contorno llegas a la expresión del enunciado.

nota que luego de integrar $b_0$ lo reemplazas por $b$ que es el la variable del punto de partida de la cadena. o bien que deberas a arribar a


$t=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{a}{g}}\ln \left(\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b_0^2}}{b_0}\right)$

[cristianoceli]

Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

Bien, muchas gracias. Lo estoy intentando.

Saludos

[Alriga]

Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

Otro punto de vista para enfocar el problema. Sea $\lambda$ la densidad lineal de la cadena, (kg/m) Si cuelga verticalmente un trozo “y” mientras que hay sobre la mesa un trozo $(a-y)$ la única fuerza vertical que actúa sobre el trozo que cuelga es su peso

$P=(\lambda \ y) \ g$

La 2ª ley de Newton, Fuerza igual a masa por aceleración:

$P=m \cdot \ddot y$

La masa acelerada es toda la de la cadena de longitud "a" por lo tanto:

$m=\lambda \cdot a$

Uniendo esas 3 expresiones obtenemos:

$\lambda \ y \ g = \lambda \ a \ \ddot y$

$\ddot y - \dfrac g a \ y = 0$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes. Su bien conocida solución es:

$y(t)=c_1 \exp \sqrt{\dfrac g a}t+ c_2 \exp -\sqrt{\dfrac g a}t$

Hay 2 constantes, pero tenemos dos condiciones iniciales. La primera condición es que en $t=0$ el trozo que cuelga es $y=b$

$$b=c_1+c_2$$

La segunda condición es que la velocidad inicial es cero. Para hallar la velocidad derivamos y(t)

$v(t)=c_1 \sqrt{\dfrac g a} \exp \sqrt{\dfrac g a}t- c_2 \sqrt{\dfrac g a} \exp -\sqrt{\dfrac g a}t$

$$0=c_1-c_2$$

Resolviendo el sistema (1) (2) obtenemos

$c_1=c_2=\dfrac b 2$

Por lo tanto

$$y(t)=\dfrac b 2 \exp \sqrt{\dfrac g a}t+ \dfrac b 2 \exp -\sqrt{\dfrac g a}t$$

La cadena se acabará de deslizar totalmente cuando y=a

$a=b \cdot \dfrac {\exp \sqrt{\dfrac g a}t + \exp -\sqrt{\dfrac g a}t}2$

Para despejar “t” recordamos la definición del coseno hiperbólico:

$a=b \cosh \sqrt{\dfrac g a}t$

$$t=\sqrt{\dfrac a g}\cosh^{-1} \dfrac a b$$

Ya está, ésta es la solución buscada, que si en vez de en funciones hiperbólicas inversas la quieres poner en forma de logaritmo, hay que aplicar la propiedad:

$\cosh^{-1} x=\ln\left (x+\sqrt{x^2-1}\right )$

Operando se obtiene:

$t=\sqrt[ ]{\dst\frac{a}{g}}\ln \left (\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right )$ c.q.d.

Saludos.

PD: Puedes mirar también Una cuerda que se desliza sobre una mesa

[Richard R Richard]

Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

Si evidentemente es mas facil sila ED la haces considerando a $b$ como la parte colgante y no como la parte que queda en la mesa como he hecho yo, que en en algun lado debe tener un error puedo supongo que se debe llegar al mismo resultado...