Secundaria Esquiador con trampolín

[Alofre]

En una prueba de saltos de esquí, los participantes se deslizan a lo largo de una rampa de L= 100 m de largo que posee una pendiente de 60º con la horizontal, ésta termina en un trampolín, que es un arco de una circunferencia de diámetro D = 36 m y que forma un ángulo de 45º en su extremo, tal como se observa en las figuras. Si un esquiador de 70 kg de masa parte del reposo, y suponiendo un rozamiento despreciable, calcula: a) La velocidad alcanzada al final de la rampa. b) Ésta justo en el despegue. c) ¿Cuánto tiempo dura el descenso de la rampa? d) ¿Qué longitud alcanzará en el salto? e) Repite los apartados a y b asumiendo que el coeficiente de rozamiento entre la nieve y los esquís vale 0,06. f) ¿Qué cantidad de nieve se derretirá debido al rozamiento si la temperatura es de -5ºC? El calor específico de la nieve y su calor latente de fusión valen cn= 0,5 cal/gºC y Lf= 80 cal/g, respectivamente (1 cal = 4,18 J).

Hola, estaba intentando resolver este problema y la verdad es que no tengo muy claro como resolver los apartados c y e. Para la parte del plano inclinado me parece sencillo (apliqué la segunda ley de Newton) y para el b la conservación de la energía. Sin embargo no sé como calcular el tiempo total (es decir, no se como calcular el tiempo en el trampolín) y tampoco tengo muy claro como tratar la fuerza de rozamiento en el trampolín... he visto algunos ejemplos pero me parece que la dificultad en esos casos era muy alta matemáticamente (para 2º de bach, claro jeje) . Agradecería mucho algún consejo :-)

[Al2000]

Re: Esquiador con trampolín

El cálculo del inciso c) es sencillo. Simplemente determina la aceleración, que es constante, y con la aceleración y la longitud de la rampa determina la velocidad final (asumiendo el movimiento parte del reposo).

Nota que no te piden el tiempo empleado en el trampolín. El cálculo del movimiento con fricción en esa parte requiere cálculo integral, pues la aceleración no es constante. A menos que se hagan algunas consideraciones simplificadoras (un tanto traídas de los pelos), no puedes responder el apartado b) con fricción con la matemática elemental.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alofre]

Re: Esquiador con trampolín

mmm vale entonces lo que te piden es t solo en la rampa, sin trampolín y la fricción solo en la rampa, sin el trampolín, de tal forma que puedas calcular v_final del trampolín aplicando
1/2*m*v^2_final rampa + mgR(1-cos60º)=1/2 * m * v^2_final trampolín+mgR(1-cos(45º))

[JCB]

Re: Esquiador con trampolín

Hola Alofre.

Como dice Al2000, en el supuesto de inexistencia de rozamiento, el problema es sencillo.

a) Al final de la rampa de 100 m, la velocidad es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

a) con rozamiento, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

b) Tomando como referencia 0 de altura el punto más bajo del trampolín (la línea horizontal tangente al trampolín), mediante trigonometría, puedes llegar a lo siguiente:

- La altura absoluta del principio de la rampa es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

- La altura del punto despegue (al final del trampolín), es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

- Planteando la conservación de la energía, $mgh_i=mgh_d+\dfrac{1}{2}mv_d^2, v_d=42,08 m/s$.

c) El tiempo de descenso por la rampa es $t_{r}=\dfrac{v_{r}}{a}=4,85 s$.

d) La distancia horizontal recorrida por el esquiador es $d=\dfrac{v_d^2 sen2 \theta_d}{g}=180,66 m$.

Los siguientes apartados no son tan sencillos. Como también dice Al2000, la fuerza de rozamiento en el trampolín no es constante, pues depende de la velocidad y del ángulo. Supongo que se podría resolver a partir de ecuaciones diferenciales, planteando el equilibrio dinámico en dirección tangencial y en dirección radial. A ver si alguien nos puede aclarar el tema.

[Alofre]

Re: Esquiador con trampolín

Vale... pero este problema es de las olimpiadas, fase local. Se supone que tengo que saber resolver ecuaciones diferenciales? Lo digo porque hasta ahora no me habían aparecido ni integrales :-)

[Richard R Richard]

Re: Esquiador con trampolín

Vale... pero este problema es de las olimpiadas, fase local. Se supone que tengo que saber resolver ecuaciones diferenciales? Lo digo porque hasta ahora no me habían aparecido ni integrales :-)

Hola , como te indican Al2000 y JCB, el tramo de arco circular, no se mantiene la fuerza normal constante para cada punto del arco, luego solo se puede hacer una integral (con solución numerica o bien exacta) para calcular el trabajo del fuerza de rozamiento, ergo, lo que haría si yo estuviera en la olimpiada, es decir lo que acabo de tipear, y usar una aproximación lineal donde la normal es constante y dar un resultado aproximado...suponiendo $N=P$ por ejemplo.

si la normal es constante, entonces la perdida de energía se puede calcular con un simple producto como $W=\mu N\Delta x$ esto mismo te sirve para calcular la perdida en la rampa en el tramo recto donde $N=P\cos\theta$

algo similar sucedía en este hilo, solo que alli $\mu$ no era constante , pero los sistemas de ecuaciones son similares, veras la complejidad de la solución aun teniendo $\mu$ constante.

[Alofre]

Re: Esquiador con trampolín

Muchas gracias Richard R Richard por la aclaración (y a los demás)... sí el enlace ya lo había visto mientras buscaba información sobre el tema de ahí llegue a la conclusión de que eso se podía complicar mucho jejeje

Una pregunta acerca de esto, para calcular el W_Fuerza de rozamiento puedo entonces hacer:

$\int\mu m g R sin\theta d\theta$ con límites de integración $\theta_i=-60º ; \theta_f=45º$ quedando

$\mu m g R \int sin\theta d\theta = \mu m g R * cos\theta](-60º ; 45º)$ y así saber W_fr y luego aplicar conservación de la energía para obtener v_f?

[Richard R Richard]

Re: Esquiador con trampolín

la fuerza de rozamiento es $\mu N$ pero en todo momento se debe cumplir

$N-mg\cos\theta=\dfrac{mv^2}r$

y $\frac 12 mv^2+mgR(1-cos\theta)+W_{F_r}=\frac 12 mv_{60}^2+mgR(1-cos 60\°)$

es decir la Normal depende de la velocidad y esta de lo que se haya consumido de energía cinetica debido al rozamiento, por eso solo esa expresión solo se resuelve por análisis numérico, o por resolución de ecuaciones diferenciales basadas en que $v=\frac{\partial \theta}{\partial t} R$ y $W_{F_r}=\dst\int\limits_{60\°}^{-45\°}\mu (mg\cos\theta+\dfrac{mv^2}r) r\dd\theta$ en la que debes reemplazar el valor de v de la primera en la segunda, intentar despejar los diferenciales o aplicar algún método de resolución de ecuaciones diferenciales de primer grado no lineales.

[Alofre]

Re: Esquiador con trampolín

Buff vale ya veo. Entonces se supone que debo hacer ignorar el rozamiento en el trampolín? Perdón, es que no entiendo la "simplificación" del problema.

[JCB]

Re: Esquiador con trampolín

Hola.

Enfrascados todos con el rozamiento del trampolín semicircular, hemos dejado abandonado al apartado f), sobre la cantidad de nieve derretida. Voy a interpretarlo en el sentido en que el trabajo de la fuerza de rozamiento se convierte todo en calor, que la nieve absorbe para fundirse. Para esto, solo considero el rozamiento en la rampa.

- El trabajo de la fuerza de rozamiento es $W=\mu_k mgcos \theta_r L=2.058 J$.

- El equivalente de este trabajo en calor es $Q=\dfrac{W}{4,184}=491,87 cal$.

$Q=m_nc_n\Delta T+m_nL_n$,

$491,87=m_n0,5(0+5)+m_n80$,

$m_n=5,96 g$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Esquiador con trampolín

: Perdón, es que no entiendo la "simplificación" del problema.

Para simplificar el problema, aproximándolo, al nivel de secundaria, usaría para el tramo recto lo que acaba de postear JCB, 2.058J y para el tramo curvo e coseno entre -45° y60° se mantiene mas cercano a 1 que a 0, luego es buena aproximación que $N\cong P=mg$ de donde surgiría que el trabajo del rozamiento en el arco es
$W_a=\mu mgR\dfrac{2\pi}{360\°}(60\°-(-45\°))$
Con esa perdida de energía calculas la velocidad del salto y la adicionas a W de la recta para tener el trabajo total y de allí la cantidad de nieve derretida del modo que hizo JCB.

[Alofre]

Re: Esquiador con trampolín

Ok, muchas gracias por toda vuestra ayuda!!