Otras carreras Interpretación Física de problema de Cinemática

[ValdiviaAlan]

Muy buenas, no suelo escribir en foros, pero este problema me ha tenido sin dormir y necesito una pequeña mano.

He logrado resolverlo (o eso creo) pero no termino de entender unas cosas. El problema es el siguiente:

Un muchacho decide colgar su bolso de unárbol y, a fin de elevarlo, arma el sistema que se muestra en lafigura. El muchacho camina con velocidad constante en ladirección horizontal, y el bolso sube en dirección vertical.Considerando como polo el punto del que cuelga el bolso sobre elárbol y teniendo en cuenta que la longitud de la cuerda esconstante y que se conoce la distancia h dada en la figura.
a) Calcule la aceleración del Bolso
b) Determine la velocidad y aceleración angular del muchacho respecto del punto que se tomó como polo.



Yo hice lo siguiente:

Tomando como origen el polo $P=(0,0)$, y teniendo en cuenta la velocidad inicial $v_o=(v_o,0)$, el movimiento del muchacho se puede caracterizar como $r_m=(v_ot,-h)$, en coordenadas polares $r_m=\sqrt{(v_ot)^2+h^2}e_{r_m}$ (donde $e_{r_m}$ es el vector unitario en la dirección de $r_m$).

Luego, como la longitud de la cuerda es $l$, el movimiento del bolso puede caracterizarse como $r_b=-(l-\sqrt{(v_ot)^2+h^2})j$ (el menos es porque en mi sistema la cuerda se encuentra en el cuarto cuadrante del plano).

Si el bolso está ascendiendo bajo una aceleración, esta aceleración debe ser $a_b=(-g+a)$, integrando respecto del tiempo dos veces obtengo entonces $r_b=[(-g+a)t^2/2]j$, y de ambos modulos de $r_b$ obtengo entonces que $a=(-2l+2\sqrt{(v_ot)^2+h^2})/t^2+g$. Creo que esto está bien, sin embargo esta aceleración sería la radial del bolso, al compartir la misma cuerda, ¿No debería ser también la misma aceleración radial del muchacho? El problema es que si es la misma aceleración radial, ¿Por qué el muchacho tiene aceleración en su eje radial si camina a velocidad constante? De hecho si yo derivo dos veces el vector $r_m=\sqrt{(v_ot)^2+h^2}e_{r_m}$ obtengo que la componente radial de la aceleración del muchacho es 0 para todo t.

Bueno luego del inciso B no quiero preguntar mucho puesto que estoy bastante seguro de que los tengo bien, y lo entiendo, es lógico que la velocidad y aceleración angular del muchacho varíen con el tiempo, ya que el angulo va variando de distinta forma al seguir un punto en una recta.

Les agradecería mucho que pudieran ayudarme con esa duda, desde ya muchas gracias!

[Al2000]

Re: Interpretación Física de problema de Cinemática

Disculpa, pero estás mezclando cosas que no tienen nada que ver. ¿Por qué metes la aceleración de gravedad en el cálculo? El bolso no está en caída libre... la aceleración del bolso es simplemente la rapidez con la cual disminuye la rapidez con la cual se recorta el tramo de cuerda que une al bolso con la rama del árbol.

Es un problema puramente geométrico. Si la longitud del tramo de cuerda que une al muchacho con el polo es $\dst \sqrt {h^2 + x^2}$, sólo tienes que derivar dos veces respecto del tiempo para determinar la rapidez del aumento de la rapidez del aumento de la longitud de la cuerda. La aceleración del bolso será precisamente ese valor.

De modo análogo puedes determinar la variación del ángulo que forma la cuerda con la vertical, la cual obtienes rápidamente usando la función tangente.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: Interpretación Física de problema de Cinemática

Hola ValdiviaAlan.

Este es un tipo de problema, de los que me enamoran.

Siguiendo la consideración del enunciado (¿ era obligatoria ?), en cuanto al polo, he intentado hallar la solución, pero no he llegado a nada satisfactorio (amor fugaz y platónico).

Después, lo he intentado de otra forma:

- Siendo “l” la longitud de la cuerda en diagonal, se cumple $l=\sqrt{h^2+x^2}$.

- Como la longitud de la cuerda es constante (L), y tomando otra referencia, se cumple $L=h-y+l=h-y+\sqrt{h^2+x^2}$. Despejando “y”: $y=\sqrt{h^2+x^2}+h-L$.

- Por otra parte, la velocidad de la bolsa es: $v_b=\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dx}v_m=\dfrac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}v_m$.

- Y la aceleración de la bolsa:

$a_b=\dfrac{dv_b}{dt}=\dfrac{dv_b}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv_b}{dx}v_m=\dfrac{h^2}{(h^2+x^2)^{3/2}}v_m^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Re: Interpretación Física de problema de Cinemática

... Este es un tipo de problema, de los que me enamoran ...

Pues éste, similar, también te va a encantar, me dio algunos quebraderos de cabeza hace algunos años: "Problema Velocidad"

Te aconsejo que tú también le eches un vistazo ValdiviaAlan

Saludos.

[JCB]

Re: Interpretación Física de problema de Cinemática

Gracias Alriga por el enlace indicado: como tú dices, me quedo encantado y fascinado por la paradoja entre la intuición ($v_x=v_ycos \alpha=4,94 m/s$) y la realidad ($v_x=\dfrac{v_y}{cos \alpha}=5,06 m/s$).

Saludos cordiales,
JCB.